Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 24
Текст из файла (страница 24)
!л 106 Гл. 6. Многомерные случайнь1е величины и их свойства несколько иначе; в этом случае приведенное здесь определение выступает в роли необходимого и достаточного условия независимости. Совершенно аналогично определяется независимость произвольного ЧИСЛа СЛУЧайНЫХ ВЕЛИЧИН. СЛУЧайНЫЕ ВЕЛиниНЬ1 Ч1,...,ги НаЗЫВаЮтся независимь1ми (в совокупности), если Рб,...,б. (1 1 за) Рб (х1) ~б, (хи).
Разумеется, так же, как и для событий, из попарной независимости не следует независимость случайных величин в совокупности. П р и м е р 17 Свяжем с бросанием правильного раскрашенного тетраэдра (пример 11 в гл. 3) три случайные величины: сн 81 и 8з, каждая из которых может принимать значения 0 илн 1, причем 81 = 1, если тетраэдр упал на грань, в раскраске которой присутствует синий цвет, и 81 = 0 в противном случае.
Аналогично, 8г характеризует наличие красного цвета, а Сз — зеленого. Нетрудно видеть, что случайные величины 8н С и бз будут попарно независимы, ио зависимы в совокупности. П Пример 18. Рассмотрим широту 8п долготу 8г места падения метеорита на Землю и время 81 от начала наблюдений до момента его падения (см пример 5). Предполагая, что каждый падающий метеорит имеет случайное направление, мы должны считать случайные величины Гп 81 и 8з независимыми Однако если Земля проходит через метеоритный поток определенного направления, уже нельзя пользоваться моделью с независимыми 81, 81 и 8з, поскольку долгота места падения связана с тем, какой стороной к потоку метеоритов обращена Земля, т.е.
в конечном счете со временем. Тем не менее и в этом случае широта 81 не будет зависеть от времени 81, т.е. имеет место независимость случайных величин 81 и бз, хотя случайные величины 8п 81 и 81 зависимы в совокупности. Предоставляем читателю самостоятельно поразмышлять над вопросом. какое направление должен иметь поток метеоритов, чтобы были независимыми между собой случайная величина 81 и случайный вектор (81,8з) (широта не зависит от долготы и времени падения).
П Пусть 5 и 17 — независимые случайные величины. Рассмотрим событие (х1 < д < хг), связанное со случайной величиной Ч, и событие (У1 < 17 < Уг), связанное со случайной величиной 1ь В силу независимости д и 11 Р(х1 < ~ < хг, у1 < г1 < Уг) = = Е(Хг, Уг) — Е(Х1, Уг) — чх'(Хг, У1) + чс'(Х1, У1) = = ег(хг)гч(уг) гд(х1)хо(уг) Ыхг )еп(У1 ) + рЪ(со1 )еч(У1) = = (л((зг) — еых1))(хл(уг) — лч(У1)) = = Р(х1 «;, хг)Р(У1 < О < Уг). Таким образом, для независимых случайных величин независимы между собой не только события, связанные с попаданием случайных величин ( и О на интервалы ( — сс,х) и ( — гю,у), но и на любые интервалы (х1, хг) и (у1, уг) и, более того, в любые (измеримые) одномерные множества А и В.
б. Независимые случайные величины 107 Для проверки независимости компонент многомерных дискретных и непрерывных случайных векторов обычно бывают удобными дру- гие эквивалентные определения независимости (доказательство экви- валентности приводимых ниже определений предоставляем читателю).
Так, дискретные случайные величины б и и независимы, если для всех возможных значений Х, и ту Р(ь = А~ г! = )1) = Р(я = Х~)Р(т! = )1) = рбрч1. Пример 19. В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 6) Р(» = 0 рэ = О) = Чз = Рт Р, = 0) Р(ра = 0), Р(» = О, » = 1) = др = Р(» = 0)Р(рз = 1), Р(и| = 1,из = 0) = ру = Р(» = 1)Р(рз = 0), Р(» = 1НИ = 1) = ра = Р(» = 1)Р(рг = 1) Таким образом, числа успехов 1П и и в первом и втором испытаниях представ- ляют собой независимые случайные величины. Впрочем, иного и нельзя было ожидать из самого определения схемы Бернулли.
