Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1О и рис. 11. Г» лл1х) 1) га=-а — 2 — 1О 1 2 3 — 2-1О 1 2 3 Ряс. 11 Рис 1О Как видно из этих рисунков, параметр та определяет положение центра плотности нормального распределения, а а — разброс относительно центра. Если тв =- О, а = 1, то такой нормальный закон называется стандартным и его функция распределения обозначается через Ф(х). С плотностью и функцией стандартного нормального распределения мы уже встречались в локальной и интегральной теоремах Муавра †Лапла.
Нормальный закон также очень часто встречается на практике. Как мы увидим в гл.8, посвященной предельным теоремам, он обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных воздействий. Распределение Вейбулла.
Случайная величина распределена по закону Вейбулла, если она имеет плотность распределения О, если х < О, Р1х) = 1 ,в оДхд 'е ', если х > О (гт > О, О > 0). Нетрудно проверить, что функция распределения в этом случае определяется следующим выражением: в О, если х (О, Е(х) = 1 — е а, если:г > О. Семейство распределений Вейбулла является двухпараметрическим и описывает положительные случайные величины. Графики плотности и функции распределения Вейбулла представлены на рис. 12 и рис. 13. Считается, что распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств.
Если,б = 1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если,д =- 2 в так называемое распределение Рэлея. 4. Непрерывные случайные величины О 1 2 3 ' О 1 2 3 Рис 13 Рис 12 Гамма-распределение, Другим распределением, также достаточно хорошо описывающим времена безотказной работы различных технических устройств, является гамма-распределение с плотностью распределения О, если ю (О, р1т) = е ~', если л > 0 (Л > О, у > О), Г( у) где Г12) = ) ю' 'е *с1т гамма-функция Эйлера (следующие свойо ства гамма-функции являются весьма полезными прн изучении гамма- распределения: Г(3 4- 1) = ",~Г(у) и Г(п) = (и — 1)! для целых п). Графики плотности и функции гамма-распределения изображены на рис.!4 и рис.
15. О 1 2 3 Рнс. 15 Рнс. 14 Как видно из рисунков 12 — 15, распределение Вейбулла и гамма- распределение весьма близки между собой. Основным преимуществом распределения Вейбулла перед гамма-распределением является то, что его функция распределения выражается в явном виде. 11оэтому раньше, когда ЭВМ еще не были достаточно распространены, распределение Вейбулла использовалось гораздо чаще, чем гамма-распределение. Хотя в общем случае гамма-распределение н не выражается в явном виде, оно обладает некоторыми весьма важными свойствами. Так, если 3 =- Й, т.
е. 3 принимает целые значения, то мы получаем распределение Гл. 5. Случайные величины и их распределения Эрланга, находящее важные применения в теории массового обслуживания. Если же Т = и/2 — полуцелое, а Л = 1/2, то гамма-распределение превращается в так называемое распределение Х~ 1хи-квадрат), роль которого в математической статистике невозможно переоценить; параметр )с называется в этом случае числом степеней свободы распределения Х~.
Наконец, при 3 = 1 мы имеем дело все с тем же экспоненциальным распределением. Гамма-распределение имеет и другие интересные особенности, которых мы здесь не будем касаться. 5. Функции от случайной величины Пусть на вероятностном пространстве (1),ц), Р) задана случайная величина ( = С(и»). Возьмем обычную (измеримую) числовую функцию д(т) числового аргумента ач Сопоставляя каждому элементарному исходу»а число г)(са) по формуле г)(»и) = душ)), мы получим новую случайную величину»), которую естественно назвать функцией д(() от случайной величины (. Функция д = д® от дискретной случайной величины также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина ~. Очевидно, что, если случайная величина ( имеет ряд распределения, представленный в табл.
1, то ряд распределения случайной величины э) = дЯ определяется табл. 8. Таблица 8 При этом, если в верхней строке табл. 8 появляются одинаковые значения д(Х,), то соответствующие столбцы надо объединить в один, приписав им суммарную вероятность. П р н и е р 9. Снова рассмотрим игру»Спортлото 6 нз 49». Поставив на некоторые фиксированные номера, мы в результате розыгрыша получим случайную величину ( — число угаданных нами номеров (напомним, что пространство элементарных исходов состоит нз всевозможных сочетаний по 6 номеров нз 49), причем каждому элементарному исходу и» в соответствии с прин- ?49т цнпом классической вероятности сопоставлена вероятность Р(о~) =.
