Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Теперь, если п, велико, то мы можем воспользоваться интегральной теоремой Муавра— Лапласа, в которой х~ = — е,~п((рд), хз = г,Я1ру), и, значит, Р(А) = Ф(ха) — Ф(зп). Но с ростом и х1 — — оо, а хз — оо. В свою очередь, Ф( — оо) =- О, Ф1со) = 1. Поэтому, каково бы ни было е > О, с ростом и вероятность того, что частота 7' отличается от вероятности р не более чем на е, стремится к 1.
Установленный нами факт предельного постоянства частоты впервые был обнаружен Я. Бернулли, он носит название 1слабого) закона больших чисел или теоремы Бернулли. Закон больших чисел и его многочисленные обобщения являются звеном, позволяющим связать б. Вьтисление олределенных интегралов методам Монте-Карло 63 аксиоматическое построение теории вероятностей с эмпирическим законом постоянства частоты, с которого мы начали путешествие в теорию вероятностей. Именно он позволяет обосновать то широкое применение методов теории вероятностей на практике, которое мы имеем в настоящее время.
Однако если произвести более строгий логический анализ, то окажется, что слабый закон больших чисел также не вполне удовлетворяет нашим исходным предпосылкам, поскольку когда мы говорим о стабильности частоты, то имеем в виду процесс, протекающий во времени. Слабый закон больших чисел утверждает только, что при большом, но фиксированном числе испытаний частота мало отличается от вероятности. Слабый закон больших чисел еще не исключает значительных, но редких отклонений частоты от вероятности при последовательном проведении испьпаний. Здесь мы пока только отметим, что имеет место усиленный закон больших чисел, который в определенной степени устраняет это логическое несовершенство слабого закона больших чисел.
Более подробно закон больших чисел, как и интегральная теорема Муавра — Лапласа, будут обсуждены нами в гл. 8, посвященной предельным теоремам теории вероятностей. 6. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло В этом параграфе мы рассмотрим применение предельных теорем для вычисления многократных интегралов.
Начнем с повторения материала, излагаемого в любом курсе математического анализа. Пусть непрерывная элементарная (т.е. выраженная в элементарных функциях) функция у = г'(х), заданная на отрезке 1а, о), ограничена снизу и сверху числами с и С соответственно, и необходимо вычись лить определенный интеграл ) ) (х) г1х. Поскольку линейные замены л и = (х — аЯо — а) и в =- (у — сЯС вЂ” с) приводят к интегрированию функции, заданной на отрезке (О. 1) и ограниченной снизу нулем и сверху единицей, то в дальнейшем будем считать, что а =- О, б = — 1 и 0 < У(х) < 1. Для вычисления определенного интеграла ) )(х) дх, как должно о быль известно читателю, необходимо сначала найти какую-либо первообразную х'(х) функции )'(в:) и затем воспользоваться формулой 1 Ньютона — Лейбница, согласно которой )' у"(х) дх = г (1) — Е(0). о Однако хорошо известно и то, что интеграл далеко не от всякой элементарной функции г'(х) может быть выражен также в элемен- Гл.
4. Схема Бернулли тарных функциях. Тем не менее к настоящему времени разработаны методы приближенного численного интегрирования (простейшими из ннх являются формулы трапеций и Симпсона), для применения которых нужно вычислить значения функции у(л) в определенных точках хь..., х,„(узлах интегрирования) и затем сложить полученные результаты с некоторыми весовыми коэффициентами. Обычно для достижения требуемой точности достаточно взять весьма небольшое число )в узлов интегрирования. Пусть, например, пч = 10. Тогда, даже если у(х) задается сложным аналитическим выражением, современная ЭВМ легко справится с поставленной задачей и почти мгновенно подсчитает значение определенного интеграла.
Усложним задачу и предположим, что нужно вычислить й-кратный интеграл ! ...1 )(хы...,х;,)г!л1...г!хь, где )(лы...,хь) тако < х и..., х г '.! же заключена между 0 и 1. Теперь уже для применения численных методов необходимо взять и, узлов интегрирования лы,...,х„и для каждой переменной интегрирования л, (! = 1,...,Й) и найти значения функции у'(хы..., ль) для всех комбинаций х~л, ..., хь „(общих узлов интегрирования). Поскольку лм, для каждого ! может принимать тп различных значений, то всего общих узлов интегрирования будет ть.
В частности, если т = !О, то для вычисления !О-кратного интеграла необходимо подсчи- 1 тать значения )'(хы ...,л1о) в 10 точках, что 1о представляет собой уже весьма трудоемкую зада, 'х ~"х,.~ ! чу даже для самых современных ЭВМ Попробуем теперь решить те же самые зада- ' Х" 'хх!Ю'. чи, привлекая вероятностные соображения. Для этого снова вернемся к однократному интегралу ! Рис 1 ) ((х) дл и вспомним, что геометрически он предо ставляет собой площадь области А, ограниченной графиком функции ((м) (рис.
!). Проведем опыт, заключающийся в бросании случайным образом (т.е. в соответствии с принципом геометрической вероятности) двух точек на отрезок !0,1). Обозначим координату одной из них через ~, а другой через и и отложим с и й по осям абсцисс и ординат соответственно (см. рис. 1). Проверим выполнение неравенства г! < !(С). Справедливость этого неравенства означает, что точка (б,г1) попала в область А. Но в соответствии с принципом геометрической вероятности вероятность Р(А) попадания точки (С,~1) в область А есть отноше! ние площади А к площади единичного квадрата, т. е. Р(А) = !гу'(м) г!х. о Повторим описанный выше опыт п раз и по результатам наблюдений определим частоту г' = плГп появления события А, т.
