Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 11
Текст из файла (страница 11)
3 лельное соединение элементов. Однако довольно часто встречаются устройства, структурную схему надежности которых можно представить в виде отдельных компонентов, содержащих только последовательные или только параллельные соединения элементов. В таком случае расчет надежности устройства можно произвести поэтапно, объединяя на каждом этапе либо последовательно, либо параллельно соединенные элементы и заменяя их одним «обобщенным» элементом. Например, пусть нужно определить вероятность отказа состоящего из трех элементов устройства, структурная схема надежности которого приведена на рис.4. Известно, что элементы отказывают независимо друг от друга и вероятно- Рис. 4 сти отказов элементов 1, 2, 3 за заданное время работы равны соответственно Р(А~) = Р(Аз) =- 0,1, Р(Аз) =- 0,01.
Для нахождения вероятности Р(А) отказа всего устройства заменим сначала параллельно соединенные элементы 1 и 2 «обобщенным» элементом 4, вероятность отказа которого в соответствии с приведенным ранее правилом равна Р(А«) = Р(А1) Р(Аз) = 0,1 = 0,01. 47 4. Формула полной вероятности Теперь осталось заметить, что структурная схема надежности всего устройства представляет собой последовательное соединение элемента 3 н «обобщенного» элемента 4. Значит, Р(А) = à — (à — Р(А«))(1 — Р(А )) = à — (1 — О,ОГ) ж й,б2. Отметим, что при вычислении вероятности отказа устройства мы фактически пользовались следуюгцим представлением события А Л = (Л~Ат) гт Лм Отсюда в силу формул де Моргана для события Л вЂ” безотказной работы устройства на заданном промежутке времени — получаем выражение А = (А1 гт Аа) Аз, где событие А, (г = 1,2,3) -- безотказная работа г-го элемента.
4. Формула полной вероятности Предположим, что в результате опыта может произойти одно из п событий, во-первых, несовместных и, во-вторых, составляющих полную группу собьгтий Н„т. е, Н,Н = ю при г ф у' и Н1 + ... + Н„= й. События, удовлетворяющие этим двум требованиям, будем называть Рис. 5 гипотезами. Пусть также имеется некоторое событие А, и нам известны Р(Н1),..., Р(Нп), Р(А ~ Н|), ..., Р(А ~ Нп), Задача состоит в определении безусловной вероятности Р(А), Для решения представим событие А в следующем виде: А=АП=-А(Н, +...+Н„) =АН, +...+АН„ (см. рис. 5).
Тогда Р(А) = Р(АН1 ) +... + Р(АНп). По формуле умножения вероятностей Р(АН|) =- Р(Н1) Р(А ~ Н1), ..., Р(АН„) = Р(Н„) Р(А ~ Н„). Поэтому Р(А) =- Р(Н1)Р(А ~ Н1) +... + Р(Н„) Р(А ~ Н„). 48 Гл. 3. Условная вероятность. Независимость событий Выведенная формула носит название формулы полной вероятности. При всей своей простоте она играет весьма существенную роль в теории вероятностей. При мер 13. Частица пролетает мимо трех счетчиков, причем она может попасть в каждый из них с вероятностями 0,3, 0,2 и 0,4. В свою очередь, если частица попадает в первый счетчик, то она регистрируется с вероятностью 0,6, во второй — с вероятностью 0,5 и в третий — с вероятностью 0,55. Найдем вероятность того, что частица будет зарегистрирована (событие А) В нашем случае гипотеза Н| — частица попадает в первый счетчик (Р(Н|) =- 0,3), Ей|— во второй (Р(Нз) = 0,2) и Нз — в третий (Р(Нз) = 0,4) События Н|.
Нз и Нз не пересекаются, однако они не составляют полной группы событий. Для того чтобы получить полную группу событий, нужно добавить событие Н|, заключающееся в том, что частица не попадет ни в один счетчик Ясно, что Р(Н4) = ! — Р(Н|) — Р(На) — Р(Нз) = 1 — 0,3 — 0,2 — 0,4 = 0,1. Условные вероятности события А прн условии каждой гипотезы равны: Р(А ( Н|) = 0,6, Р(А(Не) =- 0,5, Р(А Нз) .= 0,55 и Р(А(Н4) = О. По формуле полной вероятности имеем Р(А) = 0,3.
