Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В свою очередь теория вероятностей и математическая статистика опираются на другие математические дисциплины: функциональный анализ, алгебру, аналитическую геометрию, теорию функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения и др. В заключение скажем несколько слов об истории развития теории вероятностей и математической статистики. Возникновение теории вероятностей обычно относят к Х»г!1 в.
и связывают с комбинаторными задачами азартных игр. Хотя азартные игры и нельзя рассматривать как серьезный объект для изучения, именно они привели к решению задач, не укладывавшихся в рамки существовавших тогда математических моделей, и способствовали появлению новых понятий и идей. Эти новые элементы можно встретить уже у Я. Бернулли, П.С. Лапласа, К.Ф. Гаусса и целого ряда других видных математиков того времени. Как самостоятельный раздел математики дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» сложилась в конце Х1Х— начале ХХ веков, причем если говорить о математической статистике как об отдельном направлении, то ее бурное развитие началось лишь в прошлом столетии. Окончательное становление теории вероятностей и математической статистики, как уже говорилось, связано с именем А. Н.
Колмогорова. Глава 1 ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО Взяв практически любую статью по теории вероятностей, мы увидим, что либо она начинается словами: «Пусть (П, »В, Р) — вероятностное пространство», либо в одной нз первых же фраз написано: «где (П,'я», Р) — вероятностное пространство». Иногда добавляется. «й — пространство элементарных исходов, я» — о-алгебра (сигма-алгебра) событий, Р— вероятностная мера (или вероятность)». Естественно, у неискушенного читателя пропадает всякое желание читать эту статью дальше Однако понятие вероятностного пространства является весьма естественным математическим обобщением хорошо известных физических понятий: исход опыта, случайное событие, вероятность события В настоящей главе мы попытаемся, насколько это возможно, дать читателю, знакомому только с основами высшей математики, разъяснение этого основополагающего для теории вероятностей понятия.
1. Пространство элементарных исходов Рассмотрим простейший вариант случайного испытания — подбрасывание монеты. Если отвлечься от чисто гипотетических возможностей — падения монеты на ребро или вообще исчезновения монеты, то возможны только два исхода: выпадение «герба» и выпадение «цифры». Эти два исхода в рамках данного опыта уже нельзя разбить на более мелкие составляющие, т.е. они являются в некотором роде «элементарными».
При бросании игральной кости такими неделимыми исходами являются: выпадение одного очка, выпадение двух очков, ..., выпадение шести очков. Значит,мы имеем уже 6 элементарных исходов. Более сложный пример получим, если рассмотрим падение идеальной (т.е. не имеющей размера) частицы на плоскость. Тогда результат испытания представляет собой попадание частицы в определенную точку плоскости и его можно отождествить с двумерным вектором в некоторой системе координат на плоскости. Аналогично, если проанализировать любое испытание со случайным исходом, можно заметить, что его результат представляет собой один из множества допустимых исходов. Поскольку в математике принято абстрагироваться от несущественных деталей, то всегда можно рассматривать все возможные в данном опьпе исходы как некоторое множество Й, которое и носит название пространства элементарных исходов или пространства элементарных событий.
Сами элементарные исходы будем обозначать строчной буквой ш, снабжая ее при необходимости индексами. 16 Гл. 1. Вероятносягное просжранслзво Пример 1. При подбрасывании монеты пространство элементарных исходов П состоит всего из 2 исходов: ь«1 — выпадение «герба» и щв — выпадение «цифры». П П р и м е р 2. При бросании игральной кости возможны 6 элементарных исходов щ~ — выпадение одного очка, ь«в — выпадение 2 очков, выпадение 6 очков. П П р и м е р 3. При подбрасывании двух монет пространство элементарных исходов П содержит уже 4 исхода. Перечислим их: щ~ — пара ° герỠ— «герб», ь«з — «герỠ— «цифра», щз — «цифра»-«герб», щ« — «цифр໠— «цифра».
