Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 22
Текст из файла (страница 22)
РД=хнц=хг) =О. 96 Гл. 6. Многомерные слунийные величины и их свойства Кроме этих свойств, повторяюптих свойства плотности распределения одномерной случайной величины, укажем дополнительные свойства совместной плотности распределения. Пусть 77 — некоторая область на плоскости (рис. 4). Тогда, как следует из свойства 4, вероятность попадания двумерной случайной величины (б,г1) в малый прямоугольник (а < 81 < о + Ь|, 6 < хэ < Ь ч- сзэ) приближенно равна р(а,6)тл1стт. Поскольку попадания в непересекающиеся прямоугольники являются ,,Я~тглг;:;:;",',ь несовместными событиями, то, для того что- :4,"г4~ф~~ ,.',';.
.. бы найти полную вероятность попадания ';.~''.-'"-" ", Й', двумерной случайной величины ф г1) в область Е1, нужно просуммировать вероятности попадания во все лмалые» прямоугольники, Рнс. 4 входящие в область 71. Переходя к пределу, получаем для Р((б,г1) е О) — вероятности попадания (~,г1) в область Р формулу 6.
РЯ, 'г1) Е Р) = — ~ ~ р(хн хз) с)х1 с(хэ. Далее, из свойства 7 совместной функции распределения и определения совместной плотности распределения имеем Е4 ) = б~, (-", х) = ~ йуэ ~ рб,(уы уз) уы откуда, дифференцируя по х, получаем выражения для одномерных плотностей распределения случайных величин ~ и ц 7. рг(х) =- ~ рфо(х,у)с(у, ро(у) =- ~ рфо(х,у)г)х. П р н м е р 8. Предположим, что в соответствии с принципом геометрической вероятности мы бросаем точку случайным образом в круг радиусом В с центром в начале координат (см пример 10 в гл.
2). Пусть случайная величина 8 — абсцисса точки падения, а ц — ордината Естественно, поскольку точка не может попасть за пределы круга, то р(хи ха) = 0 прн х( Ч-хгг > Лг. Дла кажДой области внУтРи кРУга (в частности, пРЯмоУгольника (а < 8 < а + Ьп Ь < у < 6 + стэ)) вероятность попадания пропорциональна площади этой области (равна АЬ|глг, где А — коэффициент пропорциональности).
Поэтому нз свойства 4 совместной плотности распределения имеем: р(хнха) = А прн х, + хг < Л, т.е. плотность распределения постоянна внутри г 97 4. Непрерывные двумерные слу годные величины круга. Для определения постоянной А воспользуемся свойством 3 совместной плотности РаспРеделениЯ ПосколькУ Р(хг,хг) = О пРн хг + хг > Л , то р(хг,хг) дхг дхг = ~~ А дхг дхг = яАЛ = 1 *',-г-*, 'к нг и, значит, А = 1ггГяйг).
Итак, если х, + х,, > Л, если х, + хг < Л . г г (О, рГх хг) = ~ „Лг Нетрудно найти плотность распределения случайной величины 5 гпг ьг О, 1 реГх) = ~ ргх,у)ду= ~ адгу= г Нг „г Лв если 1х > й, если 1х < Л. ры„(хг,х ) = если х', + хг > й', если х, -1-хг < Й-. г г г О Предоставляем читателю определить нормировочную константу Л, а также плотности распределения случайных величин С и О н совместную функцию распределения Еып(хг,хг). П 4 П П Бочаров, А В.
Починкин Аналогичное выражение получается н для р„Гу). Для нахождения совместной функции распределения е (хыхе) заметим, что в силу определения совместной плотности распределения 1 Л(х,,хг) = ~~ гл у,, Лг 1 и где область Р представляет собой пересечение квадранта (уг < хг, уг < хг) и круга х', + х., '< Й', т. е. г (хг, хг) с точностью до множителя !г!яй ) совпа- дает с плошадью области Р, имеющей двойную штриховку на рис. 5.
Мы думаем, читатель достаточно хорошо;.«-,« знаком с основами интегрального исчисления ««','-'"', 'ееч .' и может определить плошадь области Р для фК различных хг и хг самостоятельно. Предложенный выше вариант определе- «««У Я ния совместной плотности распределения ."~;,, епг<кг . ««с« ргхг,хг), которую естественно назвать рав- л««.,«Ю.« ' «А««««;! номерной плотностью распределения внутри круга х, + хг < Л, реализует первое решеРис. 5 ние примера !О в гл.2. Во втором решении вероятность попадания одна и та же для областей, имеющих одинаковые при- ращения полярных координат: радиуса гзр и угла Ь р. Переходя к декартовым координатам, получаем, что совместная плотность распределения С и г! в этом случае должна иметь вид 98 Гл. б. Многомерные случайные величины и их свойства В заключение этого параграфа рассмотрим наиболее часто встречающееся на практике распределение непрерывной п-мерной случайной величины.