17~ '» 6,) (ряд распределения случайной величины ( представлен в табл.?). Однако сама случайная величина 8 нас не интересует, для нас представляет интерес выигрыш, связанный с числом угаданных номеров (. Рассмотрим идеализированный вариант игры, прн котором, не угадав ни одного нли угадав один или два номера, мы проигрываем гс учетом платы за билет) 0,3 руб., угадав 3 номера, получаем выигрыш 2,7 руб., угадав 4 номера —. 54,7 руб., 5 номеров — 699,7 руб н 6 номеров — 9999,7 руб Выигрыш и зависит 65 5.
Функции от случайной величины только лишь от числа угаданных номеров, т.е, представляет собой функцию от случайной величины ~: »1 =- д(Я), причем числовая функция д(и) определена формулами: д(0) =- д(!) = д(2) = — 0,3, д(3) = 2,7, д(4) = 54,7, д(5) = 699,7 и д(6) = 9999,?. Ряд распределения случайной величины «1 получается из ряда распределения б (табл. 7) заменой в верхней строке чисел» = О, 1,..., 6 на соответствующие значения д(«) (табл. 9). Таблица 9 Осталось заметить, что в табл 9 три первых столбца имеют одинаковые значения Ш равные — 0,3.
Поэтому их надо объединить в один. Окончательный ряд распределения представлен в табл. 10. Таблица 10 Реально при игре в «Спортлото» выигрыш ц зависит от числа играющих, поставивших на ту или иную комбинацию, и в этом случае его нельзя считать функцией от числа угаданных ноыеров 5, а необходимо рассматривать более сложную модель, учитывающую вероятности (частоты) использования различных комбинаций номеров В частности, мы не можем (без обращения к «потусторонним» силам) изменить вероятность угадывания определенного числа номеров, но мы можем увеличить выигрыш, ставя иа «непопулярные» комбинации, которые хотя и появляются с той же частотой, что и остальные, но приносят больший выигрыш Поиск «непопулярных» комбинаций относится к сфере психологии, а не теории вероятностей П Функция г1 = д® от непрерывной случайной величины д может быть как непрерывной, так и дискретной (дискретной она будет, например, если множество значений функции д(ш) не более чем счетно).
Найдем функцию распределения Еч(х) по заданной плотности распределения р4(л). По самому определению, Гч(ш) представляет собой вероятность события (г1 < х), состоящего из тех элементарных исходов иг, для которых д(~(ги)) < ш. В свою очередь, вероятность события )д®»и)) < и) можно определить, используя аксиому сложения вероятностей, «просуммировав> вероятности всех возможных значений у случайной величины (, для которых д(у) < ж.
Поскольку, как мы знаем, вероятность случайной величине д принять значение в промежутке от у до д + г(у приближенно равна р4(д) ду, то, заменяя сумму на интеграл, получаем Гч(ш) = ~ Рд(д) г(д э(и)<ч 86 Гл. Б. Случайньге величины и их распределения Последняя запись означает, что интегрирование производится по всем тем значениям у, для которых д(у) < х. Пример 10. Случайная величина Е распределена по стандартному нормальному закону. Найдем распределение случайной величины гг = Е~. В данном случае д(у) = у, поэтому сч(х) = ~ ре(у) г!!г =- ~ е " Г ду. ъг2гг аг<г уг<г Поскольку при х < 0 нет ни одного гн для которого у < х, или, что то же самое, не существует ни одного, для которого д(б(ьг)) < х, то !)г(х) = 0 при х < О.
Если же х > О, то область (уа < х) совпадает с областью ( — хГх < у < < хгх) и, значит, чгя Гч(х)= ~ е а Ыу -чг или в силу четности рс(у) Гб г/а тгч(х) = ~ е " Г дд. чг2к о Делая теперь замену х = у, окончательно получаем при х ) 0 а ч в Нетрудно видеть, что случайная величина г! имеет плотность распределения О, если х < О, !гч()= ! „,а е "Г', еслих)О, ч 2ггх являющуюся плотностью гамма-распределения с параметрами Л = !,г2, т = 1/2, или, иными словами, ц распределена по закону т с одной степенью свободы. Именно как распределение квадрата стандартной нормальной случай- ной величины и появляется распределение т~ в математической статистике.
П Особенно просто находится функция распределения случайной величины г! = д(с), если д(х) монотонно возрастающая функция. В этом случае событие (д(~(иг)) < х) эквивалентно событию (б(иг) < д г(х)), где д '(х) — функция, обратная д(х), и, значит, хп(х) = Р(д® < х) = Р(с < д (х)) = Ге (д (х)) . При мер ! 1. Пусть плотность р(х) распределения случайной величины Е положительна для всех х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
