Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Заметим теперь, что в соответствии с принципом классической вероятности безусловная вероятность Р(Л!) определяется как отношение числа карточек, на которых написана буква л, к общему числу карточек, т.е. Р(А!) = 2,Г7. Далее, если событие Л! произошло, то у нас осталось 6 карточек и на трех из них написана буква о. Поэтому Р(Лэ/ А!) =- Зг!6. Аналогично, если произошли события Л! и Лм то из пяти оставшихся карточек на двух написана буква т, и, значит, Р(Лз !А~Аз) = 2г!5. Наконец, Р(А4 ~ Л!ЛаАз) = 1!2, поскольку из четырех оставшихся карточек на двух написана буква о. Окончательно получаем 2 ! 2 ! ! Р(А) = Р(А!Аз.4зА!) =— 7 2 5 2 35 Любознательному читателю предлагаем решить эту задачу с помощью комбинаторных методов С! П р и м е р 8.

В некоторых сельских местностях России существовало когда-то следуюпгее гадание. Девушка зажимает в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу; подруга связывает эти травинки попарно между собой сверху и снизу в отдельности. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж.

Найдем вероятность того, что травинки при связывании наудачу образуют кольцо (событие А) Для этого предположим сначала, что связаны верхние концы травинок. Тогда у нас образуется 3 пары травинок, и нижние концы этих пар будем последовательно связывать Пусть событие А! означает, что при первом связывании у нас не образуется кольцо (рис. 1), т.е. не будут связаны между собой нижние концы одной и той же пары. Событие Аз — после второго связывания не образуется кольцо.

Тогда событие А представляет собой пересечение событий А! и Аз, и по формуле умно- жения вероятностей Р(А) = Р(А!) Р(Аз~ А!). Теперь заметим, что при первом связывании событие А! происходит только тогда, когда мы не свяжем между собой концы одной пары, а это возможно в 4 случаях из 5.

Поэтому Рис ! Р(А!) = 4!5. Если событие А! произошло, то для наступления события Лз необходимо связать построенную цепь и оставшуюся пару, что в свою очередь можно сделать 2 способами из 3. Значит, Р(Аз! А!) = 2,г3 и Р(А) = 4гг5 2гг3 = 8!!15. Предоставляем читателю возможность решить эту задачу для 2п травинок. сз 44 Гл.

3. еслоеная вероятность. Независимость событий 3. Независимость событий Следующим важным понятием теории вероятностей является независимость событий. События А и В назгяваются независимыми, если условная вероятность события В при условии А совпадает с безусловной вероятностью события В, т.е.

Р(В А) = Р(В). Введенное таким образом понятие скорее можно было бы назвать независимостью события В от события .4. Покажем, что на самом деле понятие независимости симметрично относительно перестановки событий А и В, т.е. если событие В не зависит от события А, то событие А также не зависит от события В. Для этого подставим вместо условной вероятности Р1В ~ А) ее значение Р(В ~ А) = Р(АВ),1Р(А). Тогда независимость событий А и В эквивалентна выполнению равенства Р(АВ) = Р(А) Р(В), откуда и следует симметричность понятия независимости.

Отметим, что последнюю формулу также можно было бы взять в качестве определения независимости. Этим определением можно пользоваться даже в том случае, когда вероятность события А или В равна нулю. Если события А и В независимы, то независимыми являются также пары событий А и В, А и В, А и В. В частности, Р(А В) = 1 — Р(А В) = 1 — Р(А) = Р(А), что означает независимость событий А и В. Аналогично доказывается независимость остальных пар событий.

П р и и е р 9. Проводится опыт, состоящий из двукратного подбрасывания симметричной монеты. Событие А — выпадение »герба» при первом подбрасывании, событие  — выпадение »герба» при втором В этом случае, как мы знаем, пространство элементарных исходов й состоит из четырех исходов.

Событию А благоприятствуют два исхода, событию  — два исхода и событию А — один исход. Значит, Р(А) = Р(В) =- 1ьь2, Р(АВ) = 1/4. События А и В независимы, поскольку Р(АВ) =- Р(А) Р(В). П Этот пример подтверждает с точки зрения классической вероятности интуитивный принцип «несвязности» результатов испытаний такого типа, как подбрасывание монеты, бросание игральной кости и т.д.

Однако на практике поступают обычно обратным образом. Пусть имеются два различных испытания, причем в первом из них с вероятностью Р(А) может произойти событие А, а во втором с вероятностью Р1В) событие В. Рассмотрим «обобщенный опыты результатами которого являются пары АВ = (А, В), АВ = (А, В), АВ = (А, В) и АВ = (А, В).

