Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 27
Текст из файла (страница 27)
П Пример 13 Представим число успехов р в схеме Ьернулли из п испытаний в виде р = и! + .. + ич, где и, — число успехов в «-м испытании Нет дно видеть, что Ру Мр, = 0 Ч -!- 1 р = р. Значит, по свойству 3, Ми = Мр! е,., + Ми, = пр. что совпадает с результатами примера 2, но получено с минимальными вычислениями. П 3. Дисперсия. Моменты высших порядков Математическое ожидание не всегда является достаточно удовлетворительной характеристикой случайной величины.
Например, играть в орлянку можно по копейке, по рублю и даже по 1000 руб. При любой (одинаковой) ставке игроков и симметричной монете математическое ожидание выигрыша каждого игрока равно нулю, однако далеко не каждый не только рискнет, но и просто сможет вверить «глупой» !21 3. Дисперсия. Моменты высших порядков монете 1000 руб. Поэтому наряду со средним значением нужно иметь и число, характеризующее чразброс» случайной величины вокруг своего среднего. Такой характеристикой обычно служит дисперсия. И дело тут не только в том, что дисперсия является единственной мерой степени разброса (существует бесконечно много таких характеристик, в частности, центральные моменты любого четного порядка, которые также будут определены в этом параграфе; кроме того, сама дисперсия не всегда является хорошим показателем степени разброса).
Использование дисперсии и других характеристик второго порядка (ковариаций) позволяет применить в теории вероятностей сильно развитый аппарат гильбертовых пространств. Особо важную роль этот аппарат играет в теории так называемых стационарных в широком смысле случайных процессов, которые в свою очередь являются основной математической моделью в ряде практических приложений.
Вторым (начальным) моментом та случайной величины С навьи вается математическое ожидание квадрата ( (у(х) =- ха): та = МС = ~ Х, р, для дискретной величины ~ и тз = Мс = х р(х)ах — для непрерывной. Дисперсия 0с дискретной и непрерывной случайных величин ~ определяется соответственно формулами (у(х) = (х — Мч) ): 0~ = м(~ — м~) ='> (х, — мо р, 0~ = М(~ — МД)~ = (х — Мс)~р(х) дх. Дисперсия 0с представляет собой второй момент случайной величины б, из которой вычтено ее математическое ожидание Мс, т.е.
центрированной (имеющей нулевое математическое ожидание) случайной величины б = с — Мб. Поэтому иногда дисперсию называют вторым центральным моментом. Дисперсия также имеет аналог в теоретической механике — центральный (относнтельно центра тяжести) момент инерции, характеризующий разброс массы относительно центра тяжести. Выведем некоторые свойства дисперсии. Если случайная величина С с вероятностью, равной единице, принимает всего одно значение с, то из свойства ! математического ожидания (М~ = с) получаем 122 Гл.
7 Числовые характеристики случаиных величин П О~ = М(б — с)а = (: — с) з . 1 = О. Можно показать, что справедливо и обратное: дисперсия случайной величины С равна нулю тогда и только тогда, когда С с вероятностью, равной единице, принимает всего одно значение. Определим дисперсию случайной величины ц = ас + Ь. Используя свойство 2 математического ожидания, имеем Оц = М(ц — Мц)~ = М[аГ+ Ь вЂ” М(аС + Ь)~ = М(ее+ Ь вЂ” аМС вЂ” Ь)з = = М[а(с — Мс)] =- М [аз(с — Мс)~1 = а М(с — МО~.
Поэтому 2. 0(аг. +Ь) = аз0~. Далее из свойств 2 и 3 математического ожидания получаем Ол м(л мя)з м[яз 2ямл+ (мл)г1 млз 2(мг)з+ (МОз т. е. 3. О~ =, — (Мб)'. Свойство 3 дает весьма удобную формулу для расчета дисперсии дискретной случайной величины с помощью ЭВМ или микрокалькулятора. Действительно, если бы мы производили вычисления дисперсии по первоначальной формуле, нам пришлось бы два раза суммировать по й первый раз при подсчете математического ожидания и второй— дисперсии. Свойство 3 позволяет обходиться одним циклом: мы можем одновременно суммировать с весами р, и сами значения случайной величины, и их квадраты.
