Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пример 1. Пусть 8 — число угаданных номеров в «Спортлото 6 из 49» (см. пример 8 в гл.5) В соответствии с рядом распределения в табл. 7 гл. 5 имеем Мб = 0 ро + 1 р! ч- 2 рг + 3 рз †' 4 рг + 5 рв + 6 ро гм = 0 0436-г- 1 0413+ 2 О!324-1-3 00176 — 4 0000974 45.2 !О з+6 7 10 "=.0735. Таким образом, среднее число угаданных номеров равно 0,735. Пример 2. Найдем математическое ожидание случайной величины и.
распределенной по биномиальному закону (число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р): Мр = ~ ' гР„1г) = ~ г( )и'у" ' = ~ г, ', р*у" =о =о =о 1п — 1)1 =! ,.о = пр2 Рп г(У) = пр. П г=о Пример 3. Пусть 8 имеет распределение Пуассона Тогда =о г. - ! г=о з Таким образом, параметр Л пуассоновского распределения совпадает с математическим ожиданием. гз П р и м е р 4.
Математическое ожидание геометрически распределенной случайной величины 8 имеет вид гру' =. ргтрк кгу' ' = ргт( т у')' = ргт( )' = С! 1!6 г"л. 7. Числовые характеристики случайных величин Пример 5. Положительная целочисленная случайная величина 6 имеет закон распределения р, = Р)С = г) = 1)'1 10'+ 1)) (1=- 1,2,...). Тогда 0 00 О и, значит, математическое ожидание случайной величины Ь не существует П Для определения математического ожидания непрерывной случайной величины г„ имеющей плотность распределения р(х), заметим, допуская некоторую вольность изложения, что случайная величина д принимает значение х с вероятностью р(зг) дх.
Заменяя сумму на интеграл, получаем: математическим ожиданием (средним значением) М( непрерывной случайной величиньг ( называется интеграл М( =- ~ хр(х) дх. В этом случае условием существования математического ожидания яв- ляется 1х р(х) дх ( оо. Так же, как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр тяжести стержня, плотность массы которого в точке х равна р(х). П р и м е р 6.
Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке )а, Ь) случайной величины (. Поскольку в этом случае р(х) = 0 при х < а и х > Ь, то ОО ь М(= ~ хр1х)01х= дт,= — ГЬ вЂ” а ) = 16 — а Ь вЂ” а 2 2 — 00 Как и следовало ожидать, МЬ совпадает с центром отрезка 1а, Ь). П р и м е р 7. Математическое ожидание случайной величины (, распределенной по нормальному закону со средним т и средним квадратичным отклонением а, определяется формулой ".о оо М6= ~ хх., (х)Их= е з- 01х.
ачг2~г Делая замену у = (х — гп)г'а, ~олучаем ~ ус " йу+ т ~ грГу) г1у. О'2~г 2. Математическое ожидаиие функции от случайной величинь! 117 Нетрудно видеть, что первый интеграл равен нулю, а второй равен единице как интеграл от плотности стандартного нормального распределения. Таким образом, Мс =- т, откуда н пошло название параметра т — среднее значение (второе название математического ожидания). П Пример 8. Пусть б — случайная величина, распределенная по закону Вейбулла. Тогда, поскольку р(х) = О при х < О, то Мб = ~ хр(х) г!х = ~ одхве ' ч!х. О Делая замену р = ох~, получаем ! ! ! ! ! Мб= ~ ре ио чрв г)чу=о в~ рг е иду=о зГ( — +!).
сз д е о П р н и е р 9. Математическое ожидание случайной величины б, имеющей гамма-распределение, задается выражением Г( г) о Делая замену р = Лх, получаем М,= 7--.. = (-П ° лг(т) ) " " лг(т) л ' о Пример 1О. Случайная величина б имеет плотность распределения Коши р(х) = 11'(я(! -Ь х)з!. Тогда !х) йх я (! -!- ха) и математическое ожидание б не существует В общем случае математическое ожидание случайной величины задается выражением Мс = ~ х г(л'(х), где интеграл понимается в так называемом смысле Стилтьеса.
Поскольку мы рассматриваем только дискретные и непрерывные случайные величины, последнее выражение можно трактовать как обобщенную запись формул для математических ожиданий дискретной и непрерывной случайных величин. 2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания Прежде чем переходить к описанию свойств математического ожидания случайной величины, позволяющих, как будет видно из примеров, в ряде случаев существенно упростить его вычисление, определим математическое ожидание функции от случайной величины (случайно- 1!8 Гл.
7. Числовые характеристики слукаиных величин го вектора). Итак, пусть О = д(() — функция от случайной величины. Для определения Мг! = Му(5) можно было бы сначала по формулам параграфа 5 гл. 5 найти распределение случайной величины Ч и затем уже, воспользовавшись определениями предыдущего параграфа, вычислить МЧ. Однако мы применим другой, более удобный подход. Рассмотрим сначала дискретную случайную величину ц, принимающую значения Х!,..., Х„.