Многомерное нормальное (гауссово) распределение. Пусть А = = (а, ) положительно определенная симметрическая квадратная матрица порядка п (т.е. а, = ау„ а все собственные значения матрицы А положительны). Обозначим через А ' матрицу, обратную матрице А, а через А '(х,х) — квадратичную форму, порожденную матрицей А т.е. А '(х,х) = ~ а1, х,хг, где а1 1 — элементы матрицы А ьг — — 1 а х, 1-я координата вектора х = (хы...,х„), Пусть также задан и-мерный вектор гп =- (ты..., га„).
Скажем, что и;мерный непрерывный случайный вектор (Сн..., Ст) распределен по (невырожденному) нормальному закону, если его совместная плотность распределения р(хы ...,та) (определяется точно так же, как и совместная плотность распределения одномерной случайной величины: д" р(хн..., х„) = — — — Г(хч,..., х„) ) дх~ . дх„ задается формулой (, ) „( ) — 1 А '1х — ичы — ич1 1 (2 )"чз А~и (Здесь ~А~ -- определитель матрицы А.) Матрица А носит название ковариационной матрицы (матрицы ковариаций), а вектор гп — вектора средних.
Если матрица А (а значит, и матрица А ') совпадает с единичной матрицей 7, а вектор гп = (0,...,0), то ), 1е,г- тх,1 1 (2я) ч/Е Такая плотность распределения по аналогии с одномерным случаем называется плотностью стандартного и-мерного нормального распределения (соответственно е'(хы ...,ха) — функция стандартного и-мерного нормального распределения). Пусть ф,...,С„) и-мерный случайный вектор, распределенный по (произвольному) нормальному закону.
Тогда и — 1-мерный случайный вектор (Сн ...,С„ 1) распределен также по нормальному закону с вектором средних (тн ...,т„ 1) и ковариационной матрицей А', получаемой из матрицы А вычеркиванием последних строки и столбца (это можно показать непосредственно с помощью многомерного аналога свойства 7 совместной плотности распределения двумерной 99 4 Непрерывные двумерные случайные величины случайной величины: Рб,...х„,(с| хп — ~) = ~ Рб,...х„(хп,хп) сгхп, однако существенно проще для этой цели воспользоваться аппаратом характеристических функпий, который частично будет рассмотрен нами в гл.
8). В частности, каждая нз случайных величин 8, распределена по нормальному закону со средним пц и средним квадратичным отклонением а, =,/а Рассмотрим теперь уравнение р(хы ..., х„) =. с, которое для плотности распределения и-мерного нормального распределения эквивалентно уравнению А '(х — пт,х — гц) = с~ = — 21п(с(2т)"ЯА~Нз). Для всех сл > 0 это уравнение в силу положительной определенности матрицы А ' представляет собой уравнение п-мериого эллипсоида, называемого эллипсоидом рассеивания; его главные оси называются .г',йп) лв: осями рассеивания (рис.
6).:..Р,;Х -- ~нп Будем трактовать и-мерный случайный вектор ф,..., („) как координаты случайной точки 9 '"ч~~ ~", х в и-мерном пространстве. Тогда, гл:,( / чн,Х~ если мы выберем в и-мерном пространстве новую ортонормированную систему координат хы ..., т.„', Рис б связанную с главными осями, то в этой системе новые кооРдинаты (~ы ...,~,',) слУчайной точки 9 снова будут описываться п-мерным нормальным законом, имеющим нуле- вой вектор средних цт' и диагональную матрицу ковариаций А', при- чем диагональные элементы аз матрицы А' будут пропорциональны квадратам коэффициентов растяжения Й, эллипсоида рассеивания по соответствуюгцнм осям рассеивания.
Еще раз вводя новые коорди- наты у, = ачх'„ получаем, что в этой последней системе уы ..., Рп координаты случайной точки 9 будут распределены по стандартному нормальному закону. Таким образом, делая обратные преобразования, можно трактовать (невырожденный) нормально распределенный век- тор 9 с произвольными вектором средних пт н матрицей ковариаций А как координаты случайной точки 9, имеющей стандартное нормальное распределение, в некоторой (вообще говоря, не ортонормированной и даже не ортогональной) системе координат.
Разулчеется, встречаются многомерные случайные величины, кото- рые нельзя отнести ни к дискретному, ни к непрерывному типу. Так, у двумерной случайной величины (С,ч1) одна координата (допустим ц) может быть дискретной, а другая ч непрерывной. Такую двумер- 100 Гл. б. Многомерные случайньге величины и их свойства ную случайную величину удобно характеризовать набором функций Рз(х) — дРД < х з! — У )/дх. Пример 9. Придя в кассу «Аэрофлота», клиент застает очередь из О человек.
Ясно, что ц — дискретная случайная величина, принимающая значения О, 1, 2, Наряду с длиной очереди и естественно рассмотреть и непрерывную случайную величину б — общее время, проведенное клиентом в кассе. Если интервалы времени между приходами клиентов независимы (см. параграф 6) и имеют одно и то же экспоненциальное распределение с параметром Л, а длительность обслуживания каждого клиента кассиром также распределена экспоненциально с параметром р, то, как показано в теории массового обслуживания, совместное распределение случайных величин б и гг в установивщемся режиме работы задается функциями р,(х)= — РД<х,п=ь)=(1 — у)р™ ч е х > О, 1 = О, 1, 2,..., р = — < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
