Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Далее, выяснив номер телефона знакомого, мы сколько бы раз его ни спрашивали, новых цифр не добьемся. Аналогично, определив исход химической реакции, а затем проведя ее снова при тех же условиях, мы, естественно, нового вещества не получим. Отсюда вытекает третье необходимое условие — невозможность точного предсказания результатов не только первого испытания, но и каждого последующего. Таким образом, в приведенных выше примерах высказывания «маловероятно», «весьма вероятно> в наиболее точном их смысле можно отнести только к подбрасыванию монеты, бросанию игральной кости, испытанию электрической лампочки и регистрации частиц счетчиком Гейгера. Попробуем теперь формализовать понятие «вероятного», связывая с ним числовую характеристику. Очевидно, эпитет «маловероятно» мы приписываем событиям, доля появления которых в общем числе испытаний мала, и, наоборот, «весьма вероятно» событиям, происходящим практически во всех испытаниях.

Введем количественную оценку понятия «вероятного». Для этого рассмотрим частоту ул = дгл/дг появления некоторого события А, где Дгл — число появлений этого события, а )ч' — общее число испытаний. Оказывается, как было установлено опытным путем, с ростом числа испытаний Х для довольно широкого класса явлений частота Ул стабилизируется, т.е. стремится к некоторому предельному значению Рд, которое естественно принять в качестве вероятности события А.

К явлениям подобного рода относятся события, связанные с выпадением «герба» нли «цифры» при подбрасывании монеты, с выпадением определенного числа очков при бросании игральной кости, с работой электрической лампочки в определенных границах времени, регистрацией частиц счетчиком н многие, многие другие. Такие события разумно назвать случайными. Поскольку в настоящем курсе другие события встречаться не будут, то прилагательное «случайное» мы будем для краткости опускать. Эмпирический закон предельного постоянства частоты является той основной физической предпосылкой, которая необходима для практического применения методов теории вероятностей.

Более того, хотя современная теория вероятностей и строится на аксиоматическом определении вероятности (см. ниже), при осмыслении полученных результатов мы рекомендуем всегда пользоваться частотной интерпретацией. Так, если после вычислений Вы получили, что вероятность некоторого события А равна 0,15, то это нужно трактовать следующим образом: при многократном повторении соответствующего опыта на каждые !00 испытаний приходится 15 появлений события А. Однако попытка отождествить вероятность с частотой не выдерживает никакой более илн менее существенной критики.

Частота меняется от испытания к испытанию, а бесконечного числа испытаний, как известно, никто не проводил и вряд ли проведет в обозримом будущем. Введение Математика же привыкла иметь дело с точными, логически безупречными понятиями, и частотное определение ее никак не устраивает. Поэтому выдающимся математиком прошлого века Андреем Николаевичем Колмогоровым было предложено аксиоматическое определение вероятности, основанное на общем понятии меры. При этом аксиомы Колмогорова отражают три основных свойства частоты, перенесенных им на вероятность.

!. Частота появления случайного события неотрицательна — аксиома неотрицательности вероятности. 2. Частота появления достоверного события, т.е. события, происходящего в каждом испытании, равна единице аксиома нормированности. 3. Если два события не могут одновременно произойти в одном и том же испытании (несовместны), то частота появления хотя бы одного из них совпадает с суммой' частот появления кзждого — аксиома сложения вероятностей. Если теперь сопоставить каждому событию вероятность, т.е. число, удовлетворяющее трем вышеперечисленным аксиомам, то, оказывается, можно построить весьма содержательную теорию.

При этом единственное добавление, необходимое для обеспечения математической строгости, заключается в замене аксиомы сложения вероятностей 3 расширенной аксиомой сложения вероятностей: 3'. Вероятность суммы равна сумме вероятностей не только для двух, но и для произвольного счетного (т.е. такого, которое можно пересчитать с помощью чисел натурального ряда) числа несовместных событий.

Аксиоматический подход позволяет не только описать хорошо известные явления, но и найти закономерности более общего типа. Так, вспомним пример с подбрасыванием монеты. Естественно предположить (и это подтверждается неоднократными опытами), что частоты выпадения»герба» и»цифры» одинаковы, и приписать каждому из этих двух событий одинаковую вероятность 1/2. Однако при аксиоматическом построении теории вероятностей мы вправе приписать выпадению «герба» любую вероятность р, заключенную между нулем и единицей, а тогда выпадению «цифры» мы обязаны сопоставить вероятность г) = 1 — р. Такое определение вероятности описывает случай несимметричной монеты.

