Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 16
Текст из файла (страница 16)
К достоинствам метода Монте-Карло можно отнести и то, что погрешность при вычислении интеграла с его помощью вообще не зависит от свойств гладкости функции Дх), в то время как для получения заданной точности при численном интегрировании необходимо выполнение ограничений на производные функции У(з:). В частности, метод Монте-Карло с одинаковым успехом применим для интегрирования как непрерывных функций, так и функций, терпящих разрывы.
Конечно, при вычислении интегралов методом Монте-Карло никто не производит физического бросания точки на отрезок. Для этой цели служат специальные программы или дат»«ики случайных или, точнее говоря, «псевдослучайных» чисел. Следует обратить внимание на то, что метод Монте-Карло не позволяет беспредельно уменьшать погрешность вычислений. И дело здесь даже не в том, что необходимо проводить очень большое число испытаний. «Псевдослучайные» числа, как вытекает из их названия, не удовлетворяют полностью свойству случайности.
Поэтому, прежде чем использовать какой-лиоо датчик «псевдослучайных» чисел, обычно производят многочисленные проверки (на отсутствие периодичности, на равномерность, на независимость и т.д.) с помощью различных критериев. Однако даже выдержавшие самые строгие проверки датчики генерируют числа, которые не могут быть отнесены к разряду «случайных» в полном смысле этого слова. 7. Полиномиальная схема В заключение скажем несколько слов о так называемой полиномиальной схеме. Если схема Бернулли интерпретируется как подбрасывание несимметричной монеты, то полиномиальную схему можно трактовать как обобщение статистики Максвелла †Больцма на тот случай, когда вероятности попадания каждой частицы в различные ячейки неодинаковы. Итак, предположим, что опыт состоит из и независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может произойти одно и только одно из т несовместных событий Ап ..., А,„, причем событие А, наступает с вероятностью р,.
Тогда вероятность Р(пп ...,и ) того, что в и испытаниях событие А» произойдет ровно гм раз...., событие Ат произойдет ровно пт раз (тн +... + пт = и), определяется выражением и.' Р(гм,...,п„,) =, ', р",' ...р" и»! ..и 68 Гл. 4. Схема Бернулли Последняя формула носит название полиномиального распределения. Ее вывод аналогичен выводу формулы Бернулли с учетом комбинаторных соотношений, используемых при рассмотрении статистики Максвелла — Больцмана, и любознательный читатель вполне может провести его самостоятельно. Полиномиальную вероятность Р(ни..., н,„) можно получить также как коэффициент при ю",' ...
ю""' в разложении полинома (Тлю~ +... + р,„ю,„)" в ряд по степеням х1, ..., ю„,, Полиномиальная схема обладает теми же предельными свойствами, что и схема Бернулли. Так, если устремить п, к бесконечности, то вероятность Р(пы ...,н ) приближенно вычисляется с помощью так называемой многомерной нормальной плотности. Вводя в рассмотрение вектор ф,...,у ) наблюденных частот появлений событий Аы ..., Аьи можно доказать, что при большом числе испытании и этот вектор мало отличается от вектора вероятностей (рн ...,р ).
Пример 9. В магазине висит 1 костюм второго роста, 2 костюма третьего роста, 3 костюма четвертого роста. Костюм второго роста спрашивается с вероятностью 0,2, костюм третьего роста — с вероятностью 0,3, костюм четвертого роста — с вероятностью 0,5. В магазин обратились 3 покупателя Найдем вероятность того, что хотя бы один нз ннх ушел без покупки (событие А). Представим событие А в виде суммы несовместных событий: .4 = Азов 4 Ама + Азо~ + Аазо, где,4оь означает, что 1 покупателей спросили костюм второго роста, У— третьего роста и й — четвертого.
Воспользовавшись теперь полиномиальным распределением, получаем Р(А) = Р(3,0,0) 4 Р(2, 1,О) + Р(2,0, 1) Ч- Р(0,3,0) = Таким образом, искомая вероятность Р(А) = 0,131. П Глава 5 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В предыдущих главах мы рассмотрели аксиоматическое построение вероятностного пространства (Й,З, Р), а также разобрали некоторые простейшие вероятностные схемы. Однако теория вероятностей не достигла бы такого расцвета и не была бы столь широко используеыа на практике, если бы занималась только лишь случайными событиями. Возвращаясь к истокам возникновения теории вероятностей, вспомним, что уже в азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш нли проигрыш, т.е.
