1611703129-794ecdc8c73d9c35e4e8cbdbc4ce6f0b (827004), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1 A= ............. .0 0 ... 17. Íàéòè áàçèñ ÿäðà è îáðàçà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, çàäàííîãî ìàò-ðèöåé0 1 01−2 −3211 −1 .020 −1018*. Ïóñòü R[x]6n ïîäïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå áîëåån â R[x].d(a) Äîêàçàòü, ÷òî dxÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì íà R[x]n ,÷òî îí íèëüïîòåíòåí è ïðåäñòàâèòü åãî ìàòðèöåé â êàêîìíèáóäü áàçèñå.díà(b) Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è âåêòîðû îïåðàòîðà x dxR[x]n .389*. Äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü íàä R ñèñòåì ôóíêöèé(a) {sin x, sin 2x, .

. . , sin nx};(b) {ek1 x , ek2 x , . . . , ekn x }, ãäå ki 6= kj ïðè i 6= j .Çàäàíèå 6 (ñäàòü ê 29 àïðåëÿ )1. Åñëè âîçìîæíî, ïåðåõîäÿ ê íîâîìó áàçèñó íàä R è íàä C, ïðè-âåñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ìàòðèöû4 −414 759 ;  2−50 −4−56543 .−9 −72. Ïðèâåñòè ê æîðäàíîâîé íîðìàëüíîé ôîðìå ìàòðèöû3 −42−1 −438 ;−1 −3−1 −1−23 −33 −1  .−243. Íàéòè exp(A) äëÿ ìàòðèö èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è.4. Íàéòè îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå â R4 ê ïîäïðîñòðàíñòâó, íàòÿ-íóòîìó íà âåêòîðû[1, 2, −1, 1]> , [2, −2, −1, 1]>>5.

Íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ âåêòîðà x = [4, −1, −3, 4] íàëèíåéíóþ îáîëî÷êó [1, 1, 1, 1]> , [1, 2, 2, −1]> , [1, 0, 0, 3]> .6.  ïðîñòðàíñòâå âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ R[x]63 ñòåïåíè íåáîëåå 3 ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìZ 1(f, g) =f (x)g(x)dx0íàéòè: (a) îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà íà âåêòîðàõ 1, x, x2 ; (b) ðàññòîÿíèå îò x3 äî ïîäïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå áîëåå2.397. Íà êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö M2 (C) îïðåäåëåíî ñêà-ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå Ãèëüáåðòà-Øìèäòà(A, B) = tr(A† B).Íàéòè îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâàì:(a) âñåõ âåðõíåòðåóãîëüíûõ ìàòðèö;(b) âñåõ êîñîýðìèòîâûõ ìàòðèö;(c) âñåõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö.8.

Äîêàçàòü, ÷òî ïðîåêòèðîâàíèå ïðîñòðàíñòâà V íà ïîäïðîñòðàí-ñòâî V1 ïàðàëëåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâó V2 ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäà V1 è V2 îðòîãîíàëüíû.9. Èññëåäîâàòü ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ Ax = b ñ ïîìîùüþ àëü-òåðíàòèâû Ôðåäãîëüìà.1A= 4310*.3 0−3 3 −1 2(a) Äîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü Ãðàìà îáëàäàåò ñâîéñòâîìg(a1 , a2 , b1 , b2 ) 6 g(a1 , a2 )g(b1 , b2 ).Óêàçàíèå: èçó÷èòå ñíà÷àëà ñëó÷àé òðåõ âåêòîðîâ.(b) Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ýòî íåðàâåíñòâî ñòàíîâèòñÿ ðàâåíñòâîì?(c) Ïîÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíûg(a1 , a2 , b1 , b2 ).g(a1 , a2 )g(b1 , b2 )(d) ×òî ìîæíî ñêàçàòü äëÿ áîëüøåãî êîëè÷åñòâà âåêòîðîâ?40Çàäàíèå 7 (ñäàòü ê 30 ìàÿ )1.

 êâàíòîâîé ìåõàíèêå èñïîëüçóþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ìàòðèöûÏàóëè1σ0 =001;σ1 =0110;σ2 =0i−i0;σ3 =Äîêàæèòå, ÷òîà) ýòè ìàòðèöû îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå 2*2 ìàòðèö ñêîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìè;á) èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà σ1 σ2 = −σ2 σ1 = iσ3 , σ2 σ3 = −σ3 σ2 =iσ1 , σ1 σ3 = −σ3 σ1 = iσ2 , σk2 = E , k = 1, 2, 3;â) êàæäàÿ ìàòðèöà σk , k = 1, 2, 3 óíèòàðíàÿ .2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìàòðèöà H ýðìèòîâà, òî äëÿ êàæäîãî t ∈ Rìàòðèöà exp(iHt) óíèòàðíà.3.

Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû, çà-äàííûå â ñòàíäàðòíîì ÎÍÁ ìàòðèöàìè:22 −1211 22 −12 ;33−122−1−122 −1  .224. Ïðåäñòàâèòü ìàòðèöó2−i2+i−1 + 2i−1 − 2iâ âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íåîòðèöàòåëüíîé ýðìèòîâîé è óíèòàðíîéìàòðèö.5. Äëÿ ìàòðèöû22−1−1íàéòè ñèíãóëÿðíîå è îáà ïîëÿðíûõ ðàçëîæåíèÿ.41100−1.6. Íàéòè íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ,ïðèâîäÿùåå ïàðó ôîðì f è g ê äèàãîíàëüíîìó âèäó:f = x21 − 15x22 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 6x2 x3 ,g = x21 + 17x22 + 3x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 14x2 x3 .7. Îïðåäåëèòü òèï ëèíèè 2 ïîðÿäêà x2 − 4xy + 4y 2 − 7x + 9y + 7 =0, íàïèñàòü åå êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå è íàéòè êàíîíè÷åñêóþñèñòåìó êîîðäèíàò.8*. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðàA äîêàçàòü, ÷òî:(a) äëÿ âñåõ âåêòîðîâ x 6= 0 îòíîøåíèå kAxk/kxk çàêëþ÷åíîìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûì ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè A;(b) âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëàA ëåæàò â êðóãîâîì êîëüöå{z ∈ C | σn (A) 6 |z| 6 σ1 (A)}.Ïðîãðàììó è çàäàíèÿïî ëèíåéíîé àëãåáðå è ãåîìåòðèèñîñòàâèëà ê.ô.-ì.í.

Í. À. Êóäðÿâöåâà42.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)