Лекция (843336), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Лекции 5-6. 2 x2D ≈ exp  − ∫ 2m (U − E )dx  ℏx1где интеграл берётся по интервалу (x1, x2), на котором выполняется неравенство U>E.Определение. Туннельный эффект или туннелирование - это явление преодоления микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект - явление исключительноквантовой природы, невозможное в классической механике.Замечание. В классической механике энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий E = EK + U . В случае если E < U формально получаем, что EK < 0 .Следовательно, в квантовой механике нельзя определить энергию частицы как сумму потенциальной и кинетической. Это выражение справедливо только для средних значений.Квантовый гармонический осциллятор.Квантовый гармонический осциллятор – это квантовый аналог классической задачи ободномерных колебаниях материальной частицы под действием квазиупругой силы вблизи положения равновесия.

В этом случае потенциальную энергию можно выразить через смещениеkkx 2от положения равновесия в виде U =. Круговая частота колебаний частицы равна ω =,2mmω2 x 2поэтому выражение для энергии примет вид U =.2Квантовый гармонический осциллятор – это одномерная модель колебаний микрочастиц.Эти колебания могут быть вызваны тепловыми движениями или колебаниями под действиемвнешних электромагнитных волн.

В классической механике при колебаниях механическая энергия сохраняется, поэтому в квантовой механике эту задачу рассматриваем как стационарную.Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния), описывающее квантовый гармонический осцилляторd 2 ψ 2m mω2 x 2 +E−⋅ψ = 0.Udx 2 ℏ 2 2 Оказывается, что данное уравнение имеет непрерывные решениятолько в случае, если энергия частицы выражается в виде1E =  n +  ⋅ ℏω .2Следовательно, уровни энергии отстоят от друга на одинаковуювеличину ℏω , поэтому энергия осциллятора может изменяться0xтолько порциями, кратными ℏω .

Число n определяет уровниэнергии, поэтому называется главным квантовым числом.Для квантового осциллятора существует правило отбора – энергии меняется так, чтобы главное квантовое число изменялось на единицу ∆n = ±1 .ℏωСуществует минимальное значение энергии E =. Меньше этого значения энергия ос2циллятора принимать не может.Таким образом, можно сказать, что модель квантового гармонического осциллятора непротиворечит гипотезе Планка о дискретности уровней энергии системы и о существованииквантов.Наличие минимального значения энергии колебаний системы говорит о том, что всюэнергию у системы «отобрать» невозможно.

Что в свою очередь, не противоречит теоремеНернста о недостижимости абсолютного нуля температур (как состояния с нулевой энергиейколебаний).9Семестр 4. Лекции 5-6.Сканирующий туннельный микроскопРассматривать отдельные атомы можно с помощью устройства, использующего квантовый эффекттуннелирования – сканирующий туннельный микроскоп (СТМ). Точнее, сканирующий туннельный микроскоп не рассматривает, а как бы «ощупывает» исследуемую поверхность.

Очень тонкая игла-зонд сострием толщиной в один атом перемещается над поверхностью объекта на расстоянии порядка одногонанометра. При этом согласно законам квантовой механики, электроны преодолевают вакуумный барьермежду объектом и иглой – туннелируют, и между зондом и образцом начинает течь ток. Сила этого токаочень сильно зависит от расстояния между концом иглы и поверхностью образца – при изменении зазора на десятые доли нанометра сила тока может возрасти или уменьшиться на порядок.Так что, перемещая зонд вдоль поверхности с помощью пьезоэлементов и отслеживая изменение силы тока, можно исследовать ее рельеф практически «на ощупь».Создание СТМ стало значительным шагом в освоении наномира.

В 1986 году сотрудникам Исследовательского центра компании IBM в Цюрихе Герду Биннигу и Генриху Рореру заэто достижение была присуждена Нобелевская премия.СТМ позволяет увидеть детали поверхности с разрешением в сотые и даже тысячные доли нанометра (соответствует увеличению порядка 100 миллионов раз). На самом деле, это графическое изображение того, как меняется зазор между зондом и поверхностью для поддержания постоянного значения тока.

Взаимодействие зонда СТМ с электронными оболочками атомов дает возможность изучить самые мельчайшие подробности, доступные на сегодняшнийдень.10Семестр 4. Лекции 7-8.Лекции 7 - 8. Представление физических величин операторами.Операторы координаты, импульса, момента импульса, потенциальной и кинетическойэнергии. Гамильтониан квантовой системы как оператор полной энергии. Основные постулаты квантовой механики. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике. Вычисление средних значений физических величин в квантовых системах.Как уже было сказано процесс измерения любого параметра, характеризующего состояние системы, изменяет это состояние.

