Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 14
Текст из файла (страница 14)
П р н и е р 3. Счетчик регистрирует попадающие в него частицы с вероятностью р = 0,9. Найдем вероятность Р~ь(т) того, что он зарегистрировал гп Гт = О,1,, 10) частиц при условии, что в него попало 1О частиц. Воспользуемся сначала точной формулой Бернулли, в соответствии г!Оь с которой Р1ьгт) = 1 710,9 (! — 0,9)'ь '". Результаты расчетов приведены в табл. 1 в графе «Точное значение Р~ь(гп)» Постараемся применить теперь приближенные формулы. В нашем случае Л = пр = 9 велико, однако Л' = пу = 1 мало и, значит, рекомендации советуют воспользоваться формулой Пуассона, но по отношению к незарегистрированным частицам В соответствии с этой формулой 1«оР<ь(гп) — = Р(10 — т; !). !Π— т По табл.
! приложения находим Р1ь(10) = Р(0;1) = 0,36788, Р~оЯ = Р(1;1) = 0,36788 н т.д. Приближенные значения приведены в табл. 1 в графе «Значение, вычисленное по формуле Пуассона». Для сравнения полученных результатов 4. Применение приближенных формул Пуассона и Муавра-Лапласа 59 в эту же таблицу включена графа «Погрешностьэ. Анализируя приведенные в этой графе числа, видим, что максимальная абсолютная погрешность 0,01954 невелика, чего нельзя сказать о максимальной относительной погрешности В частности, приближенное значение 0,00051 вероятности Тйо(4), вычисленное по формуле Пуассона, почти в 4 раза больше истинного значения 0,000!4 этой вероятности Наконец, покажем, как воспользоваться локальной формулой Муавра— Лапласа, хотя здесь это и не рекомендуется делать.
Тогда Р1о(т) мы должны заменить числом р1ш )Гт7ГО 0,9 0,1, где и = '1т — 10-0,9)г'тг10 0,9 0,1, а ф(х) — плотность стандартного нормального распределения Результаты вычислений с использованием табл. 2 приложения приведены в табл 2. Как и следовало ожидать, локальная формула Муавра — Лапласа дает существенно ббльшие погрешности. Д Таблица 1 Значение, вычислен- ное по формуле Пуассона Точное значение Рш(т) Погрешность 0,00001 0,00014 0,00149 0,01116 0,05740 0,19371 0,38742 0,34868 Таблица 2 Значение, вычисленное по локальной формуле Муавра-Лапласа Точное т значение Р,о(гп) Ф -) Погрешность 0,00001 0,00014 0,00149 0,01116 0,05740 О, 19371 0,38742 0,34868 0,00006 0,00286 0,04540 0,24231 0,42052 0,24231 0,00006 0,00271 0,04307 0,22988 0,39894 0,22988 0 1 2 3 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 — 9,49 — 8,43 — 7,38 — 6,32 -5,27 — 4,22 — 3,16 — 2,11 — 1,05 0,00 1,05 0,00001 0,00007 0,00051 0,00307 0,01533 0,06131 0,18394 0,36788 0,36788 0,00001 0,00006 0,00037 0,00158 0,00417 0,00391 — 0,00977 -0,01954 0,01920 — 0,00001 -0,00014 — 0,00143 — 0,00830 -0,01200 0,04860 0,03310 — 0,10637 60 Гл.
4. Схема Бернулли Пример 4. Производится 10 подбрасываний симметричной монеты. Найдем вероятность того, что выпадет ровно гп (т = О, 1,..., 10) «гербов». Так же, как и в предыдущем примере, сначала по формуле Бернулли Р1о(тп) =. ! ! 0,5 вычислим точные значения этих вероятностей (см. табл. 3, . Г10т 1о графа «Точное значение Рю(т)«). Воспользуемся теперь приближенными формулами. В данном примере Л = 5 и Л' = 5, поэтому применим формулу Муавра-Лапласа. Так как нас интересует вероятность выпадения ровно гп «гербов«, то необходимо применить локальную формулу Муавра-Лапласа, в которой '«Я = 'т«««««1,««1« и для т «гербов» т — 5 «и — 5 х ««'10 05 05 Результаты вычислений также приведены в табл.
