Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Наконец, при х ) Х„событие (Ц < ш) достоверно и е'(ш) = 1. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией, принимающей на интервале ( — со, Х~) значение О, на интервалах (Х„Х«т~) (1 < 1 < и) — значение р1+... + р, и на интервале (Х„, оо) — значение 1. Пример 6. На зачете студент получил п = 4 задачи. Вероятность решить правильно каждую задачу р = 0,8. Определим ряд распределения и построим функцию распределения случайной величины и — числа правильно решенных задач. В данном случае мы имеем дело с биномиальным законом.
Подставяяя в ряд распределения, заданный табл. 2, и = 4, р = 0,8 и у = 0,2, получаем ряд распределения и функцию распределения, представленные в табл 5 и на рис. 3. П Таблица 5 О 1 2 3 4 Рис. 3 Пример 7 Вероятность получить заданный эффект в физическом опыте и = 0,4. Определим ряд распределения и построим функцию распределения случайной величины 6, равной числу «пустыхь опытов, которые должен произвести экспериментатор, прежде чем он получит необходимый эффект Случайная величина 8 распределена по геометрическому закону. Поэтому, воспользовавшись табл.
4, имеем ряд распределения и функцию распределения, представленные в табл. 6 и на рис. 4. П Таблица 6 77 4. Непрерывные случайные величин»» О 1 2 3 -1 х Рнс. 4 П р и м е р 8. Выпишем ряд распределения случайной величины 8 — числа угаданных номеров в «Спортлото 6 из 49». Как мы знаем (см. пример 7 в гл. 2), число угаданных номеров распределено по гипергеометрическому закону. В атом же примере были найдены рз = Р(8 = 3) = Р(Аз), р» = Р(б = 4) = Р(Л»), рз = РД = 5) = Р(Лз) и рз = Р(б = 6) = Р(Лз). Аналогично определяются и вероятности рь = Р(8 = О) — не угадать ни одного номера, р~ = РЯ = 1) — угадать ровно один номер и рз = РД = 2) — угадать ровно два номера: Таблица 7 Окончательно получаем ряд распределения, представленный в табл.
7. С1 4. Непрерывные случайные величины Непрерывной называется случайная величина й, функцию распределения которой Г(х) можно представить в виде Функция р(х) называется плотностью распределения (вероятностей) случайной величины ~. Так же, как и прежде, иногда для того, чтобы подчеркнуть принадлежность плотности распределения случайной величине й, будем наряду с записью р(х) употреблять запись рб(х). Отметим, что все реально встречающиеся плотности распределения являются непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа 78 Гл. б.
Слуяайньге велипины и их распределения ~р(л1 точек) функциями и, следовательно, для них плогпносгпь распределения р(х) предсгпавляегп собой производную функг1ии распределения с'(х), т. е. р(х) = с'(х). Для простоты изложения в дальнейшем будем рассматривать только такие плотности распределения. Типичный вид Рис 5 плотности распределения изобра- жен на рис. 5. Выведем простейшие свойства плотности распределения. Поскольку плотность распределения является производной от функции распределения, а функция распределения -- неубывающая дифференцируемая функция, то 1. р(х) > О. Далее, Р(х1 < б < хз) = с'(хз) — с'(х~).
Значит, в силу определения непрерывной случайной величины 2. Р(х| ~ ~ч < ха) = ~ р(у) ду. ю Таким образом, вероятность попадания случайной величины на интервал (хи ха) численно равна площади криволинейной трапеции, заштрикованной на рис.
5. В частности, если х| = — оо, хз = х, то событие ( — оо < С < оо) является достоверным, и поэтому 3. ~ р(х)дх = 1. Иными словами, площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна единице. Наконец, часто бывает полезна следующая трактовка плотности распределения. Как видно из рис. 5, если сз мало, то вероятность попадания на интервал (х,х + сг) приближенно совпадает с площадью прямоугольника со сторонами Ь и р(х). Значит, с точностью до о(сз) 4.
Р(х < ( < х + Ь) = р(х)Ь. Отсюда, в частности, следует, что 5. Р(Ц =-х) =- О, т.е. вероятность попадания в любую (заданную до опыта) точку для непрерывной случайной величины равна нулю. Здесь снова возникает кажущееся логическое противоречие: до опыта каждому возможному значению непрерывной случайной величины мы можем приписать только вероятность, равную нулю, однако после опыта случайная величина все же принимает некоторое значение.
