1611689327-cfeacb4815f71bfc7b0924db4bd61033 (826773), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Из непрерывности смешанногопроизведения следует, что � + Θ ℎ, + Θj � → (, ) ⇒они равны в т. (, )Обобщение теоремы.∎1. : → , ; ∀ ∈ ∃шара т.a.2 и2 (),() – непрерывна в любой точкенепрерывны в т. а. Тогда2 () =2 () .Доказательство. Аналогично предыдущей теореме: = �1 , … , + ℎ, +1 , … , + , +1 , … , � − �1 , … , +ℎ, +1 , … , , … , � − �1 , … , , … , + , +1 , … , � +(1 , … , )2.
: → и имеет частные производные по 1 , … , порядка m: 1 …0 ∈ , () ⊆ ; ∀ = 1 … − 1 ∃Тогда ()1 … +1 …= 1 … ()– непрерывна.1 …+1 …Доказательство. Применяем необходимое кол-во раз 1.∎∎Билет 11.(∗) 1 …= 1 1 … , где ∑=1 = , 0 ≤ ≤ Если выполняется условие теоремы 2., то этот порядок не важен.Мультииндекс = (1 … ), ∈ ∪ {0}||1()| | = � ; ! = � ! ; = 1 ⋅ … ⋅ ; ⇒ ∗ == Полином Ньютона(1 + 2)(1 + 2 + ⋯ + )==�1 +2 =�! 1 1 2 2 (∗)1 ! 2 !1 +…+ =Доказательство. Индукция по n.База(n=2)!1 1 … (∗∗)1 ! … !Переход: пусть для n верно (1 + 2 + ⋯ + ) =!∑1 +…+=1 1 … Тогда:1 !… !(1 + ⋯ + + +1 ) = (1 + ⋯ + −1 + ( + +1 )) =!−1( + +1 ) =1 1 … −1=�1 ! … −1 ! !1 +…+−1 +===�1 +…+−1 +=!−11 1 … −11 ! … −1 ! !! +1⋅� +1=!! ++1 = +1! +11 1 … +1�1 ! … ! +1 !1 +…+ ++1 =!Другая запись: (1 + ⋯ + ) = ∑||= , где = (1 … )!Дифференциалы высоких порядков.∎: → , существует и непрерывна производная первого порядка: ()()() ℎ = �⋅ ℎ=1При фиксированном h это равно g(x).
– открыта,∃ в и непрерывен в ⇒=1=1=1( )()∃( )( ) = �⋅ = ���⋅ ℎ � ⋅ 2 ( )= ��⋅ ℎ ⋅ =1 =1При k=h получаем дифференциал второго порядка:2 ( )(ℎ) =2 ()∑=1 ∑=1⋅ +1 (ℎ ⋅ ℎ – квадратичная форма; аналогично: )(ℎ) = ( )()(ℎ)1 =1 =1 ()(ℎ) = � … � ()1 … �������непр⇒не зависит от порядка⋅ ℎ1 ⋅ … ⋅ ℎ =ℎ + ⋯+ℎ � ( )� 1 1! !1⋅ ℎ ⋅ … ⋅ ℎ = �⋅⋅ℎ=�! 1 ! … ! 11 … 1||=1 +⋯+ =Билет 12.
Формула Тейлора. С остаточным членом в форме Лагранжа: () (0 )( − 0 )1 () = (0 ) + �+ (+1) �0 + Θ( − 0 )�( + 1)!!=10 )+1 , Θ⋅ ( −∈ (0,1)При m=0 получаем формулу Лагранжа. Пусть:0 = 0, : → , ∈ , имеет непр. производные до + 1 порядка включительно.(1 … ); () = � + ( − )�= �1 + (1 − 1 ), … , + ( − )�11 () (+1) (Θ),( ) = (1) = (0) + � (0) +( + 1)!!По индукции:=1� + ( − )� ) = �( − )′(Θ ∈ (0,1)=1� + ( − )�() ( ) = � … �� − � … ( − ) … =1 =1= { = (1 … ), | | = } =|| ( )| |! � − ( − )�( − ) = � () == �; �=! ||=! = � � + ( − )�( − ) , где 0 ≤ ≤ + 1!||= ( ) = (1) = �=01 ()1 (0) + (+1) (Θ) = {Θ ∈ (0,1)} =( + 1)!!1! �� ()( − )!!=0||=1+( + 1)!�||=+1( + 1)! � + Θ( − )�( − ) =!1 ()( − ) += �!||≤�||=+11 ( + Θ( − ))( − )!Билет 13.
