решения (844043), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Áóäåò ëè ýòà ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïîÐèìàíó?Ðåøåíèå. Ýòî ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíèöå â êàæäîé àëãåáðàè÷åñêîé òî÷êå îò-ðåçêà[a; b], è ðàâíàÿ íóëþ â êàæäîé òðàíñöåíäåíòíîé òî÷êå ýòîãî æå îòðåçêà.Îíà íå áóäåò èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, òàê êàê íèæíèå ñóììû Äàðáó áóäóò ðàâíû íóëþ, à âåðõíèå åäèíèöå, íî áóäåò èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó, òàê êàê ÷èñëîàëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ìåðà ðàâíà íóëþ, è ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé è èçìåðèìîé.20.[]1] Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè, èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó íà [0; 1], íî íåîãðàíè÷åííîé íà ëþáîì îòðåçêå [; ] [0; 1].Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ðèìàíà:f (x) =(n; x = mn 2 Q ; (m; n) = 1;1; x 2 R n Q :12Îíà ýêâèâàëåíòíà òîæäåñòâåííîìó íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, îíà èíòåãðèðóåìà ïîËåáåãó, è èíòåãðàë îò íåå ðàâåí íóëþ.
 òî æå âðåìÿ îíà íåîãðàíè÷åíà, òàêêàê ñðåäè ÷èñåë ëþáîãî îòðåçêà[; ] [0; 1] ñóùåñòâóþò íåñîêðàòèìûå äðîáèñî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì çíàìåíàòåëåì.21.[]2] Ïðè êàêèõ è [0; 1]?ôóíêöèÿf (x)= x sin(x ) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íàÐåøåíèå. Çàìåòèì äëÿ íà÷àëà, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ âñþäó íåîòðè-öàòåëüíà. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé:Z10xsin( )dx =xZ+1 +211t sin 1tdtÎòäåëüíî ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:(a) 6>0.  ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë Ëåáåãà îòf (x) íà [0 ;1] ñóùåñòâóåò1, òàê êàê ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ 1t +2 sin 1t 6 1t +2 èZ+1 +2 t11ïðè dtt sin 1ñõîäèòñÿ (êàê íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà), à, êàê èçâåñòíî, èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà Ëåáåãà. Îáðàòíî, ïðè61 èíòåãðàëàáñîëþòíî ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë Ëåáåãà íåñóùåñòâóåò.(b) > 0.
 ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë Ëåáåãà îò f (x) íà [0; 1] ñóùåñòâóåò ïðè > 1 èíå ñóùåñòâóåò ïðè 6 1, òàê êàê ïî ïðèçíàêó ñðàâ++2+221íåíèÿ6 1t sin 1t 6 1t ++2. Òàêèì îáðàçîì, ïðèt > 1 íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, ÷òî âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà, à ïðè 6 1 íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà àáñîëþòíî ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë Ëåáåãà íå ñóùåñòâóåò.1322.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f (x) > 0 íà ìíîæåñòâå E èRC > 0, òî ôóíêöèÿ óäîâëå1òâîðÿåò íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà: jE [f (x) > C ]j 6C f (x)dx.EÐåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî,Zf (x)(dx) =EZE [f (x)>C ]Zf (x)(dx) +E nE [f (x)>C ]Z>23.f (x)(dx)E [f (x)>C ]f (x)(dx) > C jE [f (x) > C ]j :[]1] Ñóùåñòâóåò ëè èíòåãðàë Ëåáåãà îò f (x) = pxp11Ðåøåíèå.
Ôóíêöèÿf (x)xíà[0; 1]?íåîòðèöàòåëüíà è íåïðåðûâíà íà âñåé ñâîåé îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî íàëè÷èÿ ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëàÐèìàíà:Z10Z112dtpxp1 x = p1 t2 = 2 arcsin t0 = :0dxÒàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë Ëåáåãà ñóùåñòâóåò è ðàâåí24..[]1] Áóäåò ëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà [0; +1), åñëèf (x) =(1x ;0;Ðåøåíèå.
Åñëè ñóùåñòâóåò èíòåãðàë îòZ+10f (x)dx =Zx2[0;+1)\{Qx 2 R n Q;x2Q?f (x), òîZ1 dx +xx2[0;+1)\Q0 dx =Z+101 dx;xòàê êàê äîáàâëåíèå èíòåãðàëà ïî ìíîæåñòâó ìåðû íîëü íå ìåíÿåò ôàêòà åãî ñóùåñòâîâàíèÿ, à òàêæå åãî çíà÷åíèÿ. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà è íåïðåðûâíà, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîáõîäèìî è14äîñòàòî÷íî íàëè÷èÿ ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëàÐèìàíà.
