Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 29
Текст из файла (страница 29)
6, получаем; м(б ц=1)=1 042 Оь3 Оь4 0 ' 5 О+6 1=б, м(б ц= 2)= 1 042 043 О+4.045 146-0=5, м(б ц = 6) = 1 1 + 2 . О -ь 3 0 -ь 4 0 + 5 0 -ь 6 0 = 1. О Условное математическое ожидание М(5 )ц) обладает следующими свойствами: 5. Условное ма!пематическое ожидание. Регрессия 131 1. М(с( г1) = с. 2. М(ас + Ь | ц) = аМ(с '! ц) + Ь. 3. М (б! + 6 / ц) = М(б! / ц) + МЙ / ц). Они аналогичны свойствам безусловного математического ожидания (разумеется, арифметические действия понимаются теперь уже не как действия над числами, а как действия над функциями, определенными для всех значений случайной величины ц). Свойство 4.
М(б! бз ~ ц) = М(б! ~ ц)МЯа ~ ц) также имеет место, но при этом требование независимости случайных величин б! и сз нужно заменить требованием, которое называется условной независимостью случайных величин С! и Сз при условии случайной величины ц. Кроме того, справедливы дополнительные свойства: б. Мс = М(М((1ц)]. 6.
М(Г(С) 6(ц) ) ц! = 6(ц)М(Г(С) ) ц1, где Г(С) и 6(ц) — (произвольные) функции от случайных величин С и ц. 7. М(б ( г1) = Мб, если ( и ц независимь!. Докажем последние три свойства, Действительно, из определений математического ожидания и условного математического ожидания имеем М(М(б!,ц)) = 2 М(~ ~ ц = Уу)рч, = 2 р, т Х,!г„=- т и п п~ = ~ рпу ~ Х, — '*' = ~ ~ Х, р„=- Мб, з=! г=-! " г=! у=! р что доказывает свойство 5.
Далее, случайная величина 1(О 6(ц) принимает значение )(Х,) х х И('ту), когда б принимает значение Х, и ц — значение т', и, следовательно, для каждого у и М(у® 6(ц) ~ ц = г'] = ~~! у(Х,) 6(тз) яьу = ~=! п = 6(гу) ~~! у(Х,) я, = 6Я)МДЯ ~ ц = Ъ'), ь=! откуда вытекает свойство б. 132 Гл. 7. Числовые характеристики случайных величии Наконец, используя условие независимости случайных величин ~ и тй выраженное в терминах условного распределения (см. параграф 6 гл. 6), находим М(~ ~ т1 = — )у) = 7 Х, тг„= ~т Х рб, = М~, т=! откуда следует справедливость свойства 7. Пример 26 Вше раз вычислим М(рп рз) (см пример 24), но теперь уже воспользуемся свойством 7 условного математического ожидания.
Тогда, поскольку р~ и р. независимы, то М(р~ ~ рт) =. Мтп = р. П Пример 27 Снова обратимся к примеру 25. Так как сумма очков на противоположных гранях игральной кости равна 7, то б = 7 — тр Представим б в виде б = 1 (7 — Ч). Воспользовавшись теперь свойством 6, в котором положено Дтг) = 1, тт(у) = 7 — у, получаем М(б Ч) = М(1 (7 — »1) П) = (7 — П)М(1 /П) = 7 — П, т е. мы пришли к тому же результату, что и ранее, но практически без вычислений.
П В случае непрерывной двумерной случайной величины ((,и) значение условного математического ожидания случайной величины ~ при условии Ч = у определяется формулой М(с Ч у) ~ "р( ~Ч у)й" где Рб(х ~ Ч = У) = Р(к,тд)тутт(У) — УсловнаЯ плотность РаспРеделениЯ случайной величины 4 при условии и = у. И в этом случае условное математическое ожидание М(~~»1) случайной величины ( относительно случайной величины Ч определяется как функция д(Ч) = М(б Ч) от случайной величины тй принимающая значение д(у) = М(б и = у) при Ч = у. Читателю советуем самостоятельно проверить, что свойства условного математического ожидания, выведенные для дискретного случая, остаются справедливыми и в непрерывном.
П р и м е р 28. Пусть (б, Ч) — двумерная нормальная случайная величина (пример 16 из гл. 6). Найдем условное математическое ожидание М(б ~ ~у). Тогда, как было показано в том же примере, условное распределение б при условии у =- у является нормальным со средним значением пти -Ь ра1 (у — тт)/пз и, согласно определению, М(б ) Ч) = пп Э 7«а~ (Ч вЂ” тпт)увт. П Резюмируя вышеизложенное, можно сказать, что зависимость поведения «в среднем» случайной величины ~ от значения случайной величины т) характеризуется функцией д(у) = М(г, ~ Ч = у). Функпия д(у) называется также функцией регрессии или просто регрессией случайной величины ( на случайную величину т1, а ее график линией регрессии (случайной величины) ~ на (случайную вели тину) т1.