Экстремумы. ( ),Ω ⊂ , ∈ Ω0 ; ∃ > 0 ∀ ∈ () ∩ Ω ( ) ≤ (≥) () ⇒a – локальный максимум(минимум). Будем считать, что Ω = Ω0 .Теорема. Необходимое условие экстремума.() ∀ = 1 … ∈ Ω , имеет локальный экстремум в т. , ∃() = 0 ∀ = 1 … ⇒Доказательство.Рассмотрим () = (1 , … , −1 , +, +1 , … , ); () определена ∀ для ∈ (−, ) имеет локальный экстремум при = 0, т.к. имеет локальныйэкстремум в т.a, следовательно:′ (0) = 0() = 0⇒� ′() =( , … , −1 , + , +1 , … , ) 10Теорема. Достаточное условие экстремума.∎ ∈ Ω0 , для a выполнены необходимые условия, т.е.() = 0 ∀ внекоторой окрестности т.a.
Существует и непрерывна вторая частичнаяпроизводная, т.е. ∀ ∈ () ∃Формула Тейлора для m=12 () и непрерывна в ().1 ()( − ) + �( ) = () + � � + Θ( − )�( − )!��||=2=1�������������() − () =необх.условие2 1�� + Θ( − )�( − )� − � (∗) 2,=1Если a – максимум, то (∗) < 0; Если a – минимум, то (∗) > 0.1 2 (∗) = �( − )� − �2 ,=1 2 � + Θ( − )� 2 ()1+ ��−� ( − )� − �2 ,=1 ���������������������()При → () → 0 в силу непрерывности вторых производных.1 2 2 ()| ( )| = � �max �� + Θ( − )� −�� ≤ (r) �⎯� 0→0 () 2 ,=1⋅ | − | ⋅ � − � ≤,=1,=11122≤ () ⋅ � | − | ⋅ � − � ≤ () ⋅ � �| − | + � − � �221= { () �‖ − ‖2 } ≤21≤ () ‖ − ‖222 ()2 ( )Заметим, что = ∑,=1 − ‖ − ‖ < ⇒ ∈ (); ξ =при ≠ ; − ‖ − ‖= ‖ − ‖; − = ‖ − ‖1 2 ()( − )� − � + ( ) () − () = �2 ⎧⎪,=1⎫ ()2 ( ) ⎪12� +…= ‖ − ‖2‖‖−2⎨ ,=1⎬ �����������⎪⎪⎩квадратичная форма Φ( )⎭1.
Квадратичная форма положительно определена ⇒ Φ() имеетминимум min Φ( ) = > 0‖ ‖=1211… ≥ ‖ − ‖2 { − ⋅ ()} > ‖ − ‖2 ≥ 0 ∀242 ()≥ − ⋅ () из предыдущей оценки | ( )|2‖ − ‖Т.к. () → 0, то выберем такую окрестность т.a, что ⋅ () < ⇒{… } >2⇒ т.a – минимум.22. Квадратичная форма Φ() отрицательно определена, значит т.a –максимум(доказательство аналогично)3. Квадратичная форма Φ() знакопеременна:∃1 , 2 : Φ(1 ) > 0,Φ( 2 ) < 0 1 − = 1 , где = ‖ 1 − ‖ ⇒ 1 = + 11 22 (1 )11 ( ) − () = �Φ( ) +�⎯� 0�2 2 →0� ( 1 ) − ()� =→0 Φ(1 ) ⇒ ( 1 ) − () > 0Аналогично ( 2 ) − () < 0 ⇒ нет экстремума.4. Φ( ) ≥ 0 (≤ 0) ∀ – нужны дополнительные исследования.Билет 14.� = , = 1. . − СЛАУ; (1 , … , ) = , =1= 1 … , где − произвольная функцияПредположим, что для некоторых = ∃ = Введём врассмотрение = (1 … ); = (1 … ), = (1 … ), =(1 … ), = (1 … ) ⇒ система в виде ( ) = , () = .При ‖ − ‖ < существует ли решение?Лемма 1.: → , Ω − открыто; − непрерывно на , открыто в ⇒ = −1 [] − открыто в Доказательство.