3. Из табл 3 видно, что и в этом случае максимальная абсолютная погрешность 0,00622 по отношению к максимальному значению Рю(5) = 0,24609 вероятности Рю(«п) достаточно мала Таблица 3 Значение, вычисленное по локальной формуле Муавра — Лапласа Точное значение Погрешность гп Рю(п«) Читателю советуем самостоятельно применить формулу Пуассона и убедиться в том, что она дает существенно большие погрешности. С! П р и м е р 5. В тираже «Спортлото 6 нз 49» участвуют 10000000 карточек. Найдем вероятность события А — хотя бы в одной из этих карточек зачеркнуты 6 выигрышных номеров (максимальный выигрыш) Естественно сразу же перейти к дополнительному событию А — ни на одну карточку не выпадет максимальный выигрыш. Считая, что в каждой из карточек номера зачеркиваются случайным образом и независимо от остальных, видим, что число карточек, на которые выпал максимальный выигрыш, подчиняется бнномиальному закону с параметрами п = 10КЮКЮ и р = 7 10 з (см пример 7 в гл.
2) Поскольку Л = пр = 0,7, то для определения вероятности Р(А) воспользуемся формулой Пуассона. Тогда Р(А) = Рю«хоооо10) = Р(0;0.7). Из табл. 1 приложения имеем 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 0,00098 0,00977 0,04395 0,11719 0,20508 0,24609 0,20508 0,11719 0,04395 0,0097? 0,00098 — 3,16 -2,53 — 1,90 — 1,26 — 0,63 0,00 0,63 1,26 1,90 2 53 3,16 0,00271 0,01625 0,06562 О.!8037 0,32713 0,39894 0,32713 0,18037 0,06562 0,01625 0,00271 0,00171 0,0! 028 0,04! 50 0,1!408 0,20690 0,25231 0,20690 0,1!408 0,04150 0,01028 0,00171 0,00073 0,00051 — 0,00245 — 0,00311 0,00182 0,00622 0,00182 — 0,00311 — 0,00245 0,00051 0,00073 4. Применение приближенных формул Пуассона и Муавра-Лапласа 61 Р(0,0,7) = 0,49659, и, значит, Р(А) = 0,50341. Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна из 10000000 карточек окажется выигрышной, чуть больше 1«2. !3 П р и м е р 6.
Для определения числа и экспериментальным путем (см пример 12 в гл. 2) производится п = 10000 бросаний иглы длиной 1 = а?'2. Значение и определяется при этом формулой и = п)и, где р — число пересечений иглой одной из прямых. Найдем вероятность того, что определенное таким образом приближенное значение и будет заключено в пределах от 3,!4 до 3,15 (событие А). Событие А происходит тогда и только тогда, когда число пересечений будет лежать в пределах от т1 = 31?5 до таз =- 3184. Вероятность успеха (пересечения иглой одной из прямых при ! = о/2) р = 1гп = 0,3183, неудачи — д = ! — р = 0,6817. Поскольку п, пр и пу велики, а по условию задачи нас интересует вероятность попадания на интервал, воспользуемся интегральной формулой Муавра †Лапла, в которой х1 — (3175 — 3183)Гт?2!69 — — О,!7 и хе — (3184 — 3183)гтГ2!69 — 0,02. По табл. 3 приложения получаем, что Фо(х|) = -0,06749, Фо(хг) = 0,00798, и, значит, Р(3175 < р, < 3!84) = Фо(хз) — Фо(х~) = 0,07547.
Отсюда можно сделать вывод: 10000 бросаний иглы явно мало для того, чтобы определенное экспериментально число «г с достаточно большой вероятностью лежало в пределах от 3,14 до 3,15. Пример 7. В сосуде содержится п = 5,4 !Оае молекул газа. В некоторый момент времени сосуд делят непроницаемой перегородкой на две части одинаковых объемов. Считая, что каждая молекула с одинаковой вероятностью (р = у = 1/2) может находиться в любой из двух частей, определим вероятность события,4 — в одной из частей сосуда будет содержаться молекул по крайней мере на !О ~»? (от общего числа молекул в сосуде) больше, чем в другой Перейдем к дополнительному событию А, которое, как нетрудно видеть, состоит в том, что число молекул в первой части сосуда заключено в пределах от гп~ = 2,7(10еэ — 1О'~) до тз = 2,7(10м Ф 10' ).