Линия регрессии дает наглядное изображение зависимости «в среднем» случайной величины г, от значения случайной величины Ч. 6. Другие числовые харакчнвристики с лучайных величин 133 При мер 29. Регрессия у(у) =- М(8 , 'и =- у) случайной величины на случайную величину и для двумерной нормальной случайной величины (б,п) (см. пример 28) является линейной функцией а + бу, где а = гт— — тара~(аз, а в = ра1/ае.
Очевидно, линия регрессии 8 на у представляет собой прямую. 0 6. Другие числовые характеристики случайных величин Пример 30. По определению, Вычислим асимметрию и эксцесс нормального закона. (х — т)з е е- ах, вчг2я тз = ~ (х — т)'р, (х) Гач = ~ (х ог) 'р'«,а (х е е - дх. въ'2я Делая замену у = х — т, имеем тз= ус 2 чч2у, в~'2~г откуда в силу нечетности подынтегральной функции следует, что тз = О и асимметрия т~ = О. Для того чтобы найти то применим формулу интегрирования по частям. Полагая и = (х — т~'( ~2~ и вв = (х — т)в и ~ М ~дх/а, имеем сч г ~ (х — т)е ~*.—,.ф.
т4=3а ~ е з т дх. въ'2я В этом параграфе мы дадим краткое описание некоторых других применяемых на практике числовых характеристик случайных величин. Отметим, что эти характеристики, как и все остальные, рассматриваемые в настоящей главе, по сути дела являются характеристиками распределений случайных величин. Асимметрией си случайной величины С называется отношение третьего центрального момента тч к кубу среднего квадратичного отклонения си 21 .= чйзуа~. Нетрудно видеть, что (при условии существования третьего момента) для симметрично распределенной относительно математического ожидания (Р(б ( Мс — х( = Р(с ) Мс + ху для любого х) случайной величины с асимметрия равна нулю.
Эксцессом ут случайной величины С называется отношение четвертого центрального момента тл к квадрату дисперсии за вычетом числа 3: 22 = тл/а~ — 3. Ясно, что асимметрия и эксцесс являются безразмерными величинами. 134 Гл. 7. Числовые характеристики случаиных величин Воспользовавшись теперь результатом примера 17, окончательно получаем, что йм = Зо~ и, следовательно, эксцесс Тэ = О. Таким образом, для нормального закона асимметрия н эксцесс равны нулю.
В математической статистике асимметрия и эксцесс обычно служат для первой проверки распределения случайной величины на нормальность. П о-кваптилью с,! (О < о < !) случайной величины 4 называется число, удовлетворякццее неравенствам Р(б < г,э ) < о и Р(б ) с2 ) < < 1 — о. Квантили находят самое широкое применение в математической статистике при построении доверительных интервалов и проверке статистических гипотез. 172-квантиль называется также медианой М случайной величины б.
Г! р и м е р 31. Найдем о-квантиль экспоненциального распределения В этом случае С3 представляет собой решение уравнения Г(Г)„) = о, т.е. уравнения 1 — е ~О = о (рис.!). Поэтому О„= — 1п(1 — а)/Л. Ясно, что медиана экспоненциального распределения М = 1п 27'Л. Если трактовать экспоненциальное распределение как распределение времени распада атома (см, параграф 4 гл. 5), то медиана представляет собой период полураспада. П ч Ры! в Рис. 2 Рис 1 П р н м е р 32. Пусть случайная величина р представляет собой число успехов в одном испытании Бернулли с вероятностью успеха р. Тогда (рис.
2) = О при О < а < д, Г)„= 1 при Ч < о < 1, а д-квантилью является любое число от О до 1. Этот пример показывает, что, во-первых, квантили могут совпадать для разных сч во-вторых, для некоторых о соответствующие квантили могут определяться неоднозначно. П Модой непрерывной случайной величины называется точка (локального) максимума плотности распределения р(ш). Различают унимодальные (имеющие одну моду), бимодальные (имеющие две моды) и мультимодальнгяе (имеющие несколько мод) распределения.
Для определения моды дискретной случайной величины предположим сначала, что ее значения Х!,...,Х„расположены в порядке возрастания. Тогда модой дискретной случайной величины называется такое значение Х„что р, ! < р, и ррв! < р,. И в дискретном случае распределения могут быть унимодальными, бимодальными и мультимодальными. Наивероятнейшим значением называется мода, доставляющая гло- бальный максимум вероятности (дискретной случайной величины) или 6.
Другие числовые характеристики случайных величин !35 плотности распределения (непрерывной случайной величины). Если распределение уннмодально, то мода также будет наивероятнейшим значением. Мода и наивероятнейшее значение введены скорее для наглядности, чем для каких-то практических целей. П рн м е р 33 Плотность нормального распределения имеет единственный максимум в точке т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