Следовательно, меняется и волновая функция. Поэтомулюбому измерению какой-либо физической величины А в квантовой механике соответствуетоператор, обозначаемый как  , переводящий волновую функцию состояния до измерения Ψ вɶ . Принцип суперпозиции соɶ , т.е.  ( Ψ ) = Ψволновую функцию состояния после измерения Ψˆ (c Ψ + c Ψ ) = c Aˆˆстояний требует, чтобы этот оператор был линейным A1 1221 Ψ1 + c2 AΨ 2 .В квантовой механике любое значение измеряемой физической величины должно являться собственным значением оператора данной физической величины, т.е. если при измерении получается значение А, то существует такая волновая функция Ψ′, что выполняется соотношение  ( Ψ ′ ) = A ⋅ Ψ′ .

Эта функция называется собственной функцией данного оператора.Так как измеряемые величины должны быть вещественными, то и все собственные значенияданного оператора, соответствующего этой физической величине, должны быть вещественными. Это означает, что оператор должен быть эрмитовым (или комплексно самосопряжённым.)Это следует понимать следующим образом. Паре любых комплексно-значных функций uи v, заданных в одной области V можно сопоставить скалярное произведение по следующемуправилу ( u,v ) = ∫ v* ⋅ u ⋅ dV (при условии, что данный интеграл существует).VАксиомы скалярного произведения выполняются( u,u ) = ∫ u* ⋅ u ⋅ dV = ∫ uV2⋅ dV ≥ 0 . Если ( u,u ) = ∫ u ⋅ dV = 0 , то u ≡ 0 .2VVВ комплексном случае условие симметричности скалярного произведения принимает вид( u,v ) = ∫ v* ⋅ u ⋅ dV = ∫ ( u* ⋅ v )*V⋅ dV = ( v,u ) .*VДля любого числа λ справедливо ( λu,v ) = λ ( u,v ) и ( u,λv ) = λ* ( u,v ) .Линейность по аргументам очевидна.Оператор B̂ называется сопряжённым к оператору Â (относительно скалярного произˆ ( u ) ,v = u,Bˆ ( v ) .

Сопряведения) если для любых функций u и v выполняется равенство A() ()ˆ * . Оператор называется самосопряжённым (или эрмитоженный оператор обозначается B̂ = Aˆ =Aˆ*.вым) если он совпадает со своим сопряжённым A1. Все собственные числа самосопряжённого оператора являются вещественными.Пусть u – собственная функция самосопряжённого оператора Â . Тогда существует ненулевоечисло A, такое, что выполняется равенство Â ( u ) = A ⋅ u . Поэтому Â ( u ) ,u = A ⋅ ( u,u ) .

Но()( Aˆ ( u ) ,u ) = ( u, Aˆ ( u ) ) = ( u, Aˆ ( u ) ) = ( u, A ⋅ u ) = A ⋅ ( u,u ) . Следовательно, A = A***- собственное зна-чение является вещественным.2. Собственные функции самосопряжённого оператора, отвечающие разным собственным значениям взаимно ортогональны ( u,v ) = 0 .()Пусть Â ( u ) = A1 ⋅ u и Â ( v ) = A2 ⋅ v . Тогда Â ( u ) ,v = A1 ⋅ ( u,v ) и( Aˆ ( u ) ,v ) = ( u, Aˆ ( v ) ) = ( u, Aˆ ( v ) ) = ( u, A ⋅ v ) = A*2*2⋅ ( u,v ) = A2 ⋅ ( u,v )1Семестр 4. Лекции 7-8.Но т.к. A1 ≠ A2 , то равенство A1 ⋅ ( u,v ) = A2 ⋅ ( u,v ) выполняется при ( u,v ) = 0 .Все собственные значения данного оператора образуют множество, которое называетсяспектр оператора.

Если это множество является отрезком прямой (т.е. образуют континуум), тоговорят, что у оператора непрерывный спектр. Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре оператора.При измерениях конкретные значения физической величины получаются с некоторойвероятностью. Поэтому можно определить среднее значение физической величины, получаемоепри измерениях в данном состоянии.Для оператора с дискретным спектром среднее значение соответствующей физическойвеличины определяется соотношением A = ∑ pn An , где pn = p ( An ) - вероятность полученияnзначения An .В большинстве случаев собственные функции самосопряжённого оператора образуютполную систему функций.