Тогда случайная величина и = д®, как мы знаем, принимает значения д(Х!),...,д(Х„) с теми же вероятностями р, = — Р(4 = Х,), и ее математическое ожидание определяется формулой МЧ = Мд(5) = ~д(Х,) р,. ~=! Если случайная величина ц принимает счетное число значений, то математическое ожидание Е определяется формулой Мц = Мд(Е) = ~ д(Х,) р„ ~=! но при этом для существования математического ожидания необходимо выполнение условия ~' д(Х,) р, < сю.
~=! П р и м е р 11. Определим математическое ожидание выигрыша Ч в «Спортлото 6 из 49» (см пример 9 в гл. 5). Поскольку П является функцией от случайной величины б — числа угаданных номеров, то, воспользовавшись формулой для математического ожидания функции от случайной величины и рядом распределения в табл. 7 из гл 5, имеем мц = му(5) = у(0) Р(5 = 0) -ь д(!) Р(б = 1) -1- у(2) Р(5 = 2) -1- -1- у(3) Р(5 = 3) ч- у(4) Р(б = 4) -ь у(5) Р(5 = 5) -1- у(6) Р(5 = 6) ж ж — 0,3 (0,436 -Ь 0,4! 3 + 0,1324) -Ь 2,7 О О! 76 -Ь 54,7 . 0,0009? -Ь + 699,7 2 10 в + 9999,7 7 !О = -0,179.
Таким образом, математическое ожидание выигрыша отрицательно и равно примерно 18 коп., а это значит, что играющий в среднем проигрывает больше половины стоимости билета (30 коп.). Естественно, мы получим то же значение Мгь если воспользуемся рядом распределения случайной величины г1, представленным в табл. 1О из гл. 5. С! Аналогично, для непрерывной случайной величины 5, имеющей плотность распределения р(х), математическое ожидание случайной величины г! = д(Я) определяется выражением М!! = Мд(с) — — ~ д(х)1т(т) сш, 2. Математическое ожидание функиии от случайной величины 119 причем и здесь должно быть выполнено условие 1 ~д( )~р( )дх < В дальнейшем, чтобы каждый раз не оговаривать условие существования математического ожидания, будем предполагать, что соответствующие сумма или интеграл сходятся абсолютно.
Математическое ожидание функции от многомерной случайной величины определяется точно так же. Так, математическое ожидание Мг1 функции и =- д®,Са) от дискретной и непрерывной двумерных случайных величин ф,~з) задается выражениями Мд = Мд(сь ~з) = 2 д(Х„Уу) р, Мг1 = Мд®,Ы = ~ ~ д(х,у)рбг,(х д)йхг1у. Теперь мы в состоянии вывести свойства математического ожидания. Если случайная величина С принимает всего одно значение с с вероятностью, равной единице (т.е. по сути дела является неслучайной величиной), то 1. Мс=с 1=с.
Далее, найдем математическое ожидание случайной величины г1 = а(+ 6 (д(х) = их+ 6). Рассматривая, например, непрерывный случай, имеем Мг1 = М(аг, + 6) = ~ (ах + 6) рл(х) г)х = а ~ х ре(х) с(х -ь 6 ~ рг(х) г)х, т. е. 2. М(аг, + 6) =. аМ~ + 6. Аналогично свойство 2 доказывается для дискретной случайной величины С. Пусть теперь д = ~1 + ба (д(хь ха) =- х1 + хм). Тогда (теперь уже на примере дискретной случайной величины) Мг1 = Мф + чз) = ~(Х, + 1~) Рм — — ~ ХРУ + ~ У) Рм —— ч.з иу =~Х~'р, н-~У 2 р„=~'Хрг, +~1",.р и, значит, З. М(б, + Ы = Мб, + Мб,. К свойству 3 можно сделать следующее замечание: математическое ожидание суммы случайных величин может существовать даже тогда, 120 Гл.
7. Числовые характеристики случаинь!х величин когда математические ожидания обоих слагаемых не существуют. Так, М(с — с) = МО = 0 несмотря на то, что Мс может и не существовать. Очевидно также, что свойство 3 обобщается на случай произвольного числа и, слагаемых. Наконец, если С! и С2 независимы, то для математического ожидания их произведения Ч = ~!(2 (у(х!,хз) =- х!хз) имеет место формула (снова обращаясь к непрерывному случаю) Мт! — М(с!сз) Г Г х$х21204»(х! т2)г(х! г«хз ~ хнх~РЕ(х!) Ро(хз) г)х! Нхз = ( ~ У!»»0 (х!) ах!) ( ~ Х2рг (Х2) «1хз).
Поэтому 4. М(С!С2) = МС!МС2 для нвзависимгях случайнь!х величин д! и ~2. И это свойство допускает обобщение на произведение любого числа независимых (в совокупности) сомножителей. Пример 12. Математическое ожидание случайной величины С, распределенной по стандартному нормальному закону, имеет вид Мб= ( хр(х)с!х= ( х е '~2«!х=О. В примере !3 из гл. 5 показано, что случайная величина Ч =- аС + т распределена по нормальному закону с параметрами т и а. Таким образом, по свойству 2 математического ожидания Мп = аМб -1- т =- !и и соответственно параметр т нормального закона является математическим ожиданием. Этот же результат был нами получен прямыми вычислениями в примере 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