0,6 4 0,2 0,5 4 0,4 0,55-~. 0,1 0 = 0,5, П 5. Формула Байеса Во многих приложениях теории вероятностей встречается следующая задача. Пусть до опыта имеются гипотезы Н|,..., Н . После опыта становится известной информация о его результатах, но не полная. А именно, результаты наблюдений показывают, не какой конкретно элементарный исход и| из пространства элементарных исходов Й произошел, а что наступило некоторое событие А. Считая, что до опыта были известны (априорные) вероятности гипотез Р(Н|),..., Р(Н„) и условные вероятности Р(А ~Н|),..., Р(А ~Н„), необходимо определить (апостериорные) вероятности гипотез Р(Н|~ А),..., Р(Н„ А). Для решения поставленной задачи вспомним, что по определению условной вероятности Р(Н ~ 1) Р(АН,) Р(А) и по формуле умножения вероятностей Р(АН,) = Р(Н,) Р(А ~ Н|) .
Поэтому Р(Н 1) Р(Н,)Р(.4 Н,) Р(А) Полученное выражение носит название формулы Байеса. 49 5. Формула Баиеса Подставляя вместо вероятности Р(А) ее значение, вычисленное по формуле полной вероятности, формулу Байеса можно переписать также Р(Н,)Р(Л1Н,) Р(Н~)Р(Л ~ Н1) 4- ... Ч- Р(Нв)Р(А1Нв) Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике.
Пример 14. Три завода выпускают одинаковые изделия, причем первый завод производит ог0%, второй — 2004 и третий — 3070 всей продукции. Первый завод выпускает 138 брака, второй завод — 8 Л и третий — 3%. Наудачу выбранное изделие оказалось бракованным (событие А). Найдем вероятность того, что оно изготовлено на втором заводе.
У нас имеется три гипотезы; ЕЕ~ — изделие изготовлено на первом заводе, ЕŠ— на втором заводе и Нз— на третьем. По условию задачи Р(ЕХ|) = 0,5, Р(ЕЕт) = 0,2, Р(Нз) .= 0,3, Р(А ) Н|) = 0,01, Р(А ) Нз) = 0,08, Р(А ( ЕЕз) = 0,03. Условная вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на втором заводе, определяется формулой Байеса; Р(ЕЕз ) А)— Р(Нз)Р(Л! Нз) Р(Н,)Р(А ~ и,) + Р(Нз)Р(Л! И,;1 Н Р(Нз)Р(Л(Нз) 0,2 О.ОВ 8 0,5 0,0! 40,2 0,0840,3 0,03 1б Итак, неслютря на то что продукция второго завода составляет 175, его доля в браке больше половины. П При мер 15. Два охотника одновременно стреляют одинаковыми пулями в медведя.
Б результате медведь был убит одной пулей (событие А). Как охотники должны поделить шкуру убитого медведя, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0,3, а у второго — 0,6? Снова воспользуемся формулой Байеса. Однако предварительно определим гипотезы Гипотеза ЕЕ~ попал первый охотник, второй промахнулся; гипотеза ЕЕз попал второй, первый промахнулся. События Н| и Н несовместны, однако не составляют полной группы событий. Поэтому введем еще две гипотезы: Нз — попали оба охотника и Нз — оба промахнулись.
Заметим, что событие А может происходить тогда и только тогда, когда произошла либо гипотеза Нн либо гипотеза Н, т.е. Р(А ( Н1) = Р(А ~Нз) =- 1, Р(А )Нз) = Р(А ) Нз) = О. Кроме того, делая естественное предположение, что попадания охотников в медведя не зависят друг от друга, получаем: Р(Нз) = 0,3 0,6 = 0,18, Р(Н,) = (1 — 0,3) х х (! — 0,6) = 0,28, Р(Н,) =- О,З (1 — 0,6) =- 0,12, Р(Нт) =- (1 — 0,3) х х 0,6 =. 0,42.
Теперь мы в состоянии применить формулу Байеса, согласно которой О,!2. 1 2 0,12. ! -1- 0.42. 1 -1- О.!8. О -1- 0,28. О 9 0,42. ! 7 Р(Нз~ Л) = — — — — — ' — — — — — — — = —. 012 11042 1+0!8 0+028 О 9 Таким образом, при справедливом дележе первый охотник должен получить 279 шкуры, т.е. меньше 1/4, в то время как, на первый взгляд, казалось, что ему причитается 1,73 шкуры. сз 50 Гл. 3.
Условная верояпноспь. Незазисимоспь сооыпий П р и м е р 16. В группе 15 студентов. Из них: 5 «отличников», 7 «четверочников» и 3 «троечника». Известно, что «отличник» с вероятностью 0,9 получает на каждом экзамене «отлично» и с вероятностью 0,1 — «хорошо». Аналогично, «четверочник» с вероятностью 0,1 получает «отлично», с вероятностью 0,7— «хорошо» и с вероятностью 0,2 — «удовлетворительно». Наконец, «троечник» получает с вероятностью 0,1 «отлично», с вероятностью 0,2 — «хорошо» и с вероятностью 0,7 — «удовлетворительно» Один из студентов из этой группы получил на первом экзамене «хорошо» Найдем вероятность того, что на следующем экзамене он получит «отлично».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