Наконец, пусть С и ц — независимые случайные величины. Тогда, используя независимость случайных величин с =- с — Мс и ц = ц — Мц, а также свойства 2--4 математического ожидания, получаем 0(Р. + ц) = М[б - ц — М(б+ ф = М[(б — Мб) + (ц — Мц)1з = =- м(б — мб)'+ 2мц — м~)(ц — мц)1 + м( ц — м р)' = = Оч + 2(мс Мц) + Оц. Значит, 4. 0(С+ ц) = РС + Оц для независимгях случайных величин С и ц. Очевидно, что свойство 4 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа п попарно независимых слагаемых.
Заметим, что дисперсия 0~ имеет размерность квадрата размерности случайной величины с. Для практических же целей удобно иметь меру разброса, размерность которой совпадает с размерностью с. В качестве такой меры естественно использовать о =- ~/0~, которую называют средним квадратичным отклонением случайной величины с (иногда также стандартом или стандартным отклонением). 123 3. Дисперсия. Моменты высших порядков П р и м е р ! 4.
Найдем дисперсию случайной величины б, распределенной по закону Пуассона. Для этого воспользуемся свойством 3 дисперсии. Математическое ожидание Мб = Л была найдено в примере 3. Определим второй момент: Л*-' Л . Л« Мб~ = ~22, е = Л~'2, е = Л~'О+ 1) е =Л(~ 1, е +~,, е «) =Л(Мб~-!) =Лз+Л. «=О ,=о д! Таким образом, 0с = Л -1- Л вЂ” Л = Л и, значит, дисперсия 6, так же, как и математическое ожидание, совпадает с параметром Л. Пример 15. Пусть р — число успехов в и испытаниях Бернулли. Дисперсию р можно подсчитать так же, как в примере 2 было подсчитано математическое ожидание; воспользовавшись непосредственным определением дисперсии. Однако мы поступим другим образом.
Для этого снова (см. пример 13) представим р в виде суммы р = рп + ... -Ь рп. Дисперсия каждого слагаемого равна 0рп =- (Π— МГМ) у+ (! — Мри) р = ( р) Г1-Ь (1 — р) р = = р а + иар = ри (р«+ у) = т Учитывая, что р, независимы, и воспользовавшись свойством 4 дисперсии, получаем 012 = О!Н + .. + 0ип = Пря. П Пример 16. Дисперсия равномерно распределенной на отрезке (а,6) случайной величины 6 определяется формулой ь 6+а«2 1 06 = ~ (х — — ' — ) — — дх = 2 ) 6 — а 1 ~( 6 П а) ( Ь -1- а) ~) (Ь вЂ” а)з (6 — а)2 П р и м е р 17.
Дисперсия случайной величины С, распределенной по нормальному закону с параметрами гп н е, имеет вид ~Ю с 2 Г (х гп)2 06= ~ (х — пт)"62, (х)дх= ) е 2 ' Г(х. .О2. Делая замену у = (х — гп))е, получаем 06=.о ~ — -е Г(у. 2 Г у — 2222 чг22г 124 Гл. 7 Числовые характеристики случайных величин Полагая ь =- угу'2~г, ди =- ус " т йу и интегрируя по частям, находим 08=-а ~ х(у)ду=а. Таким образом, дисперсия нормально распределенной случайной величины совпадает с квадратом второго параметра. Этого и следовало ожидать, поскольку а носит название среднего квадратичного отклонения.
П Пример 18 Для определения дисперсии случайной величины б, имеющей гамма-распределение, воспользуемся свойством 3 дисперсии. Тогда Лт .у~ ~ г(т) о или после замены у = Лх 1 1 ть1 о Г(г-~-2) г(г-~-1) мг- = —,— — )1 у' Лзг(,) ) лзг(т) лз о Вспоминая (см, пример 9), что Мб = Т,ГЛ, окончательно получаем 08 = Мг — (Мс)з = Лз Лз Лз П Пример 19. Пусть 8 — случайная величина, имеющая дисперсию 08. Введем новую случайную величину Ч = à — а. Найдем число а, доставляющее минимум Мтг. Воспользовавшись свойствами 2 и 3 дисперсии, имеем Мпз = Оп+(МЧ/ =08 4-(Мб — а)з.
