Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Пример 5 На плоский экран падает частица Будем считать, что нам известна вероятность попадания частицы в каждое (измеримое) множество на экране. Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние 2. Функция распределения случайной величины 71 от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния, угол в полярной системе координат и т.д.

О Прежде чем перейти к дальнейшему изучению случайных величин, отметим, что все известные из курса математического анализа функции, как и вообще все функции, встречающиеся в реальной жизни, являются измеримыми, Поэтому в дальнейшем понятие измеримости мы нигде больше использовать не будем. 2.

Функция распределения случайной величины функцией распределения (вероятностей) случайной величин«я б называется функция Е'1х), значение которой в точке х равно вероятности события 1С < х), т.е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ш, для которых б(~) < х: Г(х) = РК < х). Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности случайной величине С принять значение, меньшее х. Правда, в таком определении имеется маленькая стилистическая неточность, связанная с тем, что слово «вероятность» мы обязаны употреблять только вместе со словом «событие». Выведем некоторые очевидные свойства функции распределения.

Так как, по определению, функция распределения является вероятностью, то ПО<с(х)<1. Далее, если х1 < хсн тО СОбытие 1С < х1) пРинадлежит событию Д < ха) и, значит, 2. Е(х~) < с'(хэ) при х1 < хя (Г(х) неубгчвающая функция). Положим с ( — оо) = 1ш«Г(х) и Ц+оо) = 1шт Г1х).

Поскольку событие )с < — оо) является невозможным, а )с < оо) достоверным, то имеем 3. с (-со) = О, Г(эо) = 1. Событие 1С <.сэ) при х| < хз представляет собой объединение двух непересекающихся событий: )С < х|) — случайная величина С приняла значение, меньшее хы и )х1 < с < хэ) — случайная величина с приняла значение, лежащее в интервале 1хнха). Поэтому из аксиомы сложения получаем 4. ртх1 ъ ч < хз) — л' гхэ) л' гхоз) Гл.

5. Случайные величины и их распределения Наконец, пусть хы...,х„,... — возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к х. Тогда событие А = (С < х) является счетным объединением несовместных событий А| = (Д < х|), Ап = (хи-1 ~ (ье < хпт (п, = 2, 3, ...), т. е. А= А~+... +А„+ .. В силу расширенной аксиомы сложения Р(А) = Р(А1) + Р(Аз) + ... + Р(Аи) + ...

= = Р(х1) + (Е(хг) — Р(х1)) + ... + 7(хн) — Е(х ~)) +... = = 1пп Г(х„). Следовательно, 5. Е(х) = Г(х — 0) (г'(х) непрерывная слева функция). Типичный вид функции распределения приведен на рис. 1. Рнс. 1 Заметим, что, зная функцию распределения Е(х), можно однозначно определить вероятность попадания случайной величины С не только на интервал (хм ха), но и в любое измеримое (борелевское) множество иа прямой. Итак, с любой случайной величиной связана ее функция распределения. Отметим, что справедливо и обратное. Любая неубывающая непрерывная слева функция Е(х), удовлетворяющая условиям Е( — оо) = 0 и Е(оо) = 1, является функцией распределения некоторой случайной величины С. Действительно, можно рассмотреть падение идеальной точки на прямую ( — оо, оо), которая в этом случае принимается в качестве пространства элементарных исходов (см.

также пример 22 в гл.!). Поставим в соответствие каждому событию, заключающемуся в том, что точка попала на интервал ( — оо,х) на прямой, число Е(х), а событию, заключающемуся в попадании точки на интервал (хп ха), — число г'(хз) — г'(зп). Определенная таким образом для всех событий, связанных с попаданием точки на интервал [хи ха), числовая функция будет удовлетворять трем аксиомам вероятности.

Для любых 2. Функция распределения случайной величины 73 других событий, составляющих а-алгебру борелевских множеств на прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью теоремы о продолжении меры. Если теперь взять в качестве случайной величины б координату падения, т. е. положить Я(ш) = ш, то Г(х) будет являться функцией распределения С. В дальнейшем иногда для того, чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения Е(х), будем к функции распределения приписывать нижний индекс, обозначающий эту случайную величину: Г~(х) = РД < х).

