Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Рассмотрим случайную величину и = Р(Е), где с (х) — функция распределения Е. В силу сделанного предположения с (х)— монотонно возрастающая функция, принимающая значения от 0 до 1, и, сле- 87 5. Функции от случайной величины довательно, О, если х < О, рч(х) = г" (Г '(х)) = х, если 0 < х < 1, 1, если х > !. Таким образом, случайная величина П распределена равномерно на отрезке [О, ![.

Полученный результат находит широкое применение при моделировании случайных величин с заданной функцией распределения Г(х). Дело в том, что практически все используемые в настояшее время датчики случайных (более правильно, эпсевдослучайныхэ) чисел инициируют величины ц, распределенные равномерно на отрезке [О, ![.

Тогда, если функция г(х) имеет достаточно просто вычисляемую обратную функцию Р '(х). то, полагая 5 = г '(и), получаем случайную величину 5 с заданной функцией распределения г(х). Отметим, что такой способ может быть применен даже для моделирования некоторых дискретных случайных величин. П Если же, кроме того, С вЂ” непрерывная случайная величина, Р а д '(х) имеет производную (д '(х)), то г! является также непрерывной и ее плотность распределения определяется с помощью формулы дифференцирования сложной функции: р (х) = р'„'(х) = Ел (д (х)) (д (х)) = рд(д (х)) (д '(т)) .

Случай монотонно убывающей функции д(х) предоставляется разобрать читателю. П р и м е р 12. Случайная величина 5 распределена по нормальному закону с параметрами т и о. Найдем распределение случайной величины и = ег. В данном примере д(х) = е', д '(х) = 1пх. В силу свойства экспоненци- альной функции случайная величина и может принимать только положитель- ные значения Далее, при х > 0 функция д (х) дифференцируема, причем (д '(х))' = (1пх)' = 1/х. Таким образом, О, если х < О, рч(х) = х (1пх) — = ! 17 — пн е г -, если х>0. хаьг21г Распределение с плотностью рч(х) носит название логнормильного (поскольку логарифм случайной величины Ч распределен по нормальному закону).

Двух- параметрическое логнормальное семейство наряду с распределением Вейбулла и гамма-распределением также довольно часто используется прн описании времени безотказной работы различных технических устройств. П Пример !3. Положительная случайная величина 5 распределена по экспоненциальному закону с параметром Л = 17'2 (распределение Л~ с двумя степенями свободы). Покажите самостоятельно, что случайная величина и =- Я имеет распределение Вейбулла с параметрами о = 17'2, д = 2 (распределение Рэлея). Воспользуйтесь монотонностью функции д(х) = х/х при х > О. П 88 Гл.

Б. Случийньге вели шны и их распределения Часто в дальнейшем нам будут встречаться линейные преобразования случайных величин; зз = ос + б (а ~ О). Тогда Фл) = +8. а '(л) = (у '(ю))'=- и, значит, при и > 0 Пример 14. Случайная величина ( распределена по стандартному нормальному закону Найдем распределение случайной величины й = об Ф ьп (о > О). Тогда в формулах для линейного преобразования и = о, Ь = ьп и с и ви2~г въ'2~г Итак, из случайной величины 8, распределенной по стандартному нормальному закону, с помощью линейного преобразования й = о( Ч- ьч получается нормально распределенная случайная величина с произвольными параметрами гп и о. Читателю предоставляем показать обратное; если я — нормально распределенная случайная величина с параметрами пт и о, то случайная величина 8 =.

(у — гп)гго распределена по стандартному нормальному закону. Из последнего свойства, в частности, следует Ф,п .(л) = Р(И < л) = Р ~ ' < ' ~ = Р (б < ' ~ = Ф (* ) . Эта формула позволяет вычислять значение функции нормального распределения Ф (л) при любых значениях параметров тп и о через значение функции стандартного нормального распределения Ф(и) и оправдывает тот факт, что во всех справочниках приведены только таблицы значений функции стандартного нормального распределения. П Глава 6 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ СВОЙСТВА Разумеется, на каждом вероятностном пространстве (П, З, Р), содержащем хотя бы один элементарный исход ш, можно определить не одну случайную величину На практике необходимость учета непредсказуемых воздействий также весьма редко приводит к рассмотрению только одной случайной величины Обычно выделяют несколько случайных компонент и на их основе строят модель исследуемого явления.

Классическим примером такого рода, описанным многими великими художниками слова, снова являются азартные игры. Игрок, даже имея самое твердое намерение сыграть только один раз, впадал в азарт (откуда и пошло само название эазартные игры») и, как правило, не уходил из-за игорного стола, пока совсем не разорялся Здесь суммарный выигрыш игрока состоит из отдельных случайных величин — выигрышей его в каждой партии. Итак, в этой главе мы обобщим результаты предыдущей главы на случай нескольких случайных величин.

