решения (844043), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè m ! 1, ïîëó÷èì, ÷òî8 n > N 8 t0 2 [0; 1] ) jxn(t0 ) x0 (t0)j 6 ";ãäåx0 (t) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî(xn ; x0 ) n!1! 0:19x0 (t) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå t è òàêîåÆ , ÷òî t + Æ 2 [0; 1]. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå " > 0. ÒîãäàÄîêàæåì, ÷òîjx0 (t + Æ) x0(t)j = jx0 (t + Æ) xn(t + Æ) + xn(t + Æ) xn(t) + xn(t) x0 (t))j6 jx0 (t + Æ) xn(t + Æ)j + jxn(t + Æ) xn(t)j + jxn(t) x0 (t)jn, ÷òî (xn ; x0 ) <"32" + jx (t + Æ) x (t)jn3 n"áåðåì Æ : jxn (t + Æ )xn (t)j < îíî ñóùåñòâóåò èç íåïðåðûâíîñòè xn (t)3áåðåì òàêîå< <":Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî, ÷òî8 " 9 Æ : jx0 (t) x0 (t + Æ)j < ";ñëåäîâàòåëüíî,x0 (t) íåïðåðûâíà.Ïîêàçàíî, ÷òî ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçòàêæå ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ñëåäîâàòåëüíî,35.C [0; 1] ñõîäèòñÿC [0; 1] ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.[]2] Áóäåò ëè ïîëíûì ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ íà ñåãìåíòå [0; 1], åñëè ìåòðèêàââîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (x; y ) = max jx(t)y (t)j.06t61Ðåøåíèå.
Äîêàæåì, ÷òî îíî íåïîëíî. Âîçüìåì ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòüfun(x)g1n=0 : un(x) =ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå[0; 1],n kPx .k!k=0Èçâåñòíî, ÷òî äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿñëåäîâàòåëüíî, ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóììôóíäàìåíòàëüíà.un ñõîäèòñÿ ê ex , êîòîðàÿ íå ïðåäñòàâèìà ìíîãî÷ëåíîì P (x).Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüex= P (x) =X̀k=0akxk=)1Xk=0bk xk = 0 =) 8 m > `1 = 0;m!÷òî íåâåðíî. Òàêèì îáðàçîì, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê ýëåìåíòó íå èç ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î åãî íåïîëíîòå.2036.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî `2 ñåïàðàáåëüíî.Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì â`2 âñþäó ïëîòíîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, òåì ñàìûì ïî îïðå-äåëåíèþ äîêàæåì åãî ñåïàðàáåëüíîñòü.ÏóñòüL ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, â êàæäîé èç êîòîðûõ âñå ÷ëå-íû ðàöèîíàëüíû, è ëèøü êîíå÷íîå (ñâîå äëÿ êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) ÷èñëî÷ëåíîâ îòëè÷íî îò íóëÿ.
Îíî ñ÷åòíîå, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñ÷åòíîå ÷èñëîìíîæåñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ó êîòîðûõ íå áîëåå, ÷åì êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðâûõ÷ëåíîâ ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, à âñå îñòàëüíûå íóëè. Ýòè ìíîæåñòâà ïðîñòîn-ÿ (äåêàðòîâà) ñòåïåíü ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå ñ÷åòíî, àñëåäîâàòåëüíî, è òàêèõ ìíîæåñòâ ñ÷åòíîå ÷èñëî. Ïîñêîëüêó îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ ñ÷åòíî,Lâñþäó ïëîòíîå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüçàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå1Xk=1" > 0:jxk j2 < +1 =) 9 N2N :Ln=1 2 `2 è ñ÷åòíîå.
Äîêàæåì, ÷òî1Xfxng12k=N +1jxk j2 < "2 :Òàê êàê ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âñþäó ïëîòíî íà âåùåñòâåííîé îñè,äëÿ êàæäîãîxk ; k = 1; Níàéäåòñÿ ñâîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëîqkòàêîå, ÷òîjxk qk j < p " ; k = 1; N:2NÐàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüfqng1n=1 2 L, ÷ëåíû êîòîðîé ïðè n > N + 1ðàâíû íóëþ. Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäóvu 1uXtk=1jxkqk j2 =vu NuXtk=1jxkÒàêèì îáðàçîì, çàìûêàíèå âñþäó ïëîòíîå è37.qk j2 +x è q ðàâíî1Xk=N +1jxk j2 <s2" 2p N + "22N= ":L ñîâïàäàåò ñî âñåì `2 , òî åñòü ïî îïðåäåëåíèþ, L`2 ñåïàðàáåëüíîå.[]3] Ïóñòü A êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X .
