Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Итак, опыт состоит в последовательной сдаче двух экзаменов. Событие А — студент сдал первый экзамен на «хорошо», событие  — второй экзамен на «отлично» Ясно, что в качестве гипотез надо взять: Н1 — студент «отличник»,Н« — «четверочник» и Нз — «троечник». Если бы нам необходимо было найти просто безусловную вероятность события В, то нужно было бы воспользоваться формулой полной вероятности, в которой Р(Н~) = 5««15 =!/3, Р(н«) = ?115, Р(Нз) = 3/15 = 1/5, Р(В Н~) = 0,9, Р(В ) На) = 01 и Р(В ( Нз) =- О!. Однако нас интересует условная вероятность события В при условии А, поэтому мы сначала с помощью формулы Байеса найдем условные вероятности гипотез Нп Нз и Нз прн условии,4. Поскольку Р(А(Н1) = 0,1, Р(Л)Нз) = О,? и Р(А Нз) = 02, то имеем' ! — .
О,! 1 з О,! -1- — 0,7 -! — 0,2 1 т ! 12' з ' !з ' з 7 — . 0,7 49 Р(н,~л) =, О,! 4 — 0,7 -Ь вЂ , 0,2 3 !5 з Р(Н« ~ А) = 1 — Р(П1 А) — Р(П, А) = 1О Таким образом, по полученной на первом экзамене оценке мы обязаны приписать нашему студенту новые вероятности 1«!2, 49160 и 1«10 того, что он «отличник», «четверочник» и «троечник» Теперь для вычисления условной вероятности Р(В ~ А) воспользуемся формулой полной вероятности Р(В ~ А) = Р(Н ~ Л) Р(В ~ Н Л) + Р(Н ~ Л) Р(В ~ НзЛ) Е Р(Н ~ Л) Р(В ~ В«Л), в которой вместо вероятностей Р(В) и Р(Н,) (« = 1,2,3) взяты условные вероятности Р(В А) и Р(Н, ( А), а вместо условных вероятностей Р(В ) Н,)— условные вероятности Р(В ( Н,л) (справедлнвость этой формулы мы предлагаем читателю проверить самостоятельно).
Тогда, предполагая, что для студента одной успеваемости результат следующего экзамена не зависит от результата предыдущего, т. е. Р(В Н,л) = Р(В ~ Н«), получаем окончательно Р(В/ А) = Р(н~ / А) Р(В / Н1) + Р(нз / А) Р(В ! Нз) + Р(Нз / А) Р(В / Нз) = — 0,9 4- — 0,1 4 — . 0,1 = — . 1 49 ! ! !2 60 1О б 5. Формула Байеса Для лучшего усвоения этого примера рекомендуем читателю построить пространство элементарных исходов П (в данном случае оно будет состоять из 27 «троек» вЂ” «усцеваемость-оценка на первом экзамене-оценка на втором экзамене») и определить на нем вероятность.
При определении вероятности нужно учитывать, что оценки на каждом экзамене для студентов одной успеваемости независимы. Вообще говоря, можно отказаться и от условия независимости оценок на каждом экзамене. Тогда в формуле полной вероятности нужно вместо условных вероятностей Р(В ~ 77,) использовать условные вероятности Р(В ~ЛН„), т.е.
учитывать не только успеваемость студента, ио и его предыдущую оценку. Разумеется, модель экзаменов должна быль тоже более тонкой, т. е. необходимо задать для студента каждой успеваемости вероятность получения им любых оценок на двух последовательных экзаменах. П Глава 4 СХЕМА БЕРНУЛЛИ Во введении мы говорили, что теория вероятностей имеет дело с такими явлениями, при которых испытания можно повторять, по крайней мере теоретически, бесконечное число раз, и при этом появление или непоявление некоторого наблюдаемого события в каждом испытании не будет зависеть от исходов предыдущих испытаний Сейчас мы рассмотрим более подробно эту схему, носящую в теории вероятностей название последовательности независимых одинакоеых испытаний, или схемы Бернулли, основываясь на аксиоматическом определении вероятности и уже введенном нами понятии независимости событий.
Итак, опыт состоит в п-кратном повторении одинаковых испытаний. в каждом из которых может с вероятностью р наступить некоторое событие (будем говорить в этом случае, что произошел «успех») или с вероятностью у =- 1 — р не наступить (произошла «неудача»). Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН..У, состоящей из и букв У и Н, причем буква У (или Н) на г-м месте означает, что в г-м испытании произошел успех (или неудача).
Пространство элементарных исходов Й состоит из 2" исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН. У (о-алгебра событий х» включает 2г событий!). Заметим теперь, что в силу независимости испытаний мы обязаны сопоставить каждому элементарному исходу ш = .. вероятность Р(ш) = Р(...) = руу...р, причем буква р (или у) в произведении повторяется столько раз, сколько раз произошел успех (или неудача). Типичным представителем схемы Бернулли является и-кратное подбрасывание несимметричной монеты, причем, например, «успех» означает выпадение «герба», а «неудач໠— «цифры» 1.