Читатель может самостоя- тельно убедиться в том, что независимы в совокупности случайные величины »,.,,, р„— числа успехов в первом,..., и-м испытаниях Бернулли. !л Непрерывньье случайные величины ~ и т! независимьц если для всех х и у Рб ( ц У) =Р4(х)Рч(У) Отметим здесь же, что если независимые случайные величины ~ и О непрерывны, то и двумерная случайная величина (б, т1) обязана быть непрерывной (ср. с примером 10). Пример 20.
Координаты двумерного нормального случайного вектора (см. пример 16) независимы тогда и только тогда, когда р = О, т.е. матрицы А ' и А — диагональные. В этом можно без труда убедиться, сравнивая выражения для рг ь(т, у) с произведением рг(к) рь(у). Аналогично, случайные величины бц, б„,, имеющие совместное п-мерное нормальное распределение, независимы (в совокупности) тогда и только тогда, когда матрица А ~, а значит, н ковариационная матрица А диагональны Интересно отметить, что по- парная независимость всех компонент Б и г, нормального вектора (Бц влечет за собой независимость случайных величин бц..., б в совокупности (ср.
с примером 17) П Для читателя, ознакомившегося с понятием условного распределения (параграф 5), приведем еще один критерий независимости случайных величин б и у: случайные величины б и т) независимы тогда и только тогда, когда условное распределение (функция распределения Гб(х ~ т! = у), плотность распределения рг(х ~ э! = у)) случайной величины С при условии т! = у совпадает с безусловным распределением (функцией распределения Р!(х), плотностью распределения рб(х)) случайной величины с при всех значениях х и у.
В частности, дискретные величины б и О независилэы тогда и только тогда, когда все условные вероятности км —— РД =- Х, ( э1 = т'у) совпадают с безусловными вероятностями рг, = РД = Х,), т.е. все столбцы табл. 4 совпадают с последним. 108 Гл. б. Многомерные случайные величины и их свойсшва Пример 21. В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 6) числа успехов !«~ и ра в первом и втором испытаниях независимы, поскольку в табл. 5 все три столбца совпадают. Этот факт нами уже был установлен другим способом в примере !9. П П р и м е р 22.
Число очков 6, выпавших на верхней грани игральной кости, и число очков «1 на нижней грани (см пример 7) — зависимые случайные величины, поскольку вообше ни один из первых шести столбцов табл 6 не совпадает с последним. П Пример 23 В примере 11 показано, что условное распределение времени пребывания 6 клиента в кассе «Аэрофлота» (см.
пример 9) при условии, что в момент прихода он застает очередь т! из ч человек, является распределением Эрланга порядка т ч- 1, в то время как случайная величина 6 распределена по экспоненциальиому закону Таким образом, б и ч — зависимые случайные величины П П р и м е р 24 Условная плотность распределения случайной величины 6 (абсциссы точки падения при равномерном бросании в круг, см пример 8) при условии т! = у (ординаты точки падения), как следует из примера !5, равномерна, в то время как безусловная плотность распределения случайной величины 6 таковой не является. И в этом примере случайные величины 6 и В зависимы между собой.
П 7. Функции от многомерных случайных величин Функция от многомерной случайной величины определяется точно так же, как и функция от одномерной. Рассмотрим это понятие на примере двумерной случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве (!1, З, Р) задана двумерная случайная величина ф,(з). Предположим, что у нас имеется (измеримая) числовая функция д(т!, шз) числовых аргументов х! и хю Случайную величину т! = дф, (а) = д(г!(ш), (з(ш)) назовем функцией от двумерной случайной величины ф, ~з). Функция д(г!,дз) от двумерной дискретной случайной величины (д!, ~з) снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения д(Х„)'у) с вероятностью р, = Р(г! = Х„гз = 1'), где Х,— значения случайной величины ~!, а Ъ' — случайной величины Разумеется, для того чтобы построить ряд распределения случайной величины т! = д(Е'!,~з), необходимо, во-первых, исключить все те значения д(Х„ )гу), которые принимаются с вероятностью, равной нулю, а, во-вторых, объединить в один столбец все одинаковые значения д(Х„ Т'г), приписав этому столбцу суммарную вероятность.