е. попадания точки (б, г1) в область А. Поскольку по теореме Бернулли частота у' б Вьтисление определенных интегралов методом Монте-Карло 65 с ростом и стремится к вероятности Р(А), то, подставляя вместо вероятности Р(А) ее значение, получаем приближенное равенство которое и служит для оценки интеграла по результатам случайных испытаний. Описанный метод приближенного вычисления определенного интеграла носит название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло (город Монте-Карло — место сосредоточения всемирно известных игорных домов). Название «метод Монте-Карло» связано с тем, что проводимые испытания очень напоминают подбрасывание монеты, бросание игральной кости или игру в рулетку. Имеется существенное качественное различие между погрешностями, возникающими при применении методов численного интегрирования и метода Монте-Карло.
В первом случае при выполнении соответствующих условий можно дать гарантированную оценку точности, т. е. указать достоверные границы, в которых обязательно будет заключено истинное значение вычисляемого интеграла. Во втором случае гарантированную оценку нельзя дать в принципе, а можно сказать только, что отклонение значения интеграла, вычисленного методом Монте-Карло, от истинного значения этого же интеграла не превосходит некоторой величины с определенной вероятностью.
Для определения количественного значения погрешности при применении метода Монте-Карло обычно пользуются интегральной формулой Муавра-Лапласа. Пусть истинное значение интеграла ~ у'(х) дх = Р(А) = р. о Тогда для заданного е событие ~приближенное значение у' = пл(п интеграла удовлетворяет неравенству ~~' — р~ < е) совпадает с событием (число успехов и, в схеме Бернулли с вероятностью успеха р удовлетворяет неравенству ~пл — пр, '< еп) или, что то же самое, с событием )число успехов пгл заключено в пределах от пр — ап до пр + еп).
Воспользовавшись теперь интегральной формулой Муавра-Лапласа, получаем, что вероятность р, того, что значение интеграла ) у(х) йх, о вычисленного методом Монте-Карло, отличается от истинного значения р этого интеграла не более чем на е, задается выражением р,=Ф с — Ф вЂ” е — =2Фо 3 П П Бочаров, А В Печннннн Гл.
4. Схема Бернулли 66 Из последней формулы видно, что если мы хотим уменьшить погрешность е в о раз с сохранением той же вероятности р„то мы должны произвести в оа раз больше опытов (см. пример 8). При вычислении вероятности р, часто возникает затруднение, связанное с тем, что значение р нам неизвестно. В этом случае обычно идут двумя путями. Первый путь заключается в том, что величина ру заменяется ее верхней оценкой 1/4. Второй путь состоит в замене в формуле для р, вероятности р ее приближенным значением ). Более точную оценку погрешности при применении метода МонтеКарло можно получить на основе результатов математической статистики (раздел «Доверительные интервалы«).
Метод Монте-Карло очевидным образом переносится и на тот случай, когда нужно вычислить й-кратный интеграл Н ~(х 0«,,....,*,1 Единственное отличие заключается в том, что на отрезок 10, 1) необ- ХОднМО брОСатЬ ужЕ НЕ дВЕ, а К'+ 1 ТОЧЕК (и ...,СГпу И ПрОВЕрятЬ выполнение неравенства 0 < (ф, ...,Сь).
Все остальные результаты, в том числе окончательное выражение у'(хн...,хь) дх|...дхь = )' =.— 0<яь....ь«<1 для приближенного значения интеграла и формула для оценки вероятности р, погрешности, полностью сохраняются и в этом случае. Естественно, возникает вопрос: в каких случаях следует применять методы численного интегрирования, а в каких — метод Монте-Карло? Для этого вернемся к началу параграфа и снова предположим, что для достижения заданной точности вычисления однократного интеграла необходимо взять т =- 10 узлов интегрирования х„ т.е.
фактически произвести 1О «обобщенных« операций, состоящих в определении у'(х«). Опыт показывает (см. также пример 8), что для достижения аналогичной точности методом Монте-Карло требуются десятки, а то и сотни тысяч испытаний. Пусть для определенности необходимое число испытаний п = 10'. Поскольку, как правило, основное время при вычислениях занимает нахождение значения ) ®, то трудоемкость метода Монте-Карло оценивается 10з «обобщенными» операциями, т.е.
метод Монте-Карло существенно уступает численным методам. Перейдем к вычислению интеграла кратности й. Тогда, как мы уже говорили, при применении численных методов трудоемкость вычислений составит уже !О" операций. Однако использование метода Монте-Карло ведет лишь к незначительному увеличению трудоемкости. В частности, при вычислении 5-кратного интеграла трудоемкость обоих методов практически совпадает, а при вычислении интегралов большей кратности 67 7. Полиномиальная схема численные методы уже начинают проигрывать методу Монте-Карло, привел« тем больше, чем больше кратность интеграла. Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что применение метода Монте-Карло оправдано только при вычислении кратных интегралов, причем в случае большой кратности метод Монте-Карло просто не имеет конкурентов со стороны методов численного интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