Формула Бернулли Вычислим вероятность Р„(т) получить в п испытаниях ровно т, успехов. Событие А — в и испытаниях произошло ровно т успехов — состоит нз тех элементарных исходов, в которых буква У появляется ровно т раз. Для того чтобы подсчитать число таких исходов, заметим, что оно совпадает с числом способов, которыми можно расставить т букв У на и местах.
Поскольку порядок, в котором мы расставляем буквы, нас не интересует, то мы имеем дело с согг 'г четаннями и число способов равно !х ) . С другой стороны, каждый элементарный исход, в котором интересующая нас буква У встречается ровно т раз, как мы знаем, имеет вероятность рюу" "'. Окончательно получаем для вероятности Р(Аш) = Ри(гп) наступления т успехов в п, независимых испытаниях формулу Бернулли: Р„(т) = ( )р~у" '" (т = О,!,2,,..ы).
2. Формула Пуассона Данное выражение носит также название биномиального закона, поскольку Р„(т) можно получить как коэффициент при -'" разложения по степеням з бинома (рв+ о)". Заметим, что последнее выражение представляет собой производящую функцию (з-преобразование) для биномиального закона (см. параграф 3 гл. 8); аппарат производящих функций широко используется в теории вероятностей. Пример 1. В шаре радиусом В находится п молекул идеального газа Вычислим вероятность того, что ровно 1и из них будут находиться иа рассто- янии, меньшем р =- ЛЛ (О ( Л < 1) от центра этого шара.
Поскольку каждая из п молекул может находиться в любой точке шара независимо от остальных, искомая вероятность определяется с помощью формулы Бернулли. При этом для вычисления вероятности р попадания одной молекулы в шар радиусом р (успех) можно воспользоваться схемой геометрической вероятности, т.е р = = Л вЂ” ян 4 з з Тогда по формуле Бернулли окончательно получаем Р (т) = ( )Л (! — Л')" !З При м ер 2. Частица пролетает последовательно мимо 6 счетчиков.
Каж- дый счетчик независимо от остальных отмечает ее пролет с вероятностью р =- 0,8. Частица считается зарегистрированной (событие А), если она отмечена не менее чем двумя счетчиками. Найдем вероятность зарегистрировать части- цу В соответствии с аксиомой сложения искомую вероятность Р(А) можно представить в виде Р(А) = Р(Аз) Ь Р(Аз) -Ь Р(Ат) Ь Р(А ) -Ь Р(Ав), где А, — событие, заключающееся в том, что частица отмечена ровно 1 счетчиками.
Теперь для определения Р(А,) можно было бы воспользоваться формулой Бернулли, однако мы предварительно перейдем к дополнительному событию А — частица либо не отмечена ни одним счетчиком, либо отмечена только одним. Тогда Р(А) = Р(Ав) -1; Р(А1) = Рз(0) -!- Рь(1) = = ( )р~у" + ( )р'уЯ = (0,2) -Ь 6 0,8 (0,2)З = 0,0016 Р(А) =- 1 — Р(А) = 0,9984.
2. Формула Пуассона Предположим, что мы хотим определить вероятность выпадения ровно 5100 «гербова при 10000 бросаний монеты. Ясно, что при таком большом числе испытаний использование формулы Бернулли весьма затруднительно с точки зрения вычислений. Поэтому возникает естественное желание иметь простые, но достаточно точные приближенные формулы для вычисления Р (т,) при больших п.
Такие формулы Гл. 4. Схема Бернулли Теорема Пуассона. Пусть число испытаний п в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха р в одном испытании мала, причем мало также произведение Л =- пр. Тогда Р (т) определяется по приближенной формуле (формула Пуассона) Р„(ггг) = — е (т= 0,1,2,...,п). л пг! Доказательство.
Запишем формулу Бернулли и ! ( )» ~ п(п — 1) (и — т 1- 1) ( )и Ьтl т! илн, с учетом обозначения Л = пр, Л'"( Л)" п — ! и,— 2 и — и»-~-1( Л) Как известно, (1 — Л/и)" — е ~ при больших и Кроме того, если п велико, то (и — !)/и — 1, (и — 2)/и — 1,, (и — т+ !)/и — ! и (! — Л)п) ' — 1. Поэтому Х'„(т) — — е т! что и требовалось доказать. Совокупность вероятностей Р(пиЛ) = — Л с х/пг) называется распределением Пуассона. Значения функции Р(пиЛ) для некоторых Л приведены в табл. 1 приложения. Отметим, что формула Пуассона справедлива также по отношению к числу неудач, но только в том случае, когда мало Л' = пу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