Это значит, что любую функцию можно представить в виде суммыΨ = ∑ cn Ψ n , где Ψ n - все собственные функции, образующие полную систему. (Предполагаетnся, что этот ряд сходится равномерно.) Для поиска коэффициентов разложения следует использовать свойство ортогональности функций. Умножим левую и правую части на Ψ n( Ψ , Ψ n ) = cn ( Ψ n , Ψ n ) , cn =( Ψ ,Ψ n ) .( Ψ n ,Ψ n )Пусть полная система функций ортонормированна, т.е.( Ψ n , Ψ m ) = 1 при n = m и ( Ψ n , Ψ m ) = 0 при n ≠ m .Это условие записывают в виде ( Ψ n , Ψ m ) = δnm , где символ Кронекера определяют как функцию от двух натуральных чисел1, n = mδ ( n,m ) = δnm = .0 , n ≠ mПри выполнении этих условий получаем, что cn = ( Ψ , Ψ n ) .Будем предполагать, что для функции Ψ выполняется условие нормировки2dV = 1 ,Vкоторое можно переписать в виде ( Ψ , Ψ ) = 1 .

Тогда∫Ψ( Ψ , Ψ ) =  ∑ cn Ψ n , ∑ cm Ψ m  = ∑ cn ( cm ) ( Ψ n , Ψ m ) = ∑ cn= 1.mn n mЕсли функцию, нормированную на единицу, разложить в ряд по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора физической величины, токвадраты модулей коэффициентов разложения дадут вероятности получения собственныхзначений, соответствующих данным собственным функциям. Т.е.

если ( Ψ , Ψ ) = 1 и( Ψ n , Ψ m ) = δnm , то*2pn = p ( An ) = cn , где cn = ( Ψ , Ψ n ) при выполнении Â ( Ψ n ) = An ⋅ Ψ n . В этомслучае среднее значение можно определить равенством2*ˆ ( Ψ ) ,Ψ .A = ∑ pn An = ∑ cn An = ∑ cn ( cm ) ( Ψ n , Ψ m ) An =  ∑ An cn Ψ n , ∑ cm Ψ m  = Annmm nЕсли оператор имеет непрерывный спектр, то среднее значение соответствующей физической величины определяется аналогично2(()ˆ ( Ψ ) , Ψ = Ψ* AA = A∫ ˆ ( Ψ ) dV .V2)Семестр 4. Лекции 7-8.Следовательно, если функция Ψ, описывающая состояние системы является собственной дляɶ = A⋅ Ψ ,данного оператора Â , то при измерении мы получаем пропорциональную функцию Ψɶ 2 dV = A ⋅ Ψ 2 dV = A2 . Т.е. можно счикоторая «теряет условие нормировки на единицу» Ψ∫∫VVтать, что состояние системы не меняется.

Очевидно, что вероятность получения результата Апри измерениях в этой ситуации равна 1. И среднее значение совпадает с результатом <A>=A.Если в каком-то состоянии, определяемом функцией Ψ надо измерить одновременно двефизические величины А и В, то согласно общим правилам измерений надо подействовать соответствующими операторами Â и B̂ на пси-функцию данного состояния. Если эта функция является собственной одновременно для обоих операторов, то состояние системы не изменится ивероятность получения обоих результатов равна единице.

Говорят, что в этом случае две величины одновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью. В этом случае результаˆ Bˆ ( Ψ ) = Bˆ (Ψ) .ˆ Aты измерений не зависят от порядка их проведения, т.к. A()()В общем случае каждое измерение меняет состояние системы, поэтому результаты будутˆ Bˆ ( Ψ ) ≠ Bˆ Aˆ (Ψ) .зависеть от порядка измерений A()()ˆ ˆ  , определяемый соКоммутатором двух операторов Â и B̂ называется оператор  A,Bˆ ˆ  (Ψ) = Aˆ Bˆ ( Ψ ) − Bˆ Aˆ (Ψ) .отношением  A,BСмысл этого определения можно уяснить, если переписать определение в другом видеˆ Bˆ ( Ψ ) = Bˆ Aˆ ( Ψ ) +  A,Bˆ ˆ  (Ψ) .A) ((())()Т.е.

Характеристики

Список файлов лекций