Äîêàçàòü,÷òî äëÿ ëþáîãî x 2 X íàéäåòñÿ òî÷êà y 2 A òàêàÿ, ÷òî (x; A) = kxy k.Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë f (y ) = kxy k. Èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îí íåïðåðûâåí. Î÷åâèäíî, f (y ) > 0. Òîãäà ó íåãî åñòüÐåøåíèå.òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü, ðàâíàÿm. Òîãäà, èç îïðåäåëåíèÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè,21f (xk ) ! m; xk 2 A. Òàê êàê A êîìïàêò, òî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xkn ! y 2 A. Èç íåïðåðûâíîñòèôóíêöèîíàëà ñëåäóåò, ÷òî f (xkn ) ! f (y ). Òàê êàê lim f (xkn ) = lim f (xk ), òîn!1n!1f (y ) = M . Òàêèì îáðàçîì,ñóùåñòâóåò óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü9 y : kx yk = zinfkx zk = (x; A)2A38.[]3] Åñëè íà ìåòðè÷åñêîì êîìïàêòå (Ax; Ay) < (x; y) äëÿ ëþáûõ x; y, ïðèíàäëåæàùèõ êîìïàêòó, òî îïåðàòîðAèìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó.Ñóùåñòâåííî ëè óñëîâèå êîìïàêòíîñòè?Ðåøåíèå. Óñëîâèå ñóùåñòâåííî. Ïðèâåäåì ïðèìåð: èíòåðâàëâèäíî, íå êîìïàêò.
ÎïåðàòîðAîïðåäåëèì òàê:Axìàþùèé è èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó39.=x0x.2(0; 1) R î÷å-Î÷åâèäíî, îí ñæè-= 0, íî âíå èíòåðâàëà(0; 1).[]3] Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [0; 1] ôóíêöèéR1x(t) òàêèõ, ÷òî jx(0)j 6 K1 ; jx0 (t)j2 dt 6 K2 , ãäå K1 ; K2 > 0 ïîñòîÿííûå,0êîìïàêòíî â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1].Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå Àðöåëà íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì åãî êîì-ïàêòíîñòè ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü è ðàâíîñòåïåííàÿ íåïðåðûâíîñòü.
Ïåðâîå ïîêàçàòü äîñòàòî÷íî ïðîñòî:xjx(t)j = (0) +Zt0x0 (t)dtZ16 jx(0)j + jx0(t)j dt06 K1 +Z1 0x01(t)2 dt + Z 1 dt 6 K + K2 + 1 :1 22220Ðàâíîñòåïåííóþ íåïðåðûâíîñòü ëåãêî óñòàíîâèòü ïðè ïîìîùè èíòåãðàëüíîãî22íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà:jx(t1 ) x(t2 )j =Zt2 x0t1dtZt2(t) 6 jx0 (t)j dt 6t160 t 1 12 0 tZ2Z2@ dtA @0 t 11 0 12Z2Z@ dtA @0t1t11 21jx0 (t)j2 dtAt11 12ppjx0 (t)j2 dtA 6 jt2 t1 j K2:" > 0 äîñòàòî÷íî âçÿòü Æ < K" , ÷òîáû äëÿ ëþáîéôóíêöèè èç äàííîãî ìíîæåñòâà è äëÿ ëþáûõ t1 ; t2 îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íàðàññòîÿíèè, ìåíüøåì ÷åì Æ , ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçàìè t1 è t2 áóäåò ìåíüøå,÷åì ".2Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî40.2[]3] Áóäåò ëè êîìïàêòîì ìíîæåñòâî âñåõ ñòåïåíåé xn; n = 1; 2; : : : â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1]?Ðåøåíèå. Íå áóäåò â ñèëó ñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé: âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ïî-fxmk g1m=1ñëåäîâàòåëüíîñòüèç ýòîãî ìíîæåñòâà.