определенная числовая величина, поставленная в соответствие этому исходу. Вполне естественно такую числовую величину назвать случайной величиной. Изучением последнего понятия мы сейчас и займемся 1. Случайная величина Рассмотрим вероятностное пространство (зс, З, Р), т.е. пространство элементарных исходов ьг,а-алгебру событий З из гс и определенную на ней вероятность Р. Случайной величиной б называется функция, ставясдая в соответствие каждому элементарному исходу ш число ~ = д(ш). Для того чтобы такое определение было математически корректным, необходимо добавить следующее требование: для любого числа ш множество (иы ((ш) < х( элементарных исходов ш, для которых ((щ) < ш, является событием, или, иными словами, принадлежит о-алгебре З (это свойство носит название измеримости функции ~ = ~(ш) относительно о-алгебры йз). Таким образом, с точки зрения функционального анализа случайная величина представляет собой не что иное, как обычную числовую функцию, заданную на пространстве элементарных исходов з1 (и измеримую относительно а-алгебры со).
Специфика теории вероятностей проявляется в том, что на зг задана также вероятность Р. Случайные величины будем обозначать греческими буквами, снабжая их при необходимости индексами: б, пд, ра и т.д. Для краткости условимся в дальнейшем вместо записи (ип б(ш) < < х) использовать запись (б(щ) < х), если необходимо подчеркнуть связь случайной величины с пространством элементарных исходов 1г, или даже запись (д < ш), если не акцентируется внимание на этой связи.
70 Гл. 5. Случайно«е величины и их распределения Пример 1. Два игрока играют в «орлянку» иа следующих условиях: если при подбрасывании монеты выпадает «герб», то первый игрок платит второму 1 руб., если «цифра», то второй игрок платит первому 2 руб. Опишем случайную величину 5, равную выигрышу первого игрока в этой игре (прн одном подбрасывании монеты). Как мы знаем, пространство элементарных исходов П состоит из двух исходов:ш1 — выпадение «герба» и ь«э — «цифры». а-алгебра событий З насчитывает 4 события: ш. (»«1), (шз) и П. Предполагая, что монета симметричная. найдем вероятности всех событий из й»: Р(ш) = О, Р(ип) = Р(са ) = 1г«2, Р(П) = 1. Итак, вероятностное пространство (Й,З,Р) нами определено.
Осталось заметить, что случайная величина 5 принимает значение — 1, если выпал «герб» ®ьп) = — 1), и 2, если выпала «цифра» (5(ь«з) = 2). Измеримость функции Д(и«) очевидна, поскольку при ш < — 1 множество (Я(ь«) < ю) является невозможным событием о, при — ! < а < 2 множество (С(ь«) < т) состоит из элементарного исхода ьн и, наконец, при а > 2 множество (Д(ь«) < ш) состоит из двух исходов ш1 и шз, т.е.
представляет собой достоверное событие й. П При мер 2. Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха р. Сопоставим каждому элементарному исходу ш =УНН...У функцию р(ш), равную числу успехов при этом исходе, т.е. числу букв У, содержащихся в последовательности УНН...У. Измернмость функции р(ш) проверяется точно так же, как в предыдущем примере. Таким образом, р — случайная величина.
Отметим, что значения р(ш) совпадают для тех элементарных исходов ш, при которых произошло одинаковое число успехов. П Пример 3. Случайными величинами будут число очков, выпавших при бросании игральной кости, а также суммарные числа очков, выпавших при бросании двух, трех и более костей. Советуем читателю для этого примера самостоятельно построить пространство элементарных исходов П, а-алгебру З, вероятность Ри определить случайную величину 5. П П р и м е р 4.
На отрезок (О, Ц в соответствии с принципом геометрической вероятности падает идеальная точка. Пусть б(ь«) = ~ — координата ее падения Пространство элементарных исходов П в данном случае совпадает с отрезком (О, Ц, а-алгебра З является борелевской (порожденной всевозможными интервалами) а-алгеброй на этом отрезке, а вероятность попадания на каждый интервал внутри отрезка (О, Ц равна его длине Измеримость функции 5(ш) вытекает из того, что множество (5(га) < а) при ш < 0 пусто, при 0 <:с < 1 совпадает с интервалом (О,л) (а все интервалы, как мы знаем, принадлежат борелевской а-алгебре) и, наконец, при ш > 1 совпадает со всем отрезком (О, Ц, т.е. является достоверным событием.
Таким образом, 5 — случайная величина. Отметим, что в этом примере мы имеем дело с интересным явлением значение случайной величины 5 = Д(ь«) для каждого элементарного исхода и« совпадает с самим этим исходом (в данном случае, наверное, лучше было бы сказать с «номером» этого исхода). Оказывается, такая ситуация встречается очень часто и связано это с тем, что, как правило, исследователь наблюдает именно случайную величину и,значит, для него понятие «элементарный исход» отождествлено с понятием «значение случайной величины».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
