Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 13
Текст из файла (страница 13)
О (гп = О,1,...) 3. Формулы Муавра — Лапласа Если в схеме Бернулли наряду с числом испытаний и велики также значения пр и ггу, то следует применять формулы Муавра — Лапласа локальную или интегральную. При этом локальную формулу Муавра— Лапласа, как следует из самого названия, необходимо применять в том случае, когда нас интересует вероятность получить ровно гп успехов в и испытаниях, а интегральную — если определяется вероятность получить число успехов, заключенное в пределах от т! до та. существуют и определяются теоремой Пуассона, а также локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа.
Начнем с наиболее простой из них — формулы Пуассона. Формула Пуассона применяется тогда, когда наряду с большим значением числа испытаний и мала вероятность успеха р. Рекомендации по применению предельных формул (в том числе и формулы Пуассона) мы дадим ниже. Сейчас же сформулируем теорему Пуассона. Строго математически теорема Пуассона опирается на довольно сложное понятие схемы серий, поэтому ниже мы приведем»инженерную» интерпретацию этой теоремы. 8. Формулы Муавра — Лапласа Так же, как и теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра †Лапла приводятся в «инженернойв трактовке.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний п велико, то для всех т справедлива приближенная формула (локальная формула Муавра — Лапласа) Нрд Рп(т) = ~р(х), где х = (т — ир)) ЯЯ, а (,) = ' е-х'~ ъ'2х Одно из первых д о к а з а т е л ь с т в теоремы было основано на известной из курса математического анализа формуле Стирлинга и! епи "(2хп) " — 1. Не вдаваясь в математические подробности доказательства, изложим основную его суть. Считая, что п и и, — т достаточно велики, и подставляя в формулу Бернулли вместо п.', т! и (и — т)! их приближенные значения, вычисленные по формуле Стирлинга, получаем хгТГр<~ Р„(т) = х/2я ~/ т(п — т) ' где т (п — т)" Положим х = (т — пр))чГпЯ.
Тогда т = пр+ х Гарй, п — т, = пг!— — х /пру. Логарифмируя теперь А, имеем 1пА= — (ир+х,/пЯ)1п 1+х,~ —" 1+ ~() пр у + (пд — хсгпРУ) 1п 1 — х Поскольку ° 'д7(пр) и,/р)(иу) малы при больших п, разложим лога- рифмы в ряд Маклорена по степеням х до второго члена. Тогда 1пА = — ((пр+ х пру) (х — — — ' — ~ + ')/ пр 2 'пр) в 2 + (пд — х,,/иру) ( — х — — — — ) ! = — — (р+ о) = — — .
'(/од 2 пц)! 2 2 Следовательно, А=е 56 Гл. 4. Схема Бернулли Наконец, учитывая, что т)(пр) = 1 и (г( — т~(!пу) = ! при фиксиро- ванном;г и больших пи получаем п ра т(п — т) откуда и вытекает утверждение теоремы. Значения функции Зэ(х), которую называют плотностью стандартного нормального, или гауссоаа, распределения, для некоторых х приведены в табл. 2 приложения. Поскольку функция тэ(х) является четной, то при определении (р!х) для отрицательных х нужно воспользоваться равенством р(х) = (р(-х).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний и велико, то для вероятности РТт,( < р, < тзЗ того, что число успехов р заключено в пределах от гп( до те, справедливо приближенное соотношение (интегральная формула Муавра— Лапласа) Р~т( < р < тз) = Ф(хз) — Ф(х(), где т( = (т( — пр)(чГпрд, ха = (тз — пр)),Яр((, х х Ф(х) = ~ (р!у)с(у = — е "~ (!у. ЧГ2(г Доказательство теоремы проведем, опираясь на локальную теорему Муавра — Лапласа (здесь мы также опускаем отдельные технические детали доказательства) Если а„ и оо при п -и со, то в силу теоремы о среднем н равномерной непрерывности функции Эь(х) *-н((е „( у(х() — а„~ (ь(у) ду — и 0 и* — (Пз,д равномерно по т.