Åñëè ýòî êîìïàêò, òî èç íååìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüsup jxmk`x2[0;1]îäíàêîsup jx2[0;1]41.xmk`xn0 mk`j > 12xn0xmk`P n!x , òî åñòü0j `!1! 0; n0 n0 `!112! 216= 0:[]3] Äîêàçàòü, ÷òî íå âñÿêîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå âïîëíå îãðàíè÷åíî.Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîãäà åäèíè÷íàÿ ñôåðà`2 ñ ìåòðèêîé (x; y ) =s1P(xkk=1S , à èìåííî, âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäàe1 = (1; 0; : : : ; 0; : : : ); e2 = (0; 1; : : : ; 0; : : : ); : : :23yk )2 . Òî-pp(en ; em ) = 2 8 n 6= m. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè " < 22 åãîíåëüçÿ ïîêðûòü êîíå÷íîé "-ñåòüþ (òàê êàê êàæäûé åå ýëåìåíò áóäåò áëèçîêòîëüêî ê îäíîìó ýëåìåíòó èç S .ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îãðàíè÷åííîå, íî íå âïîëíå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî.
Ýòîñëåäóåò èç òîãî, ÷òî42.[]3] Äîêàçàòü, ÷òî â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âñÿêîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî.Ðåøåíèå. ÏóñòüM Rn îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëü-[M ]. Òîãäà ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà (âåðíîé äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ) èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ýòà ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó èç [M ],òàê êàê [M ] çàìêíóòî. Ñëåäîâàòåëüíî, [M ] êîìïàêò, à M îòíîñèòåëüíîíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âêîìïàêòíî.43.[]3; ]2] Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèîíàëû â ïðîñòðàíñòâå C [ 1; 1] ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè è íåïðåðûâíûìè è íàéòè èõ íîðìû:(a)(b)(c)f (x) = 13 [x( 1) + x(1)];R0R1f (x) = x(t)dtx(t)dt;10R1f (x) = tx(t)dt.1Ðåøåíèå.
Î÷åâèäíî, ÷òî âñå ôóíêöèîíàëû ëèíåéíû. Ýòî ñëåäóåò èç ëèíåéíîñòèèíòåãðàëû è ñóììû. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ íåïðåðûâíîñòè ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëíåïðåðûâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî çíà÷åíèÿ íà åäèíè÷íîé ñôåðå îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè. Òàê êàêkf k = sup jf (x)j, áóäåì èñêàòü ýòó òî÷íóþkxk61âåðõíþþ ãðàíü èç åå ñóùåñòâîâàíèÿ áóäåò ñëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü.(a)(b)jf (x)j = 13 jx( 1) + x(1)j 6 13 jx( 1)j + 31 jx(1)j 6 23 ; 8 x 2 S .
Êðîìå òîãî,2ïðè x(t) = jtj ýòà âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, kf k = .3R0R1jf (x)j 6 jx(t)j dt + jx(t)j dt 6 2; 8 x 2 S . Êðîìå òîãî, ïðè x(t) = sgn t10ýòà âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, kf k = 2.24(c)44.R1R1jf (x)j 6 jtj jx(t)j dt 6 jtj dt = 1; 8 x 2 S . Êðîìå òîãî, ïðè x(t) = 1 ýòà11âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, kf k = 1.[]3] Ïóñòü X ìíîæåñòâî ôóíêöèé f (x), îïðåäåëåííûõ íà âñåé âåùåñòâåííîéïðÿìîé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ðàâíà íóëþ âíå íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî èíòåðâàëà.Ââåäåì íîðìó, ïîëàãàÿ kf k = max jf (x)j. Áóäåò ëè ïðîñòðàíñòâî áàíàõîâûì?xÐåøåíèå.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüäåëåííóþ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó:fn (x) =Òîãäàe x ; x 2 [0; n];0; x 2= [0; n]:kfm fnk = maxjfm (x) fn(x)j = max(e m; e n)xm;nòî æå âðåìÿ, ÷òîfn ! fÒàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî45.(Xffn(x)g1n=1, îïðå-(= e0;x;! 0. Î÷åâèäíî âm;n!1x > 0;2= X:x<0íåïîëíî, à, ñëåäîâàòåëüíî, è íå áàíàõîâî.[]3] ßâëÿåòñÿ ëè ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõíà îòðåçêå[0; 1] ôóíêöèé ãèëü-áåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:1(f; g) = R f (x) g(x)dx?0Ðåøåíèå. Ïðîñòðàíñòâî, î÷åâèäíî, ëèíåéíîå.
