Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Заметим, что при четном п справедливо и обратное: если характеристическая функция имеет производную )ги) (О), то существуют моменты тпь всех порядков К до п-го включительно и гпь = 1 ~)1~1(0). Пример 8 Как мы знаем, если случайная величина 8 распределена по стандартному нормальному закону, то случайная величина ц = а(+ т распределена по нормальному закону с параметрами т и а. Тогда характеристические функции У,,(1) н тГ1) случайных величин П и ( связаны по свойству 2 соотношением 11) = е*"' Д1аг) или, если учесть результат примера 7, У 1) г 'г1гм П П р н м е р 9 Вычислим момент и-го порядка случайной величины распределенной по экспоненциальиому закону. Воспользовавшись свойством 4 и результатом примера б, получаем Л 'бо Лп' ие тЛ вЂ” М г=о Л" 1 Л" П р и м е р 1О.

Найдем еще раз характеристическую функцию числа успехов р в и испытаниях, однако в отличие от примера 5 воспользуемся тем, что р, = р1-Ь ... Ч- р„где рэ — число успехов в У-м испытании Тогда Д,,(1) = — ус' + ре' = у+ ре н, значит, по свойству 3 У.(1) =Уя,(1) Ун..ю =-(у~реп) П Важнейшей особенностью характеристической функции у11) является тот факт, что она однозначно определяет функцию распределения Г(х). А именно, справедлива следующая формула. Рл. 8.

Предельные теоремы теории вероятностей 146 Формула обращения. Для любых точек непрерывности х1 и тз функции распределения с'(х) приращение с (ха) — Р'(х1) = 2 — 11пг ~ . у(1) 81. — т Отметим, что формула обращения справедлива и в точках разрыва с'(х), если считать, что в этих точках с'(х) = (Р'(х ч- О) — с'(х— — 0)),Г2. Не давая строгого математического доказательства, покажем, что по своей сути формула обращения представляет собой разновидность обратного преобразования Фурье. Действительно, формально применяя обратное преобразование Фурье к характеристической функции Г'(1), получаем следующее выражение для плотности распределения р(х): р(х) = — ~ е ' ~) (1) йг.

Далее, вспоминая соотношение между плотностью распределения р(х) и функцией распределения с'(х), имеем яг х м с'(хз) — Г(х1) = ~ р(х) йх = ~ дх ~ е ' ~Г(1) аг. Еще раз производя формальную операцию — перестановку интегралов, получаем 1 Г Г 1 Гс "1 сит с'(хз) — х'(х1) = — ~ )(Г)йг~ е ''с1х = — ~ у(Г)йб — ОО т — ОЗ Хотя каждая из произведенных формальных операций, вообще говоря, математически необоснована (в частности, дискретные случайные величины вообще не имеют плотности распределения), как это часто бывает, конечный результат верен, если только понимать последний интеграл в том смысле, как написано в формуле обращения (в смысле главного значения). Определение характеристической функции вместе с формулой обращения устанавливают взаимно однозначное соответствие между функцией распределения и характеристической функцией.

Пример 1!. Пусть б~ и бз — независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с параметрами шов~ н гпз,в соответственно. Рассмотрим случайную величину П вЂ” — (~ .Ь бз. Тогда, как было показано гй з ьт г — аг~ в примере 8, ГП(1) = еГ~д д Гз, уб(1) = еГ~М ~" Г и по свойству 3 характеристических функций получаем, что Гв(1) =- еп'т + '1' 1 '+щи Г .

Но ха- 3. Характеристическая функция 147 рактеристическую функцию 7" (1) имеет случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами т1 + тз, лу)в~+ о~. Поэтому в силу взаимно однозначного соответствия между функцией распределения и характеристической функцией случайная величина ц также распределена нормально (с параметрами т1 + тм 177в1 + в~). П Пример 12.

Рассмотрим независимые случайные величины б1 и распределенные по закону Пуассона с параметрами Л1 и Ла. Их характеристические функции задаются формулами и > ЛР— л> — л| х (Л1е' )" лцкя — П и! ..:.о ь:-.0 у () лиь — П Пусть П = (~ + ба. Тогда Тч(1) = е~ ' ' д1' '1 и опять-таки в силу взаимно однозначного соответствия между функцией распределения и характеристической функцией случайная величина П распределена по закону Пуассона с параметром Л| -1- Ле.

П Основную роль при решении центральной предельной проблемы играет теорема о связи сходимости последовательности функций распределения со сходимостью последовательности соответствующих характеристических функций, или теорема непрерывности. Однако прежде чем перейти к формулировке этой теоремы, скажем несколько слов вообще о сходимости функций распределения. Будем говорить, что последовательиость функций распределения с1(х),...,сь(х),...

сходится к предельной функции распределения Г(х), если с'„(х) — л Г(х) для любых х, являющихся точками непрерывности Г(х). Такая сходимость называется слабой сходимостью функций распределения (обозначается Г„(х) ~ Г(х)). Слабая сходимость является наиболее и сх: естественной для функций распределения, и в дальнейшем мы будем рассматривать только ее.

