Лекция (843336), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В принципе, формально можно выбрать и другое условие нормировки – например:∫Ψ2dV = 2 ,Vно тогда квадрат модуля волновой функции уже не будет иметь смысл плотности вероятности.Вектор плотности потока вероятности.В классической физике из уравнений движения частиц или уравнений Максвелла следуют разнообразные законы сохранения и уравнения непрерывности.

Посмотрим, как обстоит дело с уравнением Шрёдингера.Если частица не находится постоянно в некоторой области пространства V, то вероятность её нахождения в этой области должна зависеть от времени. Поэтому в этом случае7Семестр 4. Лекции 3-4.dP d 2=  ∫ Ψ dV  ≠ 0 .dt dt  VПредполагаем, что объём неподвижен, поэтому ∂Ψ * ∂Ψ* dP d 22∂∂=  ∫ Ψ dV  = ∫  Ψ dV = ∫  ( ΨΨ* ) dV = ∫ Ψ +Ψ dV .dt dt  V∂t∂t∂tVV V  ∂tИз уравнения Шрёдингера следует, что∂Ψ 1  ℏ2= −∆Ψ + U ⋅ Ψ  .∂t iℏ  2mИз сопряжённого уравнения Шрёдингера∂Ψ*1  ℏ2= − −∆Ψ* + U ⋅ Ψ*  .∂ti ℏ  2mТогда 1  ℏ2 dP1  ℏ2= ∫  −∆Ψ + U ⋅ Ψ  Ψ* − −∆Ψ* + U ⋅ Ψ*  Ψ dVdt V  iℏ  2mi ℏ  2m откуда после сокращений 1 ℏ2dP1 ℏ2iℏ*= ∫−∆ΨΨ+∆Ψ* ) Ψ dV = −∆Ψ* ) Ψ − ( ∆Ψ ) Ψ* dV .( )((∫dt V  iℏ 2miℏ 2m2m V()Т.к.

div ( Ψgrad Ψ* ) = ( grad Ψ ,grad Ψ* ) + Ψ∆Ψ* иdiv ( Ψ* grad Ψ ) = ( grad Ψ , grad Ψ* ) + Ψ* ∆Ψ , тоdiv ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) = Ψ∆Ψ* − Ψ* ∆Ψ .С учётом теоремы Остроградского-Гаусса получаемdPiℏiℏ=−div ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ )dV = −( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) ,dS .∫dt2m V2m ∫SВектор плотности вероятности определяется соотношениемiℏj=Ψ ⋅ grad Ψ* − Ψ* ⋅ grad Ψ ) .(2mУравнение непрерывности для вероятности в интегральной форме:dP= − ∫ j ,dSdtSизменение вероятности нахождения частицы в некотором объёме V равно с обратным знакомпотоку вектора плотности вероятности через замкнутую поверхность S, ограничивающую этотобъём.dP d 22∂Т.к. для неподвижного объёма справедливо равенство=  ∫ Ψ dV  = ∫  Ψ dV ,dt dt  V V  ∂t(())iℏ2∂то из равенства ∫  Ψ dV = −div ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ )dV можно получить уравнение∫∂t2m VVнепрерывности для вероятности в дифференциальной форме:∂2Ψ = −div ( j ) .∂tСтационарные состояния.Состояния частицы, для которых значение энергии определено однозначно, называютсястационарными состояниями.8Семестр 4.

Лекции 3-4.ℏследует, что ес2ли неопределённость энергии в каком-то состоянии стремится к нулю ∆E → 0 , то время пребывания системы в этом состоянии должно быть бесконечно большим. В этом смысле состояниеназывается стационарным.Как будет установлено далее (в теории операторов), волновая функции частицы в стационарном состоянии со значением энергии Е принимает особый видЗамечание. Из принципа неопределённостей для времени и энергии ∆E ⋅ ∆t ≥E−i tΨ = ψ ⋅e ℏ ,где функция «пси малая» ψ зависит только от координат частицы, но не зависит от времени,поэтому её иногда называют координатной частью волновой функции стационарного состояния.В стационарном состоянии плотность вероятности не зависит от времени. Действительно, плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функцииΨ = ψ ⋅e2E 2−i tℏ= ψ ⋅e2E 2−i tℏ=ψ .2Следовательно, для стационарного состояния уравнение непрерывности для вероятностипримет вид:div ( j ) = 0 .Соответственно, вектор плотности вероятности для стационарного состоянияiℏj=ψ ⋅ grad ψ* − ψ* ⋅ grad ψ ) .(2mУравнение Шрёдингера для стационарного состояния.Необходимым условием стационарности состояния является независимость от временифункции U, т.е.

