Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Л, и > О. Л и Ряд распределения случайной величины г! находим, проинтегрировав р,(х) по х г +1 рн = Р(г! = !) = ~ р,(х) йх = (! — р) р' ~, е "*йх = (1 — р) р' о (! = 0,1,2,...). Итак, длина очереди г! распределена по геолгетрическому закону. Аналогично, плотность распределения случайной величины б получаем, суммируя р,(х) по!: о е1 рс(х) = ГЕ(х) = 2 (1 — р) р', е '"* = (1 — р) ив "0 еы (х > 0), ;=о т е. время б пребывания клиента в кассе имеет экспоненциальное распределение с параметром у (! — р). сл Еще более интересные явления возникают, если рассматривать случайные величины, имеющие явную функциональную зависимость. П р и м е р 10 Пусть б — непрерывная случайная величина с функцией распределения Г(х) и плотностью распределения р(х).
Рассмотрим двумерный случайный вектор (б,б) с одинаковыми координатами б и совместной функцией распределения Гие(хи хг) = РД < хи б < хз). Ясно, что вектор (б,б) не является дискретным. Покажем, что (б,б) не может быть н непрерывной двумерной случайной величиной. Для этого заметим, что при х~ < ха событие (б < хи б < ха) совпадает с событием (б < х~) и, значит, Гел(хн ха) = Г(х~). Но тогда дг ре с(хи ха) = Гсл(хиха) = 0 дх~дха при х~ < ха. Аналогично, Гел(хи хе) =- Г(ха) и д рсс(хпха) =, Гсл(хи х ) = 0 дх~дхз при хз < хп 5. Условныв распределения Таким образом, если бы у вектора (б,б) существовала плотность распреде- ления, то она равнялась бы нулю всюду, кроме биссектрисы х~ = хы и, значит, ~ рог(хо хо) дх1 йх = О, что противоречит свойству 3 совместной плотности распределения Ясно, что причина этого явления кроется в том, что значения двумерного случайного вектора (б,б) полностью сосредоточены на биссектрисе х~ = хо.
О 5. Условные распределения 1) Рассмотрим двумерную случайную величину (~,т1) с совместной функцией распределения Ег (х,у). Пусть известно, что случайная ве- личина г? приняла значение у. Естественно задать вопрос: а что можно сказать при этом условии о распределении случайной величины ~? Ответ на этот вопрос дает условная функция распределения случайной величины ~ при условии у = у.
Как видно из самой постановки задачи, понятие условного распределения весьма схоже с понятием условной вероятности, разобранным в параграфе 1 гл. 3. Именно исходя из понятия условной вероятности, мы введем понятие условного распре- деления. Начнем с наиболее простого случая. Пусть случайная величи- на у является дискретной. Назовем условной функцией распределения Ее(х у = г',) случайной величины ( при условии у = У, условную вероятность события (б < х) при условии события (у = У,), т.е. в со- ответствии с определением условной вероятности, Условная функция распределения обладает всеми теми свойствами, которые присущи обычной (безусловной) функции распределения.
Пример 11. Найдем условное распределение времени пребывания б клиента в кассе еАэрофлотаь (пример 9) при условии, что в момент прихода он застает очередь Ч из 1 человек. В этом случае, как мы знаем, РЫ <х,ч= ') =(1 — р) р*1)" — У е о ду, р(П = ') = (1 — р) р'. о Таким образом, РГ(х)у=!)=) ч е ""йу 1' р*ьЪ* о ) Результаты настоящего параграфа в дальнейшем нигде, кроме параграфа 5 гл.
7, использоваться не будут, и при первом прочтении его можно пропустить. 102 Гл. 6. Многомерные случайньге величины и их свойства и, значит, условная функция распределения се(х ) П =- 1) имеет условную плогпность распределения э~ ! ре(х П = ь) = )ге(х П =1) =, е представляющую собой плотность гамма-распределения с параметрами и, 1 гх 1 или, что то же самое, плотность распределения Эрлаига порядка (э 1. П Если Π— также дискретная случайная величина, причем Р(с = Х„ г) = );) = р„, то удобно рассматривать условную вероятносгпь того, что случайная величина ~ примет значение Х, при условии г! = Ъ', определяемую как условную вероятность события (д = Х,) при условии события (г) = )'д), т.е.
р(П = у' ) рп Обычно условное распределение дискретной случайной величины о при условии дискретной случайной величины г) описывает табл. 4. Ясно, что элементы яг табл. 4 получаются из элементов табл. 1 по формуле ггб = Рыт(Рпг и, наобоРот, Р, = гт,УРп .
Таблица 4 Таблица 5 П р и м е р ! 2 Условное распределение случайной величины р~ (числа успехов в первом испытании) при условии рз = У (д = 0,1) (числа успехов во втором испытании) из примера 6 задается табл 5. П П р и м е р 13. Условное распределение случайной величины б (числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости) при условии П = У (У = 1,... ...,6) (числа очков, выпавших иа нижней грани игральной кости) из примера 7 представлено в табл. 6. П В общем случае условную функцию распределения случайной величины с при условии г) = у также естественно было бы определить о м лай фр У (6<х гг=у) — — р(п = у) Однако это не всегда возможно (например, событие (г) = у) для непрерывной случайной величины имеет нулевую вероятность; Р(г) = у) = = О).
