решения (844043), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ñëó÷àé12122231kAk = sup kAxk = sup sup jt x(t)j 6 1:kxk61Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿkAk = sup kAxk = 1.x(t) kxk61 t2[0;1]1 íîðìà kAxk = sup jtj = 1, ñëåäîâàòåëüíî,t2[0;1]kxk6149.[]3] Îïðåäåëèòü îïåðàòîð A 1 è íîðìû îïåðàòîðîâ A è A 1, åñëè A : `2 ! `2,ãäå A(x1 ; : : : ; xn ; : : : ) = (0; x1 ; : : : ; xn ; : : : ).Î÷åâèäíî, óðàâíåíèå Ax = y , ãäå y = (0; y2 ; y3 ; : : : ) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = (y2 ; y3 ; : : : ), ñëåäîâàòåëüíî îïåðàòîð A îáðàòèì è ôàêòè÷åñêèÐåøåíèå.óæå îïðåäåëåí âûøå.kAk = sup kAxk = supkxk61A50.1 =kxk61sup Akyk611 y =vu 1uXtsupkyk61jxn 1 j2 = supn=1vu 1uXtn=2kxk61vu 1uXtn=0jxnj2 = sup kxk = 1;kxk61j(A 1 y)nj2 = sup kyk = 1:kyk61[]3] Îïðåäåëèòü ñïåêòð îïåðàòîðà A, äåéñòâóþùåãî â ïðîñòðàíñòâå `2 :x x xxn231A(x1 ; : : : ; xn ; : : : ) =1 ; 2 ; 3 ; :::; n ; ::: :27Ðåøåíèå.
Èùåì òàêèå, ÷òî óðàâíåíèåAx = x(1)èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ.  òàêîì ñëó÷àå èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé:8>>><x1 = x1 ;:::::::::xn= xn;>>>: n:::::::::1Î÷åâèäíî, ïîäõîäÿò òîëüêî âèäà ; k 2 N , äëÿ êîòîðûõ ðåøåíèåì (1) áóäåò,kíàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ), ãäå åäèíèöà ñòîèò íà k -îì ìåñòå, à âñå îñòàëüíûå íóëè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêòðîì îïåðàòîðà áóäóò ÷èñëàâèäà51.k = k1 ; k 2 N .[]3]  ïðîñòðàíñòâå C [0; 1] çàäàí îïåðàòîð A:(a) Ax(t) = t x(t);Rt(b) Ax(t) =x( )d ;0(c) Ax(t) = x(0) + tx(1).Áóäåò ëè îïåðàòîðA êîìïàêòíûì?Ðåøåíèå.
Êðèòåðèåì êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ëþáîåîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî îí ïåðåâîäèò â ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå è ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíîå.  äàëüíåéøåì âñå äåéñòâèÿ ñ ôóíêöèÿìè ïðîèñõîäÿò íàîòðåçêå[0; 1].= fx(t) : jx(t) 6 1jg îãðàíè÷åíî. Î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî Mtn . Îíè ñîäåðæàòñÿ â A(M ), à òàê êàê, ñîãëàñíîçàäà÷å 40, îáðàçóþò íå ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíîå ìíîæåñòâî, A(M ) íå(a) ÌíîæåñòâîMñîäåðæèò ôóíêöèè âèäàÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì.(b) Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâîm : 8x 2 M) jx(t)j 6 m.
Íî òîãäàZtMjAx(t)j 6 jx(t)j dt 6 mt 6 1;028 C [0; 1]. Ñóùåñòâóåòñëåäîâàòåëüíî,fAxg ïðè x 2 M ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî.Äîêàæåì åãî ðàâíîñòåïåííóþ íåïðåðûâíîñòü: çàôèêñèðóåì äëÿ ýòîãî ïðîèçâîëüíîå" > 0. Òîãäà ïðè t; t + 2 [0; 1]jAx(t) Ax(t + )j =Âçÿât+Zxt( )d 6t+Zjx( )j d 6 m:t(") = m" , ïîëó÷èì ðàâíîñòåïåííóþ íåïðåðûâíîñòü îáðàçà. Ñëåäîâà-òåëüíî,A ïåðåâîäèò ëþáîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â ïðåäêîìïàêòíîå, èîí êîìïàêòåí.(c) Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâîm : 8x 2 Mòî åñòüÒîãäàAMM C [0; 1].
Ñóùåñòâóåò) jx(t)j 6 m. Íî òîãäàjAx(t)j 6 jx(0)j + t jx(1)j 6 mt + m 6 2m; ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå8 x 2 M; 8 Æ : t; t + Æ 2 [0; 1]jAx(t + Æ) Ax(t)j = j(t + Æ)x(1) tx(1)j = jx(1)j Æ 6 mÆ:" > 0.Æ = m" , ïîëó÷èì îïðåäåëåíèå ðàâíîñòåïåííîé íåïðåðûâíîñòè äëÿ âñåõx 2 M . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî ïåðåâîäèòñÿîïåðàòîðîì A â ïðåäêîìïàêòíîå, ñëåäîâàòåëüíî, A êîìïàêòåí.Âçÿâ52.[]3]  ïðîñòðàíñòâå `2 çàäàí îïåðàòîð A: x xxA(x1 ; x2 ; : : : ; xn ; : : : ) = c; 1 ; 2 ; : : : ; n ; : : : :1 2nÄîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð A êîìïàêòåí è íàéòè åãî ñïåêòð.Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â`2 . Îíî ñîäåð-a, êîòîðûé ïåðåâîäèòñÿ ýòèì îïåðàòîðîì âA : x1 = c; jx2 j 6 a; jx3 j 6 a2 ; : : : ; jxn j 6 a nm1 : : : äëÿ ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè (x1 ; : : : ; xn ; : : : ) èç øàðà.
Èçâåñòíî, ÷òî ïîëó÷åííîå ìíîæå-æèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå ðàäèóñàïàðàëëåëåïèïåäñòâî âïîëíå îãðàíè÷åííî, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ïðåäêîìïàêòíî. Ñëåäîâàòåëüíî,A êîìïàêòåí.29Íàéäåì ñïåêòðA. Ñèñòåìà (1) â äàííîì ñëó÷àå ïðèìåò âèä8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:x1 = c;x2 = x1 ;x2x3 =2;:::::::::::xn 1xn =;n 1:::::::::::Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:(a)c= 0. Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî x1 = 0 = 0;x2= x1 = 0;: : :,òî åñòüðåøåíèåì áóäåò ëèøü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé.(b)c 6= 0.
Òîãäà 8 6= 0 ñóùåñòâóþò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1):3 4n2c; c; c; c; : : : ;c; : : : :2 3n 1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî ðåøåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ïðè53.c = 0 ñïåêòð ?, à ïðè c 6= 0 ñïåêòð R n f0g.[]3] Ïðèâåñòè ïðèìåðû ëèíåéíûõ, íî íå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ.Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî L2 [0; 1]. Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë f (x(t)) =x(1).
Î÷åâèäíî, îí ëèíåéíûé. Òåì íå ìåíåå, îí íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, òàêêàê åäèíè÷íîìó øàðó â L2 [0; 1] ïðèíàäëåæèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé(pn; t 2 1 n1 ; 1 ;xn (t) =0; èíà÷å.Ðåøåíèå.Î÷åâèäíî,Z10x2n (t)dt 6 18n;pn íå îãðàíè÷åí íà åäèíè÷íîì øàðå, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ôóíêöèîíàë f (xn ) =íå íåïðåðûâåí.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