В некоторых учебниках функцией распределения называют вероятность события (С < х). Такое определение ничего не меняет в наших рассуждениях. Единственное изменение касается свойства 5: функция Г(х) будет непрерывна справа. Обычно (и мы будем также придерживаться этой традиции) для того, чтобы избежать сложного для неподготовленного читателя понятия интеграла Стилтьеса, при знакомстве с теорией вероятностей ограничиваются изучением так называемых дискретных и непрерывных случайных величин. Дискретную случайную величину вкратце можно охарактеризовать как случайную величину, все возможные значения которой можно пересчитать. В свою очередь, для непрерывной случайной величины вероятность попадания на »малый» интервал (х,х ц- й») приближенно пропорциональна длине этого интервала с» с коэффициентом пропорциональности р(х), зависящим от х и носящим название плотности распределения.

Однако существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих двух типов. Простейшим примером такой случайной величины является время работы электрической лампочки. Купленная лампочка может с ненулевой вероятностью оказаться бракованной, т.е. время ее работы будет равно нулю, и в этом смысле его необходимо отнести к дискретным случайным величинам. Если же лампочка окажется исправной, то мы не сможем пересчитать все моменты времени, в которые она может отказать, и тогда время ее безотказной работы естественно считать непрерывной случайной величиной. Для данного примера можно сказать, что мы имеем дело со »смесью» дискретной и непрерывной случайных величин.

Существуют и более сложные примеры, в которых случайные величины уже не являются «смесью» дискретной н непрерывной компонент, но с точки зрения практики эти примеры представляют собой математическую абстракцию. Часто поведение случайной величины удобно характеризовать не с помощью функции распределения, а как-то иначе. Если при этом возможно однозначно восстановить функцию распределения, то такая характеристика называется законом распределения (или просто распределением) случайной величины. Примерами законов распределения являются ряд распределения и плотность распределения, которые мы рассмотрим в следующих параграфах.

Гл. 5. Слу шйные величины и их распределения 3. Дискретные случайные величины Как уже говорилось, дискретной называется случайная величина, которая каждому элементарному исходу ш ставит в соответствие одно из конечного (или в общем случае счетного) набора чисел Хы Хз,..., Х„(Хы Хз,..., Х„,...).

Дискретную случайную величину удобно характеризовать рядом распределения. Рядом распределения (вероятностей) дискретнои случайной величины называется таблица (табл. 1), состоящая из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней — вероятности р, = Р(с = Х,) того, что случайная величина примет эти значения. Таблица 1 Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что ряд распределения относится именно к случайной величине с, будем наряду с записью р, употреблять запись ргн Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике распределения дискретных случайных величин. Биномнальное распределение.

Дискретная случайная величина р, распределена по биномиальному закону, если она принимает значения О, 1, 2,..., п в соответствии с рядом распределения, представленным в табл. 2, где О < р, д ( 1 и р + у = 1. Таблица 2 Биномиальное распределение является не чем иным, как распределением числа успехов р в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р и неудачи д = 1 — р (см. пример 2). Пуассоновское распределение. Дискретная случайная величина ~ распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями, представленными рядом распределения в табл.

3, где Л ) О параметр пуассоновского распределения. С распределением Пуассона мы тоже уже встречались в предельной теореме Пуассона. Распределение Пуассона носит также название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с ма- 75 3.

Диекреглные случайные величины Таблица 3 лой вероятностью происходит «редкое» событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся нестабильных частиц и т.д. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть с — число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда ~ дискретная случайная величина, принимающая значения О, 1, 2,. „, п,...

Определим вероятность события 1С = и). Очевидно, что С = О, если в первом же испытании произойдет успех. Поэтому РЦ = 0) = р. Далее, С = 1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором— успех. Но вероятность такого события, как мы знаем, равна др, т.е. Р)~ = 1) = ор. Аналогично, ( = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем успех, и, значит, Р1С = 2) = дур. Продолжая эту процедуру, получаем ряд распределения, представленный в табл.

4, Таблица 4 Случайная величина с таким рядом распределения называется распределенной по геометрическому закону. Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения с 1х). Пусть дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения Хы Хм ..., Х„ расположены в порядке возрастания. Тогда для всех х < Х1 событие ТС < ж) является невозможным и поэтому в соответствии с определением Г(х) = 0 (рис. 2).

Если Рис. 2 Гл. 5. Слупайнь«е велипины и их распределения Х| < х < Хш то событие (~ < ш) состоит из тех и только тех элементарных исходов ш, для которых с(ш) .= Хы и, следовательно, Е(ш) = рц Аналогично, при Хз < х < Хз событие Д < ш) состоит из тех элементарных исходов ш, для которых либо с(ш) = Хы либо Д(и«) =. Хв, т е. Д < х) = Д = Х1) + (с = Хз), а, значит, е'(х) =. р1+ рз и т д.

Характеристики

Список файлов книги