Îäíàêî, èçâåñòíî, ÷òî èíòåãðàë Ðèìàíà îò ýòîé ôóíêöèè ðàñõîäèòñÿïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõêàêèõ25.., ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë Ëåáåãà íå ñóùåñòâóåò íè ïðè[]2] Ïðè êàêèõ è ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Ëåáåãà íà [0; +1) îò ôóíêöèèf (x) = x ln x?Ðåøåíèå. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, èíòåãðàë Ëåáåãà ñó-ùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà ñõîäèòñÿàáñîëþòíî:+1Z x0ln x dx = I < +1:Ïîëüçóÿñü íåîòðèöàòåëüíîñòüþ ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ, à òàêæå, âûïîëíÿÿ çàìåíó ïåðåìåííîéI=Z10=x = 1t , èìååì:x x dxln+1Z1+ln x(x + xZ+1x1ln x dx2 )dx ==+1Z1Z+11t2 ln t dt +ln x x dx +Z+11Z+11ln x xx ln x dx2 dx = I1 + I2 :Òàê êàê âñå ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû è íåîòðèöàòåëüíû, äëÿîïðîâåðæåíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿèíòåãðàëîâIäîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ðàñõîäèìîñòü îäíîãî èçI1 ; I2 , à äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîá-õîäèìî è äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü îáîèõ èíòåãðàëîâ.
Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü äâà ñëó÷àÿ:(a)(b) < 0.  ýòîì ñëó÷àå ïðè < 1 ðàñõîäèòñÿ I2 , ïðè > 1 ðàñõîäèòñÿI1 .  ñëó÷àå æå = 1 îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà <1. > 0.  ýòîì ñëó÷àå ïðè < 1 ðàñõîäèòñÿ I2 , ïðè > 1 ðàñõîäèòñÿ I1 ,à ïðè =1 ðàñõîäÿòñÿ îáà ýòè èíòåãðàëà.Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë Ëåáåãà ñóùåñòâóåò ïðèæå ñëó÷àÿõ èíòåãðàë Ëåáåãà íå ñóùåñòâóåò.15=1; < 1, â îñòàëüíûõ26.[]1] Ñóùåñòâóåò ëè èíòåãðàë Ëåáåãà íà [2; +1) îò ôóíêöèè f (x) = x ln1 x ?2Ðåøåíèå. Òàê êàê ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíà è íåïðåðûâíà íà âñåé îáëàñòè îïðå-äåëåíèÿ, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà:+1Z2dxx ln2 x=Z12d(ln x)ln2 x+11= ln x 2 = ln2;ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë Ëåáåãà ñóùåñòâóåò è ðàâåí27.ln2.[]1] Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñõîäÿùåéñÿ ïî ìåðå íà èçìåðèìîìE , íî íå ñõîäÿùåéñÿ íè â îäíîé òî÷êå ìíîæåñòâà E ?Ðåøåíèå.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèéâàëå[0; 1):h(ffn(x)g1n=1 íà ïîëóèíòåðb nc2b nc ;x 2 n1+2blog nc ; 1+1+n blognc1;fn (x) =0;log 22log 22èíà÷å.Îíà ïî ìåðå ñõîäèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê ìåðà ìíîæåñòâà, ãäåíóëÿ11+blog2 ncñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðènfn (x)òåëüíîñòü íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå, òàê êàê äëÿ ëþáîãîïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòèfnk (x)èfn` (x),îòëè÷íà îò! 1.  òî æå âðåìÿ ýòà ïîñëåäîâàxíàéäóòñÿ äâåîäíà èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç åäèíèö, àâòîðàÿ èç íóëåé.28.[]2] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè( ïî÷òè âñþäó íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì.n; 0 < x < n1 ;Ðàññìîòðåòü ïðèìåð: fn (x) =0; èíà÷å.Ðåøåíèå.
Ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó î÷åâèäíà: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, íàêîòîðîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ êî âñåé ïðÿìîé. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî òî÷åê, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ( 1; 0] [ n1 ; +1 ìîíîòîííî çàïîëíÿåò âñþïðÿìóþ, çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ìåðû íîëü (îäíîé òî÷êè). Ïî îïðåäåëåíèþýòî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó.16 òî æå âðåìÿ ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì íåò:Z1(f (x)fn (x))2 dx =R29.Zn0f 2 (x)dx =1 n2 = n ! +1:n[]2] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó.kkÏðèìåð: äëÿ ëþáîãî n = 2 + m, ãäå 0 6 m < 2 îïðåäåëèìfn (x) =(1;0;6 x 6 m2+1k ;m+1mx 2= 2k ; 2k :m2kÐåøåíèå.
Î÷åâèäíî, ÷òî çäåñü ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó íå èìååò ìåñòà, òàêêàêfn (x)[0; 1], òî åñòü íà ìíîæåñòâåíå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå îòðåçêàïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Îäíàêî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ê íóëþ,òàê êàêZR30.m+1fn2 (x)dx =Z2km2k1 dx = 21k = blog1 nc2! 0:n!1[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ïî ìåðå íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó.Ðàññìîòðåòü ïðèìåð çàäà÷è 29.Ðåøåíèå. Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå ê íóëþ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî8 0 < Æ < 1 =) fx : jfn(x) > Æjg = 21k 6 n2! 0:n!1= 2k + bx0 2k c, ãäå x0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà [0; 1]; k 2 N .
Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî 8k ) fnk (x0 ) = 1, àfnk +1 (x0 ) = 0. Òàê êàê nk áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à x0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà [0; 1], ïîëó÷àåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) íå ñõîäèòñÿ íè âîäíîé òî÷êå èç [0; 1], è, î÷åâèäíî, íå ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó.Òåïåðü îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü17nk31.[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòèkÏðèìåð: ïðè n = 2 + mfn (x) =(ïî ìåðå íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì.2k ;0;6 x 6 m2+1k ;mm+1x 2= 2k ; 2k :m2kÐåøåíèå. Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå ê íóëþ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî8 0 < Æ < 1 =) fx : jfn(x) > Æjg = 21k 6 n2! 0:n!1Òåì íå ìåíåå,Zm+1jfn(x)j2 =RZ2k22k dx = 21k 22k = 2k = 2blog nc2mk! +1;n!12òî åñòü ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì íåò.32.[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ìåðà ìíîæåñòâà E áåñêîíå÷íà, òî( èç ñõîäèìîñòè ïî÷òè1; n 6 x 6 n + 1;âñþäó íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî ìåðå.
Ïðèìåð: fn (x) =0; èíà÷å.Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî8 x0 2 R ) 9 N 2 N : fn(x0 ) = 0; 8n > N;òî åñòü;lim jfn(x0 )j = 0;n!1èíûìè ñëîâàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, íà êîòîðûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèé îñòàåòñÿ íóëåì, ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è ïîêðûâàåò âñþ ïðÿìóþ. Òåìíå ìåíåå,8 0 < Æ < 1 ) nlimfx : jfn (x)j > Æ g = nlimf[n; n + 1]g = 1 6= 0;!1!1ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèìîñòè ïî ìåðå íåò.33.[]3] Ïîêàçàòü,( ÷òî èç ñõîäèìîñòèâ L1 [0; 1] íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè â L2 [0; 1].
Ïðè1 1 n ; x 2 n; n 1 ;ìåð: f (x) =0; x 2= 1 ; 1 :32n n118Ðåøåíèå. Ñõîäèìîñòü âL1 [0; 1]ê íóëþ ïî îïðåäåëåíèþ ïðèñóòñòâóåò ïî ïðè-÷èíå ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà ËåáåãàZ10Ñõîäèìîñòè âáåñêîíå÷åí:jfn(x)j dx =11n32dx = n ( n3211n) =11nL2 [0; 1]Z1034.Znpnn1! 0:n!1íåò ïî ïðè÷èíå òîãî, ÷òî ñëåäóþùèé èíòåãðàë Ëåáåãàjfn(x)j dx =Zn11n3 dx =1nn3n(n1)! +1:n!1[]3] Äîêàçàòü ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C [0; 1].Ìåòðèêà â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1] îïðåäåëÿåòñÿ êàê(x(t); y (t)) = max jx(t) y (t)j :t2[0;1]Ðåøåíèå.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü(xm ; xn )! 0:fxn (t)g1n=0,m;n!1Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî8 " > 0 9 N 2 N : 8 m; n > N; 8 t0 2 [0; 1] ) jxm (t0 ) xn (t0)j < ":Èç ýòîãî ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòèxn (t0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