При подбрасывании трех монет возможны 8 элементарных исходов типа «герб»вЂ” «цифр໠— «герб» и т.д. П При мер 4 При определении времени жизни элементарной частицы пространство элементарных исходов П представляет собой полупрямую ,'О, оо). Следует отметить, что в практических исследованиях существует определенный произвол в описании пространства элементарных исходов й. Так, однократное подбрасывание монеты (пример 1) можно рассматривать как часть более сложного опыта, заключающегося в подбрасывании двух или более монет (пример 3). При определении времени жизни частицы (пример 4) можно также рассматривать типы получившихся после распада частиц и т.д.
Очевидно, при решении практических задач разумно выбирать всегда наиболее простой вариант пространства элементарных исходов, необходимый для решения стоящей перед исследователем задачи, 2. События, действия над ними Понятие «событие» лингвистически отличается от понятия «элементарное событие» только отсутствием прилагательного «элементарное».
Естественно поэтому определить событие так же, как исход испытания, но только не обязательно неделимый. П р и м е р 5 При бросании игральной кости (см пример 2) событиями являются: выпадение четного числа очков (это событие происходит тогда и только тогда, когда появляется один из элементарных исходов ч«в, ь««, щм), выпадение нечетного числа очков (элементарные исходы щн щи щз), выпадение не менее двух очков (элементарные исходы щв, щз, ч««, щз, ь«в) и т.д.
П Пример 6 При подбрасывании двух монет примерами событий будут: падение обеих монет на одну и ту же сторону (появлению этого события благоприятствуют элементарные исходы ьл и щ«из примера 3); падение монет на разные стороны (элементарные исходы щ«и в«з), выпадение, по крайней мере, одного «герба» (элементарные исходы»л, ь«и щз) и т. п. П П р и м е р 7 При определении времени безотказной работы электрической лампочки можно привести следующие примеры событий безотказная работа лампочки до момента Т, отказ лампочки до момента Т, отказ лампочки между моментами 1) и 11 и т.д.
Здесь так же, как и в примере 4, пространство элементарных исходов П представляет собой полупрямую (О, оо). Тогда первому событию соответствует множество точек на полупрямой (Т, оо), второму — на интервале (О,Т), третьему — на интервале (Тн 21). П 17 2. События, действия над ними Вспоминая, что в результате опыта может произойти один и только один элементарный исход ь«из пространства элементарных исходов Й, мы приходим к теоретико-множественному определению события как произвольного набора элементарных исходов или, иными словами, произвольного подмножества множества элементарньгх исходов й.
События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабженными при необходимости индексами: А, В, Сы Н«и т.д. Заметим, что приведенное выше определение события не всегда позволяет построить логически безупречную аксиоматику теории вероятностей. Поэтому в следуюгцем параграфе мы уточним понятие «событиеь. Сейчас же наша цель состоит в описании теоретико- множественных операций над событиями, и нам удобно отказаться от несущественных пока деталей. Часто бывает полезным наглядное представление событий в виде так называемой диаграммгк Эйлера — Венна.
Будем изображать все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис. 1). Тогда каждый элементарный исход «с соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие А отождествимо с некоторой областью. Само пространство элементарных исходов П представляет собой событие, состоящее из всех возможных исходов, т.е.
происходящее всегда (при любом элементарном исходе ь«), и носит название достоверного собгчтия. Таким образом, пространство элементарных исходов выступает в двух качествах: в качестве собственно множества всех элементарных исходов и в качестве достоверного события.
Для дальнейшего нам удобно ввести еще одно событие ю, называемое невозможным. Невозможное событие не происходит никогда, т. е. не содержит ни одного элементарного исхода. При мер 8. Прн бросании игральной кости событие «выпадение не менее одного очка» является достоверным (П), событие «выпадение более 6 очков»вЂ” невозможным (О). П Над событиями как над подмножествами фиксированного множества можно производить действия, которые мы сейчас опишем. Пересечением (произведением) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события А и В, или, иными словами, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат и А, и В (рис. 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