Решение этого противоречия 79 4. Непрерывные случайные величины опять связано с непрерывной структурой числовой прямой. Для того чтобы гарантировать ненулевую вероятность попадания в некоторое подмножество прямой, необходимо, чтобы это подмножество содержало более чем конечное и даже более чем счетное число точек. Из свойства 5 вытекает также, что в свойствах 2 и 4 знак < можно заменить на знак строгого неравенства <. Например, свойство 2 можно переписать в виде 2'. РЕх1 < С < хз) = < р(у)с)у. ю Рассмотрим некоторые наиболее важные распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение. Равномерно распределенная на отрезке 1а,Ь) случайная величина имеет плотность распределения 1 если а < х < 6, ,сх) 6 — а О, еслих<аилих>Ь. Легко видеть, что функция распределения в этом случае определяется выражением О, еслих<а, Г(х)=, еслиа<х<Ь, Ь вЂ” а 1, еслих>6.
Графики плотности распределения р(х) и функции распределения Г(х) приведены на рис. б и рис. 7. р1х1 О 6 О 6 .г Рис. 6 Рис. 7 Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (ап,ха), лежащий внутри отрезка 1а, 6), равна Г(хз) — Г1х~) = (ха — х~)/(Ь вЂ” а), т.е. пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок 1а,Ь). 80 Гл.
д. Слуяайные веливины и их распределения Заметим, что в примере 4 случайная величина Г равномерно распределена на отрезке (О, 11. Экспонеициальиое распределение. Случайная величина подчиняется экспоненциальному (показательному) закону, если она имеет плотность распределения О, если х<0, р(х) = Ле ~', если х>0, где Л > 0 — параметр экспоненциального распределения. Для функции распределения в данном случае нетрудно получить следующее выра- жение: О, если х (О, г'(х) = 1 — с "*, еслнх>0. Графики плотности распределения и функции распределения экспоненциальной случайной величины приведены на рнс. 8 и рис. 9.
.г Рис. 9 Рис 8 Экспоненцнально распределенная случайная величина может принимать только положительные значения. Экспоненциальному распределению подчинено время распада атомов различных элементов. При этом число Т = 1/Л носит название среднего времени распада. Кроме того, употребляют также число Тз = — 1п2/Л, называемое периодом полураспада. Название «период полураспадаь основано на следующем физическом соображении. Пусть у нас первоначально имелось и атомов вещества.
Тогда через время То каждый атом распадется с вероятностью р = г (Т ) = 1 — е лмзгл =-! — 1/2 = 1/2. Поэтому в силу независимости отдельных распадов число распавшихся за время То атомов имеет биномиальное распределение с р = д = 1г'2. Но как мы знаем из теоремы Бернулли (см.
параграф 5, гл. 4), при больших и это число будет примерно равно п(2, т.е. период полураспада То представляет собой не что иное, как время, в течение которого распадается половина имеющегося вещества. Экспоненциально распределенная случайная величина с обладает весьма важным свойством, которое естественно назвать отсут- ь1 4. Непрерывные случайные величины сгпвием последейсгпвия. Трактуя г", как время распада атома, рассмотрим событие А = (х1 < С < х~ + хз) и найдем условную вероятность этого события при условии выполнения события В = (С > х1).
По определению условной вероятности Р(А ~ В) =-- Р(АВ)/Р(В). Но событие АВ, как нетрудно видеть, совпадает с событием А. Поэтому Р(А ~ В) = Р(А)/Р(В). Далее, Р(А) Р(х~ < ч < с|+ хзт (! е — л(х~+х~)) (! е — лх,) — Лх~ (! — Лхч) Значит, '( — ') ! -Лх, е Мы получили, что вероятность распада атома за время ха при условии, что перед этим он уже прожил время хы совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого атома за время ха. Именно это свойство и представляет собой отсутствие последействия. Допуская некоторую вольность речи, отсутствие последействия можно трактовать как независимость остаточного времени жизни атома от того, сколько он уже прожил.
Можно показать и обратное: если случайная величина с обладает свойством отсутствия последействия, то она обязана иметь экспоненциальное распределение. Таким образом, отсугчствие последействия является характеристическим свойством экспоненциально распределенных случайнык величин. Практика показывает, что экспоненциальное распределение имеют и другие физические величины, например времена между падениями метеоритов в определенный район, времена между соседними поступлениями вызовов на телефонную станцию и т.д.
Экспоненциальное распределение тесно связано с распределением Пуассона, а именно: если времена между последовательными наступлениями некоторого события представляют собой независимые (определение независимости случайных величин будет дано в гл. б) экспоненциально распределенные (с одним и тем же параметром Л) случайные величины, то число наступлений этого события за время т распределено по закону Пуассона с параметром Лг. Отметим также, что дискретным аналогом экспоненциального распределения является геометрическое распределение. Нормальное распределение. Случайная величина распределена по нормальному, или гауссову, закону, если она имеет плотность распределения , (э:)= е '-'-' ( — со<т<оо, о>б) очгвкк 82 Гл. 5. Случайные веливины и их распределения Нормальное распределение зависит от двух параметров: па — математического ожидания, нлн среднего значения, нормального закона, и сг — среднего квадратичного отклонения. Графики плотности р (х) и функции Ф„„л(х) нормального распределения в зависимости от т, и гг приведены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