К определению слабой сходимости можно сделать несколько замечаний. Во-первых, из слабой сходимости последовательности функций распределения еше нельзя сделать вывод о какой-либо сходимости последовательности самих случайных величин, так как даже одинаково распределенные случайные величины могут быть заданы на совершенно разных вероятностных пространствах. Во-вторых, требование сходимости в любой точке непрерывности Г(х) нельзя заменить более сильным требованием сходимости во всех точках х. Это подтверждает следующий пример.

П р и м е р 13. Пусть на одном и том же вероятностном пространстве (П, ял, Р) задана последовательность случайных величии бц см..., б„,, причем каждая случайная величина бь принимает всего одно значение — 1/и. Тогда последовательность биса,...,б„,...

будет сходиться к случайной величине 148 !л, 8. Предельные теоремы, теории вероятностей 8 =. 0 для любого элементарного исхода ш (причем даже равномерно). Тем не менее, гс„(0) =- 1 прн всех п, но I'е(0) = О. П Приведенный пример показывает, что с4„(0) не стремится к Рз(0), хотя естественно было бы ожидать сходимости Г4„(х) к Гс(х) в любой точке х, поскольку С„(и!) — С(и!) при всех элементарных исходах ш. Разгадка этого парадокса заключается в том, что 0 является точкой разрыва Гз(х), а при определении слабой сходимости функций распределения сходимости в таких точках мы не требовали.

Наконеп, если последовательность функций распределения Г!(х), Ез(х),..., Е„(х),... сходится к некоторой функции Г(х) в каждой точке непрерывности последней, то это не гарантирует слабой сходимости, поскольку Г(х) может воооще не быть функцией распределения. Пример 14. Пусть 8 = п для всех ш.

Тогда Гб,(х) — ! Г(х) гя 0 прн каждом х. Но Г(х) не является функцией распределения, так как Г(оо) = =Оф1. П Значит, при определении слабой сходимости обязательно нужно требовать, чтобы предельная функция являлась функцией распределения. Теперь мы можем привести (без доказательства) формулировку теоремы непрерывности. Теорема непрерывности. Для того чтобы последовательность функций распределения х!(т),хз(х),..., Гн(х), слабо сходилась к функции распределения Г(х), необходимо и достаточно, чтобы последовательность характеристических функций' Т! (1), ~в(1),..., Т„(1),...

сходилась к характеристической функции У(1) равномерно на любом отрезке ! !— Т, Т1 Теорема непрерывности является тем краеугольным камнем, который позволяет свести задачу изучения предельного поведения распределений сумм независимых случайных величин к задаче изучения предельного поведения характеристических функций этих сумм. Отметим, что в разных учебниках приведены различные эквивалентные формулировки теоремы непрерывности; данная здесь формулировка наиболее естественна для наших дальнейших рассуждений. П р и и е р 15.

Пусть 8!, 8з,, 8„, . — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих характеристические функции 11„(1) = 1!(1). Рассмотрим последовательность средних арифметических П„ =- ~ ~,Уи и найдем в терминах характеристических функций необ=! ходнмое н достаточное условие для выполнения (слабого) закона больших чисел. Используя определение, можно показать, что закон больших чисел эквивалентен слабой сходимости последовательности функций распределения гя!(х), гт(х),..., гт,(х),... к предельной Р(х), представляющей собой функцию распределения случайной величины Ш принимающей единственное значение а.

Но П имеет характеристическую функцию Т(!) = е™, и в силу 3. Характеристическая функция !49 теоремы непрерывности необходимым и достаточным условием для выполнения закона больших чисел является сходимость !' „ 1!) к Т!!) равномерно на любом интервале )-?Ц Т,'. В свою очередь, используя свойства характеристических функций, имеем Гч„!1) = [Г,('-)1. Логарифмируя Гч„~г) (это можно сделать, поскольку Гч„ф — э ! !1) равномерно на любом интервале ) — Т,Т), а Гф не обращается в нуль), получаем следующее необходимое и достаточное условие.

п1пЛ(г,гп) э гаг равномерно на любом интервале [ — 'Г, Т). Последнее условие, в свою очередь, эквивалентно условию ггг . г !п Л ( — ) — ча —. и и Разлагая логарифм в ряд Маклорена до первого члена, получаем 1п?г( — ) = 1п (1 — [! — Л( — )~) = Л ( — ) — 1 = Уг( — ) — Л(0) = га,—. Наконегг, полагая 6 = С,гп, окончательно находим, что необходимым и достаточялгм условием для вьтолнвяия закона больших чисел является существование п едела !пп = га Ю 6 или, иными словами, существование в нуле производной Д(0) характеристической гуункции Л1!), причем постояняая а, фигурирующая в определении закона больших чисел, вычисляется через эту производную по формуле а = — гД(0).

Характеристики

Список файлов книги