П р и м е р 25. Рассмотрим случайную величину р — суммарное число успехов в двух испытаниях Бернулли. Тогда р = и~ е рз (см пример 2) и д(мы аз) = а~ + хз. Поскольку случайные величины и1 и из принимают только два значения 0 или 1, то случайная величина р может принимать 4 значения д(0,0)=0+0=0, д(1,0)=1+0=1, д(0,1)=0+1=1 и д(1,1) = 1 Е 1 = 2 с вероятностями (см. пример 6) д; рд, др и ра соответственно (табл. 7). Осталось заметить, что двум средним столбцам соответству- !09 7. Функции от многомерных случайньгх величин Таблица 7 ет одно и тоже значение 1 случайной величины р и их необходимо объединить.
Окончательно получаем ряд распределения случайной величины Р, представленный в табл. 8. Естественно, мы получили, что суммарное число успехов р в двух испытаниях имеет распределение Бернулли. Д Таблица 8 Таблица 9 Пример 26. Пусть б — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, а г? — на нижней (пример 7). Рассмотрим случайную величину ( =- 8 ч- и — суммарное число очков, выпавших на верхней и нижней гранях (д(м, у) = х+ у). Тогда ч может принять любое целочисленное значение от 2 до 12.
Так, например, значению ( = 4 соответствует выпадение 1-3, 2-2 и 3-1 очков на верхней и нижней гранях. Однако нетрудно видеть из табл 3, что все значения, кроме значения, равного семи, случайная величина 4' принимает с вероятностью, равной нулю, и их необходимо изъять из ряда распределения, а значение ? случайная величина ( принимает в 6 случаях (1 — 6, 2 — 5, 3 — 4, 4-3, 5-2 и 6 — 1), причем каждый из этих случаев реализуется с вероятностью !?'6. Поэтому случайная величина Ч может принимать всего одно значение — 7 с вероятностью, равной единице, т.е.
она имеет ряд распределения, представленный в табл 9. Собственно говоря, это было очевидно с самого начала, поскольку игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна семи. С! В том случае, когда (4!,дз) двумерная непрерывная случайная величина с плотностью распределения рф 4,(х!,шз), функция распреде- лениЯ слУчайной величины т! = д(4!,4э) опРеделЯетсЯ фоРмУлой Гч(ш) = )) Рф ф(хышв) г(х! г(хз. д(еьтз1<х Область интегрирования в последней формуле состоит из всех ю! н тз, для которых д(х1,юз) < х. Пример 27 Пусть (61,6з) — двумерный случайный вектор, распределенный по стандартному нормальному закону.
Найдем распределение случайной величины и = Т)6; + ~,",. В этом случае д(хи из) = )/хг1+ зз) . Очевидно, что !!О Гл. б. Многомерньге случайные величины и их свойства й;г(х) =- О при х < О, а при х > О „г Г (х) .= ~ ~ е ! !*'ч'гг дх! с!хг. г' г, Последний интеграл удобно вычислить, переходя к полярным координатам р и р. Тогда хг Ч- х., '= рг, дхгг2хг = рйрг!р, а область интегрирования превращается в круг р < х: г ач г ! г ! ,г гг оч(х)=) аР~ е ЗеРбгР=~Ре се г2Р=! — е гт (х>О). 2т о о о Это уже известное нам распределение Рэлея Полученный результат допускает многочисленные физические трактовки.
Приведем одну из них. Если движущаяся в плоскости частица имеет случайные составляющие скорости, распределенные по двумерному стандартному нормальному закону, то абсолютная величина скорости распределена по закону Рэлея. Трехмерным аналогом распределения Рэлея (абсолютная величина скорости частицы, движущейся в трехмерном пространстве, причем составляющие скорости распределены по трехмерному стандартному нормальному закону) является распределение Максвелла, представляющее собой распределение случайной величины и = эггар, где б — случайная величина, распределенная по закону х с тремя степенями свободы С! Особо важным для теории вероятностей представляется случай, когда г! и да — независимые случайные величины, а и =- д! + дз — их сумма. Тогда д(х!, хз) = х! + ггж н в силу независимости ~! и ~з гв(Х) ~ ~ Рб,ьг(Х! Х2) г(Х! ггхз ~ ~ Р ~ (гт!)Р(г(хгз) ЙХ! г(Х2 = е г -!- е г < т хг-~-е <х х — ег РО(х!)с(х! ~ Рг,(хз) с(хг = ~ Рг,(х — у)рг,(у) с(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