Поэтому, полагая а, =- Яру, из локальной теоремы Муавра— Лапласа находим +1!(етит ( Р„(т) = — ьх(х) ж о( — ) = ~ (ь(у) ((у+ о( — ), * — (!(зикт ( где х = (т — пр)! Гпру. Суммируя по всем т от гп( до те, окончательно получаем хг-~! ((З,(пя ( ""г Рт(гп( < р < тз) = 2 Ри(п() ~ х(у) ((у ~ х(у) ((у. ~ — ~и ! х1 — (/(З ят( Тем самым утверждение теоремы доказано Отметим, что интегральная теорема Муавра-Лапласа является следствием более общей центральной предельной теоремы, которую мы докажем другим, более простым способом в гл.
8. 4. Применение приближенных формул Пуассона и Муавра-Лапласа 57 Функция Ф(х), фигурирующая в интегральной формуле Муавра— Лапласа, носит название функции стандартного нормального, или гауссова, распределения. В силу четности зв(х) функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-х) =- 1 — Ф(.г). Поэтому в табл. 3 приложения приведены значения не Ф(х), а интеграла Лапласа Фо(х) =- )" 1с(у) ду и только для положительных х. Ясно, что о Фо(х) является нечетной функцией, т.е.
Фо( — х) = — — Фо(х) и, кроме того, Ф(х) = Фо(х) + 1/2. В терминах интеграла Лапласа интегральная формула Муавра-Лапласа имеет вид Р(т~ < р < 'та) Фо(хз) — Фо(х1). Именно этой формулой мы будем пользоваться при расчетах в примерах следующего параграфа. 3 а м е ч а н и е. Распределение Пуассона, плотность и функция стандартного нормального распределения играют в приложениях столь существенную роль, что таблицы их значений содержатся практически в любом справочнике, учебнике или задачнике по теории вероятностей или математической статистике (см. также приложение). Однако следует еще раз обратить внимание на то, что довольно часто в таблицах приводятся не значения функции стандартного нормального распределения, а значения интеграла Лапласа Фо(х) или даже функции Ф (х) = ! 1с(у) г1у = 1 — Ф(х).
Поэтому, прежде чем пользоваться таблицей, необходимо внимательно посмотреть, значения какой функции даны в этой таблице. 4. Применение приближенных формул Пуассона и Муавра — Лапласа В этом параграфе мы дадим некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению приближенных формул и рассмотрим примеры расчетов с их помощью.
Если число испытаний и = 10 20, то приближенные формулы используются для грубых прикидочных расчетов. При этом формула Пуассона применяется в том случае, когда Л = ир или Л' = иу изменяются в пределах от 0 — 2 (при и = ! 0) до 0 — 3 (при и = 20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра — Лапласа. Если и = 20 — 100, то приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов.
Формулу Пуассона рекомендуется применять, когда Л или Л' заключены в следующих пределах: 0 3 (и = 20) 0 5 (и, = 100). Если и = 100 !000, то практически при любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными формулами. Формула Пуассона 58 Гл. 4. Схема Бернулли используется, когда Л или Л' изменяются в следующих пределах: 0 — 5 (и, = 100) — 0 — 10 (и = 1000). Наконец, при и, ) 1000 даже специальные таблицы рассчитываются с помощью приближенных формул !правда, для увеличения точности используют специальные поправки). В этом случае для применения формулы Пуассона необходимо, чтобы Л или Л' лежали в пределах 0 — 1О и более.
Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, скажем несколько слов о погрешностях, возникающих при использовании приближенных формул. Для этого отметим, что знак = приближенного равенства использовался нами в том смысле, что при увеличении и разность между величинами, связанными этим знаком, стремится к нулю. Иными словами, приближенные формулы гарантируют только малую абсолютную погре«иность, но относительная погрешность, т. е, отношение величин, связанных знаком =, может быть сколь угодно большой. Так, при использовании формулы Пуассона для вычисления биномиальных вероятностей Р„(т) относительная погрешность имеет тенденцию к увеличению с ростом т. Аналогично, в формулах Муавра — Лапласа относительная погрешность увеличивается с ростом абсолютного значения !х ~ = !(»и — г»р)7«7»»ру ~, причем в интегральной формуле Муавра †Лапла такое увеличение происходит только в том случае, когда х! = (т! — пр)) )пру и хз =.
(тз — пр)) /Крд имеют одинаковый знак. Читатель сможет убедиться в этом из рассмотренных ниже примеров. Следует отметить, что к настоящему времени доказаны теоремы, позволяющие не только получать более точные приближения биномиальных вероятностей Рп(т), но и оценивать возникающие при этом погрешности. Однако эти результаты довольно сложны и весьма редко используются в инженерной практике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