Поскольку п весьма велико, а т| и гпе различны, воспользуемся интегральной формулой Муавра— Лапласа, в которой х1 = — 23,3 и х = 23,3. Следовательно, Р(А) — Фо(23,3)— — Фо( — 23,3) = 2Фо(23,3). В табл. 3 приложения, как и в большинстве других таблиц, значения функции Фо(х) приводятся для х, не превосходящих 5. Учитывая монотонное возрастание функции Фо(х), можно сделать следующую оценку для вероятности Р(А): Р(А) > 2Фо(5) = 2.
0,4999997 = 0,9999994. Значит, Р(А) < 1 — 0,9999994 = 6 10 '. Более точные расчеты показывают, что 2Фо(23,3) < 10 '~. Как мы видим, вероятность числу молекул в одной части сосуда отличаться от числа молекул в другой даже на 10 ~% ничтожно мала. П р и м е р 8. Определим, какое число п подбрасываний симметричной монеты надо произвести, чтобы наблюденная частота 7" = р/п выпадения «герба» отличалась от вероятности р = 1г«2 выпадения «герба» не более чем на 0,01 с вероятностью 0,99. Предположим, что мы произвели п испытаний. Тогда число р выпадений «герба» должно быть заключено в пределах от пн = пг«2 — 00!и до т = п?2 -, '0,01п.
Воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа, в которой р = д = 112, х1 = — О 01п)(05»лп ) = — О 02,,~й, хе = О О!и/(О 5чси ) = О 02т(п . Тогда Р(т~ < р < те) — Фо(0,02хгп) — Фо(-0,02т?й) = 2Фо(0,02 /и). Поскольку из условия задачи известно, что Р(пп < р < гп ) = 0,99, то получаем 62 Гл. 4. Схема Бернулли Фз(0,02ч«п) = 0,495. Из табл. 3 приложения находим 0,02т?й = 2,58. Отсюда следует, что чгп = 129 и и =- 16641. Таким образом, необходимо произвести около 17000 подбрасываний.
Определим теперь, сколько нужно произвести подбрасываний симметричной монеты, чтобы частота выпадения «герба» отличалась от вероятности не более чем на 0,005 га не на 0,01) с той же вероятностью 0,99. Иными словами, считая, что наблюденная частота 7' выпадения «герба» является оценкой вероятности р = 17'2 выпадения «герба». мы хотим узнать, во сколько раз нужно увеличить число испытаний, чтобы повысить точность оценки в два раза. Производя аналогичные вычисления, получаем ч««п = 258 н и =- 66 564. Значит, число подбрасываний нужно увеличить в 4 раза. Если бы мы захотели повысить точность оценки в 3 раза, то нам пришлось бы увеличить число подбрасываний уже в 9 раз.
Нетрудно видеть, что выведенный закон присущ схеме Бернулли с любой вероятностью успеха р, оценивая вероятность р с помощью наблюденной частоты /, для улучшения оценки в о раз мы должны увеличить число наблюдений в о раз. П 5. Теорема Бернулли Предположим, что мы произвели большое число п испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. По числу полученных успехов р определим наблюденнУю частотУ 7' = Рч?и. СпРашиваетсЯ, как сильно может отличаться наблюденная частота успеха 7' от вероятности успеха р? Ясно, что, вообще говоря, частота 7" может принимать любые значения от О до 1.
Так, мы вполне можем получить в и испытаниях одни неудачи. Но, как мы знаем, вероятность такого события равна «1", и при больших и она будет весьма мала. Поэтому естественно ожидать, что при больших и частота 7" с большой вероятностью группируется вокруг вероятности р, что мы сейчас и установим, исходя из интегральной теоремы Муавра — Лапласа. Пусть е > Π— любое сколь угодно малое число, а событие А заключается в том, что наблюдаемая в п испытаниях частота 7' отличается от вероятности по модулю не больше чем на е. Иными словами, событие А происходит тогда и только тогда, когда число успехов в п испытаниях заключено в пределах от т,| = пр — пс до тпз = пр 4- пг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