Поэтому попытаемся воспользоваться предельным переходом, 5. Условные распределения Таблица 6 рассматривая вместо события (ц = д) событие (д < ц < д +»'») и устремляя сг к нулю. Итак, определим сначала условную вероятность Р(с < х д < «~ < д+»л) = Р(б <, д < и < д+ л) тге,(х, д — л) — ге,(х, д) Р(д < о < д+ ь) г,(д+ ь) — г„(д) и назовем условной функцией распределения ЕЕ(х ~ ц .= у) предел Ге(х ~ ц = д) = 1пп Р(С < х ~ д < ц < д + сз). сг-о Оказывается, такой предел всегда существует (правда, в определенном смысле: это производная Радона-Никодима одной меры по другой.
Производная Радона — Никодима определяется не однозначно, а с точностью до множества точек на прямой, вероятность попадания в которое случайной величины ц равна нулю. Впрочем, с неоднозначностью определения условной функции распределения мы фактически уже встречались в случае дискретной случайной величины хй действительно, условную функцию распределения Гс(х ~ и = д) мы определяли только для д = Уы для остальных значений д мы могли бы задать Г~(х ~ и = д) совершенно произвольным образом, поскольку все равно случайная величина ц такие значения не принимает).
Если же случайная величина ц непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выражением: а од '"( 'д) РС(хай=у)= '" р«(д) формально получаемым, если в выражении для Р(~ < х ~ д < ц < < д+ сх) поделить числитель и знаменатель на сз и устремить»л к нулю. Пример !4. Найдем условное распределение длины очереди д в кассу «Аэрофлота» в момент прихода клиента при условии, что общее время б, прове- 194 Гл. б. Многомерньье случайньье величины и их свойства денное им в кассе, составило х (пример 9).
Ответ дадим в терминах условного ряда распределения Р(п = ь' ( б = х). Тогда в обозначениях примера 9 а О Р(1 *~< ) р( ) (ррх) — * (л:) ре(х) ре(х) 11 н Таким образом. условное распределение очереди и при условии б = х представляет собой распределение Пуассона с параметром Лх. П В наиболее важных для приложений случаях вектор (г„г)) представляет собой двумерную непрерывную случайную величину с совместной плотностью распределения рь ч(т„у).
Тогда у х д гьа*,ь)=- ( "") ььа",") ""; — Л..иь) = ( и;(",Иь" ду и, значит, ре „(и,у) ь(и Ее(х г( = у) =- уз(у) Нетрудно видеть, что условная функция распределения ГЕ(х ~т) = у) имеет производную по х, т. е. существует условная плотность распределения случайной величины д при условии О = у: РЕ(" О = У) = — Ых ~ г) = У) = Р'л "" — дх ' ' Рь(У) П р и м е р 15 Найдем условную плотность распределения случайной величины б — абсциссы точки падения (из примера 8) при условии, что ордината у приняла значение у. Тогда, как мы знаем, и при (у) < Л О, рс(х ~ у = у) = 2 чгйе — уз если ~х~ > ь/Лз — у'-', если ф < х/Лз — у-'.
Таким образом, случайная величина б при условии у = у равномерно распределена на отрезке ( — чГЛе — уг, зггЛП вЂ” уе ). Если ~ у ~ > Л, то условная плотность РаспРеделениЯ Ре(х ~т1 = У) не опРеделена; но это нас не должно волновать, поскольку случайная величина г1 не может принимать значение, по модулю большее Л. Рекомендуем читателю самостоятельно решить эту задачу для второго варианта определения плотности распределения из примера 8. П ('О, рьч(х у) = ~ „Л. О, р.(у) — , Лз лйа если )х( > з/Ф вЂ” у', если )х( < ьг Лип — Уз, если (у > Л, если (у) < Л, б. Независимые случайные величине! 105 П р и м е р 16.
Пусть (б, Н) — двумерный нормальный вектор с матрицей коварнаций (вг,гг >О, — ! (р(1) и вектором средних (гп!, тг). Найдем условную плотность распределения случайной величины б при условии у = у. Для этого сначала определим ]А] ! — ! в!!(1 — р ) ,ггггг(! — р ) 1 ]А = а!!22(! — р ) А — ! Гг, Пе(! — Р') Теперь мы можем выписать совместную плотность распределения случайных величин б и гр ! Г! — !1 гг1* — гпл — 1 Гл — г1 ] 1 Рвч(х У) = 2гггг ! Г 2 у' 1 — Рг Далее, как нам известно, 2 Рч(У) = гг2 2ГГ и, значит, 6. Независимые случайные величины Назовем случайные величины ~ и г! независимыми, если совместная функция распределения Рсч(х,у) представляется в виде произведения одномерных функиий распределения Е,.(х) и еч(у): Езч(х,у) = Гс(х)Е„(у).
Понятие независимости случайных величин представляет собой перенос понятия независимости событий на случайные величины и опять- таки отражает отсутствие связи между случайными величинами ~ и г) (хотя, повторяем егце раз, и й, и у заданы на одном и том же вероятностном пространстве ((1, З, Р) и в совокупности определяют двумерный случайный вектор (~, Г!)). Иными словами, независимость случайных величин й и у можно охарактеризовать следующим образом: зная значение, которое приняла случайная величина 21, мы никакой новой информации о распределении случайной величины С не получим. Отметим, что обычно независимость случайных величин вводится ) С! х У ьг!Гг-лгд гг! у 2гг(1 — рг) Таким образом, условное распределение б при условии ГГ = у снова является нормальным со средним значением т! + раг(у — те)Г'аг н средним квадратич- НЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ Гггг,г! — ре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