в стационарном состоянии эта функция однозначно трактуется как потенциальная энергия. В этом случае, подставим во временное уравнение Шрёдингера Ψ = ψ ⋅ eE−i tℏ:∂Ψℏ2=−∆Ψ + U ⋅ Ψ ,∂t2mEEE−i t −i t −i t∂ℏ2 iℏ  ψ ⋅ e ℏ  = −∆  ψ ⋅e ℏ  +U ⋅ψ ⋅e ℏ ,∂t 2m EEE2−it−it−i tℏ Eℏℏiℏψ  −i  ⋅ e=−⋅ e ∆ψ + U ⋅ ψ ⋅ e ℏ .2m ℏiℏТ.к. eE−i tℏ≠ 0 , то можно сократить eE−i tℏ: Eψ = −ℏ2∆ψ + U ⋅ ψ . После преобразований получаем2mуравнение2m( E −U ) ⋅ ψ = 0ℏ2которое носит название уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.∆ψ +9Семестр 4. Лекции 5-6.Лекции 5 - 6.

Стационарные задачи квантовой механики.Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Частица в трехмерномпрямоугольном потенциальном ящике. Понятие о вырождении энергетических уровней. Одномерный потенциальный порог и барьер. Туннельный эффект. Сканирующий туннельный микроскоп. Гармонический осциллятор.Задача о бесконечно глубокой потенциальной яме.Частица массы m находится в ограниченной одномерной области, за пределы которойона проникнуть не может. Внутри области нет потенциальной энергии (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области начастицу действует бесконечно большая возвращающая сила. (Говорят, что стенки ямы непроницаемые для частицы – т.е. частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме).Математическая постановка задачиОбласть Ω = { x ∈ ℝ 0 < x < a} .UU0, x ∈ ΩПотенциальная энергия U ( x ) = +∞ , x ∉ ΩТ.к.

частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулю Ψ ( x ) = 0 при x ∉ Ω .Следовательно, ввиду непрерывности волновой функxции, на границе ямы волновая функция должна обращаться в0aноль Ψ ( 0 ) = 0 и Ψ ( a ) = 0 .Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в ноль в граничных точкахψ ( 0) = 0 и ψ ( a ) = 0 .Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния ∆ψ + 2 ( E − U ) ⋅ ψ = 0 , которое в одномерном случае для области внутри ямы приметℏвидd 2 ψ 2m+E ⋅ψ = 0.dx 2 ℏ 22md 2ψЕсли ввести обозначение k 2 = 2 E , то уравнение+ k 2 ⋅ ψ = 0 имеет решение в видеℏdx 2ψ = A ⋅ sin ( kx + α ) .

Для поиска значений постоянных А и α поставляем граничные условия.ψ ( 0 ) = A ⋅ sin ( α ) = 0 откуда следует, что можно принять α = 0 .ψ ( a ) = A ⋅ sin ( ka ) = 0 . Это значит, что ka = nπ , где n = 1, 2 ,3,... , т.е. k =nπa nπ Поэтому решение примет вид ψ = A ⋅ sin x . a aДля поиска значения А используем условие нормировки P ( 0 < x < a ) = ∫ ψ dx = 120Ноa∫ψ0a2dx = ∫0 2nπ a1 − cos x22A Aa22a  2nπ  2  nπ A ⋅ sin  x  dx = A ∫ ⋅dx =x−sin x =a22 2nπ  a   02 a 0a1Семестр 4. Лекции 5-6.2. В данной задаче нет комплексных чисел, поэтому можно считать, что числоa22 nπ А является действительным и положительным, т.е. A =. Тогда ψ n =⋅ sin x.aa a Поэтому A =22m nπ Значения энергии частицы определяются из соотношения k = 2 E =   , т.е.ℏ a 22π2 ℏ 2 2n энергия зависит от номера n.