В свою очередь, последовательное подбрасывание несимметричной монеты (или аналогичный опыт) носит в теории вероятностей название последовательности независимых одинаковых испытаний или схемы Бернулли и является одной из наиболее часто применяемых на практике «базовых» моделей, позволяющих наглядно представить себе основные задачи этой теории. Теперь мы можем привести примеры простейших задач, которые решает теория вероятностей. Так, считая, что при бросании игральной Веедение кости падение ее на любую грань одинаково вероятно, нужно найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

Или, зная вероятность р выпадения «герба» при одном подбрасывании несимметричной монеты, необходимо определить вероятность выпадения ровно одного «герба» при двух подбрасываниях этой же монеты. Вернемся к примерам, рассмотренным в самом начале введения. Прн первом прочтении мы отбросили высказывания о погоде, результате химической реакции, номере телефона знакомого. При более детальном рассмотрении оказывается, однако, что и к ним можно применить методы теории вероятностей. Заменяя, например, высказывание «погода 1 июня 2010 г.

будет солнечная» высказыванием «погода 1 июня будет солнечная» (не указывая, какого именно года), мы уже вправе использовать вероятностные соображения. Аналогично, в результате химической реакции могут появиться побочные продукты, объем которых может оказаться случайным. Предоставим читателю самому придумать постановку задачи о номере телефона знакомого, для решения которой также можно было бы применить вероятностные методы. Перейдем ко второму направлению — математической статистике. В теории вероятностей игнорируется вопрос: откуда берутся исходные вероятности? Они считаются заданными «извне» или определенными какой-либо теорией. Однако в реальной жизни при применении методов теории вероятностей постоянно приходится сталкиваться с ситуациями, когда эти вероятности нам неизвестны.

Конечно, при отсутствии всякой информации давать какие-либо прогнозы — вещь весьма опасная. Г1оэтому подумаем, как можно выйти из создавшейся ситуации. Обратимся к примеру. Пусть нам предлагают играть в «орлянку» неизвестной монетой, о которой мы не знаем, как часто выпадает «герб» и как часто — «цифра». Осторожный человек, прежде чем «бросаться головой в омут», всегда посмотрит, как это делают другие.

Поэтому он сначала понаблюдает за ходом игры и только потом, оценив для себя шансы, будет ставить на тот или иной исход. Именно задачами восстановления на основе предварительных наблюдений данных, недостающих для расчетов методами теории вероятностей, и занимается математическая статистика. Очевидно, что в силу случайности результатов наблюдений сделать достоверные выводы о параметрах того явления, которое мы далее собираемся исследовать, невозможно. Тем не менее у нас есть определенная зацепка: это тот же самый эмпирический закон предельного постоянства частоты (однако, если мы работаем в рамках аксиоматического подхода, мы должны этот закон доказать строго математически!).

В соответствии с ним: чем дольше производить наблюдения, тем более точные выводы можно получить. Математическая статистика как раз и учит тому, как нужно обрабатывать наблюдения, чтобы «выжать» из них наиболее полную 12 Введение информацию, и как оценить степень достоверности полученных выводов. Вернемся к игре в «орлянку». Понаблюдав за игрой, мы можем задать себе такой вопрос: что можно сказать на основе полученных данных о вероятности выпадения «герба»? Или спросить себя: а действительно ли вероятности выпадения «герба» и «цифры» одинаковы, как это нам обещают? Именно эти два вопроса и определяют два основных направления в математической статистике. Первое направление связано с оценкой неизвестного параметра (в частности, вероятности выпадения «герба»), а второе — с проверкой определенных предположений, или гипотез !в нашем примере — гипотезы о равновероятности выпадения «герба» и «цифры»).

Правильность исходных предпосылок теории вероятностей и математической статистики, как и всякой другой прикладной теории, проверяется практикой. На сегодняшний день трудно найти такую область человеческих знаний, где в той или иной мере не применялись бы методы теории вероятностей и математической статистики. Сюда, наряду с естественными отраслями науки и техники, такими, как физика, химия, инженерия, можно отнести и, казалось бы, далекие от математики области: историю, медицину, генетику, социологию, лингвистику и т.д. На базе теории вероятностей и математической статистики сформировались и выросли такие разделы, как теория случайных процессов, теория массового обслуживания, математическая теория надежности и т.д.

Характеристики

Список файлов книги