Первое слагаемое от а не зависит, а второе принимает минимальное значение, равное О, при а = Мг. Таким образом, в качестве а, нужно взять МС, а само минимальное значение Мпз совпадает с дисперсией 08. П В некоторых теоретических исследованиях встречаются моменты высших порядков. Моментом ть порядка й ()с-м моментом) называется математическое ожидание й-й степени случайной величины ~ (д(х) = хь): тпь =- Мс~ = ~ Хгр р„ если д — дискретная случайная величина, и тпь = М4л = ~ хьр(х)с(х, если 4 непрерывна. Иногда К-й момент называют также начальным моментом й-го порядка. Центральньгм моментом ть порядка к (й-м центральным моментом) назглвается математическое ожидание й-й степени случайной величины 4 = г, — Мд (д(х) = (х — Мс) ): тв = М (~ — Мд) = '~ (Х, — Мд) р, 125 4.
Ковариация и корреляция случайных величин та = М (с — Мс) = ~ (х — Мс)я р(х) йх соответственно для дискретной и непрерывной случайных величин С. Момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием, центральный момент первого порядка равен нулю, центральный момент второго порядка является дисперсией. Отметим также, что в теоретических изысканиях рассматриваются моменты не обязательно целого порядка й.
4. Ковариация и корреляция случайных величин Пусть (С!,С2) — двумерный случайный вектор. Будем называть ковариацией сок(С!, С2) случайных величин С! и С2 л!ателтатическое ожидание произведения центрированнь!х случайнь!х величин С! = С! — МС! и С2 = С2 — МС2: сочф, ~2) =- М~!(2 = М Д! — М~!)(г2 — Мгз)) . Как обычно, выпишем последнее выражение для дискретного и непрерывного случайных векторов (С!, С2): СОЧ(С!,С2) = 2'(Х, — МС!) (ху — МС2) ры, ьз соч(г!,ь2) = ~ ~ (х! Мч!) (г2 М(2)РЕЛг(х! х2)йх! г~а2 Ковариация обладает следующими свойствами: 1. соя(с, с) =- М(с — Мс)2 =- 0с. если с! и с2 независимы (и имеют математические ожидания), то сочф,~2) = МЯ! — М~!)ф — М~2)) = (Мф — М~!))(М(~2 — М(2)) и, значит, 2. соя(СыС2) = О для независилгых случайных величин С! и С2.
Как видно нз свойства 2, ковариация независимых случайных величин равна нулю. Однако обратное, вообще говоря, неверно. Существуют зависимые случайные величины, ковариация которых также равна нулю. Далее, пусть Ч! = а!С! + Ь!, у2 = а2С2 + Ь2. Тогда соя(ны 222) = М((ч! — М22!)(222 — Мят)) = = М(а!С! + Ь! — а!МС! — Ь!)(а2Ц2+ 62 — а2МС2 — Ь2) = = М(а!а2(С! — МС!)(С2 — МС2)). 126 Гл. 7 Числовые характеристики случаинь(х величин Поэтому 3. соч(ц), «)2) =- а)от соч(д),С2). Наконец, рассмотрим дисперсию случайной величины () = хд) — С2, где х произвольное число. По свойствам дисперсии О(), = ддОб) — 2х соч(с(, 62) + 062.
Как функция от д: дисперсия О() представляет собой квадратный трех- член. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант (2соч(б),Я)2 — 40~)0бт квадратного трехчлена ОЧ неположителен, т, е, 4. — ~/0~)0~2 ( сочД),62) ( ~/0~)Обт . Более того, если дискриминант равен нулю, то уравнение ддОб) — 2х соч(чг), 62) + Очгз = О имеет решение хо. Тогда Оць = О и, значит, (1 „: — с, с2 = ход) — с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
