Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Дифференцируя последнюю формулу под знаком интеграла, получаем выражение для плотности ро(х) распределения суммы ~! и ~з Рч(х) =- ~ Пг( -У)РО(У)) Ь Последнее выражение носит название формулы свертки и должно быть хорошо известно читателю, знакомому с элементами теории преобразований Фурье. Пример 28. Случайные величины б! и бг независимы и имеют гамма- распределения с параметрами Л, и и Л,"гг соответственно. Найдем плотность распределения суммы г! =. б! ч- Ег. Ясно, что поскольку б! и ба — положительные случайные величины, то случайная величина и также положительна 7. Функции от многомерных случайных величин и рч(х) = О при х < О.
При х ) О, учитывая, что рб(у) = О при у < О и рс,(х — у) = О при и ) х, имеем по формуле свертки Г Лт~(х — уП-' -М.— глЛо~ую Г Р" ( У)Р" (У) д 3 Г( .) Г(е ) Г(ч ) Г(т1 ) — Л ' — а — 1 -'е у, Г(те)Г(т,) о Г(х) введена в гл. 5, параграф 4.
Делая замену у = хг, получаем 1 рч(х) = Люч "х"+" е *~ ' ' с(г. Г(,)Г(Ъ) о Интеграл, стоящий в последнем выражении, представляет собой так называемый р-интеграл, хорошо известный в теории специальных функпий. Однако мы для его вычисления воспользуемся просто условием нормировки ~ р„(х) с(х = 1, а откуда (1 е)ю — ~ н — 1 сЬ = Г(та)г(т,) г(т, -г та) о и получаем окончательно, что случайная величина П также имеет гамма- распределение с параметрами Л, и -ь ул Отсюда, в частности, следует: если независимые случайные величины имеют распределения Эрланга порядков )г~ и кг соответственно (с одинаковым параметром Л), то их сумма также распределена по закону Эрланга порядка 61 -Ь )и (также с параметром Л); если независимые случайные величины имеют распределения Л с А1 и Йа степенями свободы, то их сумма также имеет распределение Л с )и -Ь (и степенями 2 свободы.
П Пусть теперь с двумерным случайным вектором (4ю~з) связана не одна, а две (можно рассматривать и большее количество) случайные величины г)~ = д1ф,Я и па = д ф,бз). Тогда мы можем определить совместную функцию распределения случайных величин т)1 и т)ю Так, для непрерывного двумерного случайного вектора ф,ца) Тгттч,(хнхз) = ~~ рфд,(д,дз) Ь г(дз.
1йл ю)<х~ в2(х и)< Если д1(хнхз) и да(хыха) задают взаимно однозначное преобразование плоскости саму в себя (или в некоторую область С), причем обРатные пРеобРазованиа )И(Унда) и 6з(дида) имеют непРеРывные частные производные по у1 и ую то плотности распределения случай- 1!2 Гл. 6. Многомерные случайнь1е величины и их свойсл1ва ных векторов ф,йг) и (г11, 112) связаны между собой соотношениями Р и. д (У1 Уг) = Рб А (61(У1 Уг), 62(У1 Уг)) у~ где — 61(У1, Уг) д д —,,„62(У1, Уг) 111(У! У2) д дуг д дуг 62(У1 У2) — якобнан преобразования (61(у1, уг), 62(у1, уг)).
Это свойство вытекает из того факта, что Р(У1 < 01 < у1 + сх1, уг < Уг < Уг + схг), с одной стороны, приближенно равна р„, „,(у1, уг)сх1схг, а с другой приближенно равна рб с, (61(у1,уг),62(У1,уг)) Я, где Я площадь прообраза прямоугольникз со сторонами (у1, у1+ 211) и (уг, уз+ гтг), которая, как известно из курса математического анализа, в свою очередь приближенно равна 1,7 Ь12."чг. В частности, пусть д,(х1,хг) = 6,1х1 -1- бчгхг + с,.
ч = 1,2, т.е. преобразование линейное, причем матрица В = (6,.) невырожденная. Тогда Рч(у) = Рс (В (у с)) 1 — —,'1в1 — 'л 'в — '1юх1 (гв)" г 1В 4 В ыг т е. также распределен по нормальному закону с нулевым вектором средних из„ и матрицей ковариаций А„ = В211В, где  — матрица линейного преобразования (б„), а  — транспонироваиная к В матрица.
Из курса линейной алгебры известно, что всегда можно подобрать невырожденное преобразование В таким образом, чтобы матрица А„ была единичной, т.е. вектор и имел бы стандартное нормальное распределение Таким образом. мы нашли второй способ (ср с результатом параграфа 4) задания и-мерного нормального случайного вектора д, имеющего произвольный вектор средних ит и матрицу ковариаций А, с помощью а-мерного стандартного нормального вектора т1: д = В 'и ж тп. Отметим также, что если матрица В ' вырождеиа, то мы получаем так называемый вырожденный нормальный закон П где В ' — обратная к В матрица, а 11В ~ — модуль определителя матрицы В.