Если априори известно, что результаты испытаний не связаны между собой, то вполне естественно считать события А и В независимыми и положить Р(АВ) =- Р(А) Р1В), Р(АВ) = Р(А) Р(В) и т.д. В частности, в рассмотренном приме- 3. Независимосгпь собьитий ре, исходя из двух однократных подбрасываний монеты и независимости результатов подбрасываний, нужно положить для события А — выпадение «гербовь при обоих подбрасываниях вероятность Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 1/2. 1/2 = 1/4.

Пример !О. Известно, что вероятность двум близнецам быть одного пола примерно равна 0,64, причем вероятность рождения мальчика близка к 0,5!. Найдем вероятность того, что второй из близнецов — мальчик (событие В), при условии, что первый из иих — также мальчик (событие Л). Так как пары мальчик-девочка и девочка-мальчик равновероятны, то вероятность события Л вЂ” первый ребенок будет мальчиком, а второй — девочкой равна Р(АВ) = (! — 0,64)/2 = 0,36/2 = 0,18.

Поскольку из условия задачи Р(А) = 0,51, то Р(В ) А) = 0,18/0,51 = 6/17 и Р(В ( А) = 1 — Р(В ) А) = 11/17, т.е условная вероятность появления второго мальчика при условии появления первого мальчика существенно больше безусловной вероятности рождения мальчика Поэтому гипотезу о независимости событий А и В следует признать ошибочной. С точки зрения генетики это связано с рождением так называемых однояйцевых близнецов. О Определим теперь понятие независимости событий в совокупности. Назовем события .4, В и С независимыми (в совокупности), если Р(.4В) = Р(Л) Р(В), Р(АС) = Р(А) Р(С), Р(ВС) = Р(В) Р(С) и, кроме того, Р(АВС) = Р(А) Р(В) Р(С).

Аналогично определяется понятие независимости в совокупности и большего числа событий: вероятность пересечения любых двух различных событий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность пересечения любых трех событий равна произведению их вероятностей; ...; вероятность пересечения всех событий равна произведению вероятностей. Из независимости событий в совокупности вытекает их попарная независимость. Однако из по- парной независимости, вообще говоря, независимость в совокупности не следует, как показывает следующий простой пример (С. Н. Бернштейн).

П р и м е р 11. Три грани правильного тетраэдра раскрашены в синий, красный и зеленый цвета, а в раскраске четвертой грани присутствуют все эти цвета. Событие Л вЂ” тетраэдр упал на грань, в раскраске которой присутствует синий, событие  — красный и событие С вЂ” зеленый цвет. Поскольку каждый цвет присутствует в раскраске двух граней из четырех, то Р(А) = Р(В) = Р(С) = 1/2. Далее, два цвета присутствуют в раскраске одной грани Поэтому Р(АВ) = Р(ВС) = Р(АС) = 1/4, и события А, В и С попарно независимы. Однако все три цвета присутствуют в раскраске также только одной грани и, значит, Р(АВС) = 1/4 ф Р(Л) Р(В) Р(С) = 1/8. Таким образом, хотя события А,В и С попарно независимы, они зависимы в совокупности. О Заметим, что когда говорят о независимости событий А!,..., А„, то подразумевают именно независимость событий в совокупности в отличие от попарной независимости событий А!,..., А„.

В заключение этого параграфа приведем формулу для вероятности объединения независимых событий. Пусть А = А~ !з ... ГЗ А„. Тогда в соответствии с формулой де Моргана А = А! ... Ап. Если события А!,..., А„независимы, то события А!, ..., А„также независимы и, 46 lл. 3. Условная вероятность. Независимость сооытий значит, Р(А) = Р(А1)...

Р(Ан). Отсюда окончательно получаем для вероятности объединения независимых событий формулу Р(А) = 1 — 11 — Р(А1))... [! — Р(А„)). П р и м е р 12. Пусть некоторое техническое устройство состоит из и элементов. Назовем соединение этих элементов последовательнььм (рис. 2), если отказ любого элемента влечет за собой отказ всего устройства. Пусть А, Рис. 2 4 (4 =- 1,..., и) — событие, заключающееся в отказе ь-го элемента. Тогда событие А — отказ всего устройства может быть записано в виде А =- А~ Ст ..

О А„. Предполагая, что отказы отдельных элементов независимы, получаем для вероятности отказа всего устройства выражение Р(А) = 1 — )1 — Р(А1)) ... ~1 — Р(А„)). Наряду с последовательным соединением элементов применяется также параллельное соединение (рис. 3), прн котором отказ устройства происходит только при отказе всех элементов. Очевидно, что ! при параллельном соединении событие А — отказ всего устройства представляет собой пересечение событий А, (1 = 1, ,и) — отказов отдельных элементов, и в случае независимости отказов Р(А) =- Р(А>) Р(А„). Разумеется, надежность реальных технических устройств определяется более сложными структурными схемами, чем последовательное или паралРис.

Характеристики

Список файлов книги