Лекция (843336), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Такая система при Z>1 описывает водородоподобный ион, а при Z=1 –атом водорода. Считая энергию системы постоянной, запишем уравнение Шрёдингера для стационарного состояния2m 1 Ze 2 ∆ψ + 2  E +zψ = 0.ℏ 4πε 0 r rЗапишем это уравнение в сферической системе координат,θy x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ .Так как оператор Лапласа в этой системе принимает видx∂2 2 ∂ 1 ∂21∂2cos θ ∂ϕ∆= 2 ++ 2 2+ 2 2+ 22∂rr ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂θто получаем∂ 2 ψ 2 ∂ψ 1 ∂ 2 ψ1∂ 2 ψ cos θ ∂ψ 2m 1 Ze 2 +++++E+ψ = 04πε 0 r ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ2 r 2 sin 2 θ ∂ϕ2 r 2 sin θ ∂θ ℏ 2 Перепишем уравнение в виде∂ 2 ψ 2 ∂ψ 2m 1 Ze 2 1  ∂ 2ψ1 ∂ 2 ψ cos θ ∂ψ ++E+ψ=−++∂r 2 r ∂r ℏ 2 4πε 0 r r 2  ∂θ2 sin 2 θ ∂ϕ2 sin θ ∂θ Для дальнейшего удобно ввести обозначение∂ 2ψ1 ∂ 2 ψ cos θ ∂ψ∆ θ ,ϕ ( ψ ) = 2 + 2+.∂θsin θ ∂ϕ2 sin θ ∂θДля поиска собственных функций этого оператора необходимо решить уравнение∆ θ ,ϕ ( ψ ) = λψ3Семестр 4.

Лекции 9 - 10Исследование этого уравнения показывает, что оно обладает непрерывным решением,если собственное имеет специальный вид число λ = −l ⋅ ( l + 1) , где l - целое неотрицательноечисло l = 0 ,1, 2 ,... .Введём оператор квадрата момента импульса Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .В сферической системе координат этот оператор принимает вид ∂2Ψ1 ∂ 2 Ψ cos θ ∂Ψ 22L̂2 ( Ψ ) = −ℏ 2  2 + 2+ или L̂ ( Ψ ) = − ℏ ⋅ ∆ θ ,ϕ ( Ψ ) .2sinsin∂θθ∂ϕθ∂θПоиск собственных значений этого оператора L̂2 ( Ψ ) = L2 ⋅ Ψ приводит к уже известному уравL2L2L2нению ∆ θ ,ϕ ( Ψ ) + 2 Ψ = 0 , откуда следует равенство λ = − 2 или 2 = l ⋅ ( l + 1) для неотрицаℏℏℏтельных целых чисел l.

Поэтому величина момента импульса для электрона в атоме принимаетзначенияL = ℏ l ⋅ ( l + 1) .Т.к. проекция вектора на ось Z не может быть больше длины вектора, то из соотношенияLz ≤ L и равенств Lz = mℏ , L = ℏ l ⋅ ( l + 1) получаем mℏ ≤ ℏ l ⋅ ( l + 1) или m 2 ≤ l ⋅ ( l + 1) . С учётом того, что числа m и l - целые это соотношение эквивалентно тому, что значения m находятся в диапазоне m = −l ,..., 0 ,...,l .2m 1 Ze 2 Исходное уравнение Шредингера ∆ψ + 2  E + ψ = 0 , в сферической системеℏ 4πε 0 r координат∂ 2 ψ 2 ∂ψ 2m 1 Ze 2 1+++E ψ = − 2 ∆ θ ,ϕ ( ψ )22 ∂rr ∂r ℏ 4πε 0 r rс учётом выражения для квадрата момента импульса L̂2 ( Ψ ) = − ℏ 2 ⋅ ∆ θ ,ϕ ( Ψ ) может быть записано в форме, учитывающей квадрат момента импульса 22 ∂ψ 2m 1 Ze 2   ˆ 22 2 ∂ ψℏ r  2 ++E+ ψ  = L (ψ ) .r ∂r ℏ 2 4πε 0 r   ∂rСледовательно, решение этого уравнения должно зависеть от величины момента импульса.Это уравнение имеет непрерывные решения при любых положительных значениях энергии E > 0 .

Этому случаю соответствуют решения описывающие электрон, пролетающий мимоядра.Для отрицательных значений энергии E < 0 непрерывные решения существуют приmZ 2 e41En = −⋅ 22 22 ( 4πε 0 ) ℏ nгде n = 1, 2 ,3,... . В этом случае электрон связан с ядром. При этом число l меняется в диапазонеl = 0,1,...,( n − 1)Замечание. Выражение для энергии совпадает с выражением, полученным в теории ядра Бора.В итоге, можно сказать, что решение уравнения для электрона в водородоподобном атоме определяется тремя целыми числами n , l, m, что условно обозначают следующим образомψ = ψ n ,l ,m ( r,θ,ϕ ) .Число n определяет значение электрона в атоме и называется главным квантовым числом.Число l определяет величину момента импульса электрона, поэтому его называют орбитальным (азимутальным) квантовым числом.