Пример 29. Пусть Д = ф,...,(„) — (невырожденный) и-мерный случайный вектор, распределенкый по нормальному закону с матрицей коварнаций Аь и вектором средних пзе = (0,,0) (этого всегда можно добиться, вводя случайный вектор Д* = Д вЂ” из). Введем новый случайный вектор я = (щ,...,тб,) = Ве, где  — некоторая невырожденная квадратная матрица порядкан (в этом случае случайные величины гб = баб~ + + б,нбн задаются линейными функциями у,(ты...,х„) = бах~ + .. + б„х ).
Тогда случайный вектор И имеет плотность распределения — тл 'в-' в6'и Р (У) = Рь( — -л;в- ю в- в1 ~ В~ (гв)'дг А,~жг 1В ~ 113 7. Функции от многомерных случайно!х величин В дальнейшем нам понадобится следующее почти очевидное свойство функций от случайных величин. Пусть случайные величины ц! и цз независимы, а функции д!1х!,хз) и дз(х!,хз) таковы, что д!гсх! хз) = д!г!х!) и дз(х!, тз) = уз!ха). Тогда случайные величины г1! = д!ггчг! Ы = д!Ж) и т12 = дзГ4!,Ы = да!42) также независимв!. Действительно 1пРелполагаЯ, напРимеР, что Ц! и Цз непРеРывные случайные величины), имеем л'чт!г(х! хз) ~~ Рб,6!У! Уз) аУ! ауз Ь я!1< еда ло1<*! Ц Р,,(у!)Р,!(у,) г)у! Ууз = ЬьЫ<т гн Ь, т1<*! = ( ~ Ре'!у!) с1чу!)( ~ Р1з1уз) г)уг) =Рюшах!)Ет(ха).
ядий<т вг1у!1<со Как и все остальные свойства, рассмотренные в настоящем параграфе, зто свойство без всяких комментариев переносится на случай произвольной размерности п случайного вектора Г. Пример 30 Пусть 8!,..., 8„— независимые случайные величины, распоеделенные по стандартному нормальному закону. Тогда случайные величины 8!,..., б„" также независимы и распределены по закону К с одной степенью свободы !см, пример 12 в гл. 5) и, как следует из примера 28, случайная величина г! = 8! + .. -Ь бз имеет распределение тге с п степенями свободы. Извлекая квадратный корень из сь получаем при и = 2 и и = 3 распределения Рзлея и Максвелла гсм пример 27). Глава 7 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Мы теперь знаем, что каждая случайная величина характеризуется своей функцией распределения С точки зрения наблюдателя, две случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения, неразличимы, несмотря на то, что они могут быть заданы на различных вероятностных пространствах и описывать разные явления.
Так, при игре в «орлянку» все равно, какая (симметричная) монета бросается, н, если кто из играющих и пытается сменить монету, то это скорее дань предрассудку, нежели возможность поправить свои дела. Однако в том случае, когда случайные величины имеют различные функции распределения и их необходимо сравнить, возникает определенная трудность Иногда эта трудность легко преодолима. Например, если в схеме Бернулли нас интересует число успехов, то из двух схем Бернулли естественно выбрать ту, в которой больше вероятность успеха.
В общем же случае непонятно, как сравнивать две функции распределения, а поэтому хотелось бы характеризовать каждую случайную величину некоторым (неслучайным) числом (возможно, несколькими числами), которое и позволило бы произвести упорядочение случайных величин в определенном смысле.
Такие числовые характеристики будут рассмотрены нами в этой главе Отметим, что основную роль на практике играют математическое ожидание, характеризующее «центральное» значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая «разброс» вокруг математического ожидания, их роль более подробно будет выяснена в следующей главе. Среди остальных характеристик можно выделить те, которые применяются в специальных вероятностных дисциплинах (например, квантили широко используются в математической статистике), и те, которые носят ярко выраженный теоретический характер (моменты высших порядков) 1.
Математическое ожидание случайной величины Математическим ожиданием (средним значением) Мд дискретной случайной величины д называется сумма произведений значений Х, случайной величины на вероятности р, =- РД = Х,), с которыми эти значения принимаются: М~=~Х,Р,. При этом, если случайная величина ~ принимает счетное число значений, то необходимо, чтобы У Х~р«< оо; «=1 1. Математическое ожидание случайной величины 115 в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины 4 не существует.
Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами р, и пусть Хг координата г-й точки. Тогда центр тяжести системы будет иметь координату ~'х,р, ) х,р, х=' =' =~хр„ г совпадающую с математическим ожиданием М4 случайной величины д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