Äëÿ ãèëüáåðòîâîñòè íåîáõîäèìîïðîâåðèòü àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:(a)(f; g) = (g; f ) î÷åâèäíî;(b) ëèíåéíîñòü âûòåêàåò èç ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà Ðèìàíà;(c)(f; f ) > 0 âûòåêàåò èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ðèìàíà, ÷òî èíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè íåîòðèöàòåëåí.(d)1(f; f ) = 0 , R f 2(x)dx = 0 , f 2(x) 0 , f (x) 0; òàê êàê f (x) 2 C [0; 1].02546.[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnñëàáî ñõîäèòñÿ ê x è kxn k ! kxk (x ! 1), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿñèëüíî.Ðåøåíèå.kxn xk2 = (xn x; xn x) = (xn; xn x) (x; xn x)= (xn x; xn ) (xn x; x) = (xn ; xn) (x; xn) (xn; x) + (x; x)= (xn ; xn) (xn ; x) (x; xn) + (x; x):Âîçüìåì f1 (y ) = (x; y ); f2 (y ) = (y; x).
Îíè, î÷åâèäíî, ëèíåéíû è íåïðåðûâíû.Òîãäà èç ñëàáîé ñõîäèìîñòè xn ê x ñëåäóåò, ÷òî f1 (xn ) ! f1 (x); f2 (xn ) ! f2 (x).88< kxn k ! kxk ;< (xn ; xn ) ! (x; x);f1 (xn ) ! f1 (x); ()(x; xn ) ! (x; x);::f2 (xn ) ! f2 (x)(xn ; x) ! (x; x)2=) kxn xk = (xn; xn ) (xn ; x) (x; xn ) + (x; x) n!1! 0;÷òî è îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ïî íîðìå, òî åñòü ñèëüíóþ ñõîäèìîñòü.47.[]3] Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë â ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâåHäîñòèãàåò íîðìû íà çàìêíóòîì åäèíè÷íîì øàðå.kf k = sup jf (x)j = M .
Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåékxk61ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fxk g, ÷òî f (xk ) % M . Òàê êàêÐåøåíèå. Ïóñòüãðàíè,xkm ,x0 åäèíè÷íîãî øàðà. Î÷åâèäíî, jf (x0 )j > jf (xkm )j, àåäèíè÷íûé øàð êîìïàêò, ñóùåñòâóåò ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüêîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê òî÷êåòàê êàê ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí, òîjf (x0 )j = mlimjf (xkm )j = klimjf (xk )j = M:!1!1Ñëåäîâàòåëüíî,48.jf (x0)j = kf k.[]3; ]2; ]1; ]4] Íàéòè íîðìó îïåðàòîðà A, äåéñòâóþùåãî â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1](èëè â ïðîñòðàíñòâå L2 [0; 1]): Ax = t x(t).26L2 [0; 1]. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî kxk 6 1 èìååì0 110 11ZZkAk = sup kAxk = sup @ t2x2 (t)dtA 6 @ x2 (t)dtA = kxk 6 1:kxk61kxk6100(p1 ; 1 1Æ 6 t 6 1; 0 < Æ < 1;ÆËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ x(t) =íîðìà10;06t<1Æssr qR1 1R1 t111tkxk == 1 Æ + Æ3Æ dt = Æ Æ = 1, à íîðìà kAxk =Æ dt =Æ 3 11 Æ1 ÆÆâûáîðîì äîñòàòî÷íî ìàëîãî Æ ìîæåò áûòü ñäåëàíà êàê óãîäíî áëèçêîé ê 1.Òàêèì îáðàçîì, kAk = 1.Ñëó÷àé C [0; 1].Ðåøåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