Оно принимает значения из диапазонаl = 0,1,...,( n − 1) .4Семестр 4. Лекции 9 - 10Число m называется магнитным квантовым числом. Оно определяет проекцию момента импульса на ось вращения. Принимает значения из диапазона m = −l ,..., 0 ,...,l .Следовательно, одному значению энергии, задаваемому главным квантовым числом nможет соответствовать несколько разных функций ψ n ,l ,m .Для заданного значения l число возможных значений m равно 2l + 1 . Но для заданного числа nчисло возможных значений l равно n. Поэтому общее количество наборов троек чисел ( n,l,m )n −1равно∑ ( 2l + 1) = n2. Т.е. кратность вырождения уровня энергии для главного квантового числаl =0n равна n2.nψn,l,m1ψ1,0 ,02ψ 2 ,0 ,0 , ψ 2 ,1,−1 , ψ 2 ,1,0 , ψ 2 ,1,13ψ 3 ,0 ,0 , ψ 3 ,1,−1 , ψ 3 ,1,0 , ψ 3 ,1,1 , ψ 3 ,2 ,−2 , ψ 3 ,2 ,−1 , ψ 3 ,2 ,0 ,ψ 3 ,2 ,1 , ψ 3 ,2 ,2Кратность1вырождения49Для обозначения квантовых состояний вводятся спектроскопические символы.Значение012345числа lОбозначениеspdfghсостоянияНапример, электрон, находящийся в состоянии с l = 0 , называют s-электрон, а само состояние –s-состоянием.Значение главного квантового числа указывают перед спектроскопическим символом.Например, символ 3p обозначает состояние, в котором n=3, l=1.

Символ 2s обозначает состояние, в котором, n=2, l=0, и т.д.В теории Бора изменение состояния электрона соответствует его переходу с одной орбиты на другую. В квантовой механике изменение состояния атома не связано с пространственным перемещением электрона, т.к. понятие орбиты движения электрона становится неприменимым. Например, s-состояние электрона в классической механике является невозможным, ибов этом случае орбитальный момент импульса электрона равен нулю – т.е.

электрон при своёмдвижении с классической точки зрения проходит через ядро.Правило отбора.Испускание и поглощение света происходит при переходе атомов из одного состояния вдругое. При этом осуществляются такие переходы, у которых изменение главного квантовогочисла может быть любым, но орбитальное квантовое число меняется только на единицу∆l = ±1 . Это, например, переходы 1s ֏ np или np ֏ 1s .

Это вызвано тем, что фотон обладаетсобственным моментом импульса, почти равным ħ.Магнитное квантовое число при таких переходах меняется, не больше, чем на единицу∆m = 0 , ±1 .Переходы, которые удовлетворяют правилам отбора, называются разрешенными, вероятность остальных переходов значительно меньше, они трудны для наблюдения и считаютсязапрещенными.Состояние 1s – основное.

В этом состоянии атом имеет минимальную энергию. Чтобыперевести атом в одно из возбужденных состояний, ему надо сообщить энергию. Это можноосуществить за счет теплового удара (соударения с другим атомом в нагретом газе), за счетэлектронного удара (например, в электрическом разряде) или за счет поглощения атомом фотона. Характерное время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10-8 с. Затем происходит спонтанный переход в состояние с меньшей энергией.

Этот переход атома будет сопровождаться излучением кванта с энергией5Семестр 4. Лекции 9 - 10hν = EНАЧ – EКОН,где EНАЧ и EКОН - энергии соответствующих состояний.Примеры возможных переходов для атома водорода показаны стрелками на схеме уровней.l=0l=1l=2l=3spdfn=4n=3n=2n=1Переходы, приводящие к появлению серии Лаймана, можно записать в виде np ֏ 1s (n= 2, 3, ...).Серия Бальмера – это переходы на уровень n=2 : np ֏ 2 s , ns ֏ 2 p , nd ֏ 2 p , ( n = 3, 4, ...).Серия Пашена (серия Ритца-Пашена) – это переходы на уровень n=3 и т.д.В атоме водорода есть состояние, переход из которого запрещен правилами отбора. Насхеме уровней видно, что это 2s - состояние.

Атом в таком состоянии называют метастабильным. Время жизни может быть очень продолжительным. Возбужденный атом водорода в метастабильном состоянии 2s существует ~2 мс. Благодаря значительному времени жизни метастабильные атомы могут накапливаться до относительно высоких концентраций 1012 - 1014 см-3,оставаясь возбужденными.

Снятие возбуждений в таких системах происходит вследствие межатомных столкновений и может затягиваться на макроскопические времена.Модель водородоподобного атома удовлетворительно описывает атомы, находящиеся навысоких уровнях энергии возбуждения.Высоковозбужденные атомы, (когда n >> 1), называют ридберговскими. Для атомов всехэлементов высоковозбужденные состояния водородоподобны.

Причина в том, что при n >> 1внешний электрон почти все время удален от иона на очень большие расстояния. Тем самым ондвижется в поле положительно заряженного атомного остатка (как в водородном атоме вокругядра). Отклонения от этой модели заметны только на близких расстояниях от центра. Главнаяособенность ридберговских состояний – универсальный для всех атомов характер, т.е. все подобные атомы по свойствам схожи.

Время жизни этих состояний растет пропорционально n9 2и может достигать миллисекундных значений и более в зависимости от того, насколько великоглавное квантовое число n.Оказывается, что газ возбужденных атомов конденсируется, т.к. конденсированное возбужденное состояние энергетически более выгодно по сравнению с газовым (как в металле,электрон не принадлежит отдельному атому).6Семестр 4.

Характеристики

Список файлов лекций