Целое число n, определяющее значение энергии час2ma 2тицы называется главным квантовым числом.2 nπ В итоге, любому натуральному числу n соответствует решение ψ n =sin x  и знаa a E=−i n tπ2 ℏ 2 2ℏчение энергии En =n.ПсифункцияΨ=ψe.nn2ma 2Энергия частицы в бесконечно глубокой яме принимает дискретные значения, или, какговорят, квантуется.Случай n=0 не рассматриваем, т.к. при n=0 получаем, что ψ 0 = 0 , т.е. частицы нет в яме.Состояние частицы с минимальным значением энергии (n=1) называется основным состоянием.Остальные состояния (для n>1) – возбужденными: n=2 – первое возбуждённое состояние, n=3 –второе возбуждённое состояние и т.д.Разность соседних уровней энергии при больших значенияхπ2 ℏ 2π2 ℏ 2 2 π2 ℏ 2π2 ℏ 22∆E = En +1 − En =n+1−n=2n+1≈n()()2ma 22ma 22ma 2ma 2пропорциональна номеру n.Для молекулы газа с массой m ∼ 10 −27 кг в области с размером a ∼ 0 ,1 м эта разностьравна ∆E ∼ 10−38 n Дж или ∆E ∼ 10−19 n эВ.

Учитывая, что при Т=300 К энергия теплового движения порядка ET ∼ 10 −21 Дж, то дискретностью уровней энергии частицы можно пренебречь.EНо для электрона m = 9,1 ⋅10−31 в области a ∼ 10−10 м (порядок размера атома) ∆E ∼ 10−17 n Дж,что уже соизмеримо со значением тепловой энергии.Замечание. Найдем вектор плотности вероятности для частицы в яме.iℏj=Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) .(2miℏ  ∂Ψ*∂Ψ Т.к.

задача одномерная, то j = ( jx , 0,0 ) , где jx =− Ψ*Ψ.2m ∂x∂x ∂ψ n iℏ  ∂ψ* n− ψ* n ψn.2m ∂x∂x 2 nπ Из вещественности решения ψ n = ψ* n =sin x  следует, чтоa a Из Ψ n = ψ n e−iEntℏследует jx =∂ψ n iℏ  ∂ψ* n− ψ* n ψn=02m ∂x∂x Т.е. вероятность нахождения частицы в яме не изменяется с течением времени.jx =Частица в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками.Частица массы m находится в трёхмерной области, за пределы которой она проникнутьне может. Внутри области нет потенциальной энергии (U=0), а снаружи потенциальная энергия2Семестр 4. Лекции 5-6.принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области на частицу действуетбесконечно большая возвращающая сила.Математическая постановка задачиОбласть Ω = {( x, y, z ) 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c} .0 , ( x, y,z ) ∈ ΩПотенциальная энергия U ( x, y,z ) = .+∞ , ( x, y,z ) ∉ ΩТ.к.

частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулюΨ ( x, y,z ) = 0 при ( x, y,z ) ∉ Ω . Следовательно, на границе ямы волновая функция должна обращаться в нульΨ ( 0, y,z ) = 0 и Ψ ( a, y,z ) = 0 ;Ψ ( x,0,z ) = 0 и Ψ ( x,b,z ) = 0 ;Ψ ( x, y,0 ) = 0 и Ψ ( x, y,c ) = 0 ;Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в ноль в граничных точках.Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния ∆ψ + 2 ( E − U ) ⋅ ψ = 0 , которое в трёхмерном случае для области внутри ямы приметℏвид∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 2m+++E ⋅ψ = 0 .∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ℏ 2Решение ищем в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от однойиз координат ψ = A ⋅ X ( x ) ⋅ Y ( y ) ⋅ Z ( z ) . После подстановкиA ⋅ X xx′′ ⋅ Y ⋅ Z + A ⋅ X ⋅ Yyy′′ ⋅ Z + A ⋅ X ⋅ Y ⋅ Z zz′′ +2mE ⋅ A⋅ X ⋅Y ⋅ Z = 0ℏ2разделим на A ⋅ X ⋅ Y ⋅ Z .

Характеристики

Список файлов лекций