Естественно, для того чтобы над случайными величинами можно было производить различные действия (сложение, вычитание, умножение и т.п.), необходимо их задание на одном вероятностном пространстве. 1. Многомерная случайная величина Пусть на одном и том же вероятностном пространстве (П,гВ, Р) задано и случайных величин ~~ = ~~(ш),..., й„ = би(ш). Совокупность случайных величин ф,...,~гг) назовем многомерной (и-мерной) случайной величиной или случайным вектором. В дальнейшем для сокращения записи будем пользоваться также обозначением Е = ф,...,ди). Пример 1.

На скачках, в которых участвуют 2 лошади, и человек заключают пари (между собой, группами и т.д.). Считая, что результат скачек случаен, причем с вероятностью Р(ьн) происходит элементарный исход ш, (г' =- 1,2) — к финишу первой пришла лошадь с номером г', получаем, что каждому элементарному исходу ш, соответствует вектор ((~(ьь),...,С,(ьн)), компонентами которого являются выигрыши 1-го, ..., и-го участников пари. Е1 Пример 2. Рассмотрим схему Бернулли, состоящую из и испытаний. Каждому элементарному исходу ш = . поставим в соответствие число р„ равное нулю, если в последовательности УНН...У на 1-м месте стоит буква Н (в 1-м испытании произошла неудача), и единице, если стоит буква У (произошел успех) Тогда случайная величина р, есть не что иное, как число успехов в 1-м испытании.

Совокупность случайных величин (ри..., р„) представляет собой и-мерный случайный вектор. Нетрудно видеть, что в данном ОО Гл. б. Многомерньье случайньье величины и их свойства случае существует взаимно однозначное соответствие между элементарными исходами ьь и значениями случайного вектора (ип ..., р„). Действительно, элементарному исходу щ = ...

соответствует значение (1, О, О, , 1) случайного вектора (рп , рь) и, наоборот, случайный вектор (рп , иь) принимает значение (1, О, О, , 1) только для элементарного исхода щ = .. . Ясно также, что суммарное число успехов р в п испытаниях Бернулли (см. пример 2 в гл.5) представляет собой сумму чисел успехов в каждом испытании; и=р|Ч-.. +рь. П П р и м е р 3. Двумерной случайной величиной является вектор (сы б ), где б~ — сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, а бт— сумма их квадратов. В этом случае различным элементарным исходам могут соответствовать одинаковые значения случайного вектора (бп бе).

Например, двум элементарным исходам ьч = (2,3) и ьсе = (3,2) соответствует одно и то же значение вектора (51(сл),ба(ьы)) = ф(ша), ба(ььт)) =- (5,13). Пример 4. Двумерными случайными величинами являются декартовы ф, бе) или полярные (онов) координаты точки падения частицы на плоский экран (см, пример 5 в гл. 5). Случайные величины (бпбз) и (т,гн) связаны соотношениями. 51 = г1~ совою 5 = гп в1п ьц.

П Пример 5. Широта 51 и долгота бе места падения метеорита на Землю представляют собой двумерный случайный вектор ф,бт). В эту модель можно ввести также третью координату бз — время от начала наблюдений до момента падения первого метеорита на Землю Я1,ба) — координаты падения этого метеорита), если рассматривать процесс, протекающий во времени П 2. Совместная функция распределения Функцией распределения (п-,иерного) случайного вектора г = = ®,...,Г„) называется функция Е(хц,...,х„) = Г~, 4„(хы...,хп), значение которой в точке (хы ...,х„) равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий (41 < х1), ..., Д„ < хп), т.е. с (хы..., хп) = Еб 4„(хы..., хп) = Р4г1 < хы ...,5„< х„).

Функцию Г(хы...,х„) называют также совместной функцией распределения случайных величин 41,. Для сокращения записи в дальнейшем для функции распределения Е(хы...,х„) =- Еб, (хы...,хп), будем использовать также обозначения Е(х) и Ес(х) Далее мы будем в основном рассматривать двумерный случай. ~::.';г~:"";:-""Ь5;"5",';.;.;:Ъ! В большинстве приводимых далее .З,"К;:,:ф'„; -~.".Й; ~:.4 го к общему и;мерному случаю не должен вызвать каких-либо трудностей, а там, где могут возникнуть затруднения, приводятся доРис 1 полнительные пояснения.

2. Совместная функция распределения 91 Совместная функция распределения двумерной случайной вели- чины (сысг), по определению, представляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами ф,сг) в область, за- штрихованную на рис. 1. Выведем свойства совместной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Как и прежде, поскольку Е(хп,хг) — вероятность, то 1. О < Е(хихг) < 1. Следующее свойство является очевидным обобщением свойства 2 функции распределения одномерной случайной величины: 2.

Е(хи тг) — неубь~ваю|цая функция по каждому из аргументов:г| и хг. Поскольку события (с| < — со) и (сг < — оо) невозможны, а в результате пересечения невозможного события с любым событием, как мы знаем, также получается невозможное событие, то 3. Г( — со, хг) = Г(хы — оо) = О. События (С| < оо) и (Сг < оо) так же, как и их пересечение, достоверны.

Характеристики

Список файлов книги