≠ ∅, ∈ , надо показать, что a – внутренняя, т.е. ∃ > 0: () ⊆ = () ∈ ; ∃ () ⊂ , т. е. ‖ − ‖ < ∀ > 0 ∃ > 0 ‖ − ‖ < , ∈ Ω ⇒ ‖ () − ‖ < , т. е. ∈ () ∩ Ω⊂ = −1 [ ] ⇒ ∃ > 0: ()�������открытое мн−во,т.к.оба открыты⊂ () ∩ Ω ⊂ ⇒ − внутренняя.∎Обратная лемма также верна, получаем ещё одно определениенепрерывных отображений.Лемма 2.: → – непрерывна, дифференцируема в некотором шаре () и∃ ∃ (, ) > 0: ∀ ∈ () ‖ () − ()‖ ≤ ⋅ ⋅ ‖ − ‖, где =max sup �, ∈ () ( )� < ∞, = (1 … )Доказательство.()() = + �� + Θ( − )�( − )=1���������������������остаток| ( ) − ()| = ��� + Θ( − )�� − ��=1��� � ≤ �� 2 ⋅ �� 2 − неравенство Коши − Буняковского�≤ �� �=12=1=12� + Θ( − )�� ⋅ ��� − � ≤ �� 2 ⋅ ‖ − ‖= √‖ − ‖22Итого, | ( ) − ()| ≤ √‖ − ‖ ; ∑=1| ( ) − ( )| ≤ ⋅ ⋅ ⋅‖ − ‖2‖ ( ) − ()‖ = ��| () − ()|2 ≤ √ ⋅ ⋅ ⋅ ‖ − ‖=1Теорема об обратном отображении.: → , Ω − открыто, () = , () = , – непрерывно′(дифференцируема на Ω; ) = ��,=1, det′()������� ≠ 0ЯкобианТогда1) ∃ – окрестность т.
a, т.ч. | – взаимнооднозначно.2) −1 определена в окрестности т. b и непрерывнодифференцируема.3) ( −1 )′ () = [ ′ ( )]−1 , = ( ), ∈ ⇒ = −1 ()Частные случаи1) ( ) = – непрерывно дифференцируема и ′ ( ) ≠ 0 ⇒( −1 )′ () =1′ ()′(= � )�−1∑ ��2) ( ) = ��=�� , = 1 … ;=1�����СЛАУ= = ∎det ′ () = det� � ≠ 0 ⇒ Система разрешима ∀ (в т.ч. для y,близких к b)Доказательство. Сделаем ряд упрощений.1) б.о.о. det ′() ≠ 0 в Ω непрерывно дифференцируема →− непрерывна ⇒ det ′ ( )– непрер. ф-я в Ω⇒ в некоторой окрестности Ω1 т.a det ′ () ≠ 0 в силунепрерывностиРассмотрим Ω1 (б. о. о. Ω = Ω1 )2) б.о.о.
′ () = – единичная матрица т.к.′ ( )]−1[��� �� ⋅ (). Если 1 () имеет обратное, тоРассмотрим 1 ( ) = ��∃,т.к. ≠0 ( ) также имеет обратное. ′ () ⋅ 1 () = ( ); 1′ () = [ ′ ()]−1 = б.о.о. = 11. Введём следующее отображение () = () − ∈ , её коорд. фии ( ) = ( ) − () ()′=− = ()= 0 ∀, ()� ; () �⎯� 0 в силу непрерывности() = max sup �→0, ‖−‖<Пусть , ∈ () ⇒лемма 2 ‖ () − ( )‖ ≤ ⋅ ()‖ − ‖, т.к.() �⎯� 0 ⇒ можем взять такой r, что () ≤→012 () − ( ) = ��������������� () − ( ) − ( − ) + ( + )= ( ) − ( ) + ( − )‖ ( ) − ()‖= ‖ () − ( ) + ( − )‖ ≥⊿ ‖ − ‖ − ‖ ( ) − G(ξ)‖���������1≥ ‖ − ‖21< ‖− ‖2 () = ( ) ⇒ = => – взаимнооднозначно ∀, ∈ () ⇒∃ −1Билет 15. + Формулировка + леммы с предыдущего. −1 () = ‖−‖≥12�−1 ()−−1 ()� ()=⇒ −12. ( )= ⇒ � −1⇒−1 ()‖≤2‖− ‖()‖−() = −1 непрерывна на Надо показать, что ∃: () ⊆ Ω−11, ∈ () ⇒ ‖ () − ( )‖ ≥ ‖ − ‖ ⇒ ∀ ∈ () ∃ ∈2 (): ( ) = ← надо показатьВведём следующее отображение:4() = ‖ () − ‖2 = �[ () − ]2 , ∈ ()=14∎Покажем, что имеет минимум, причём он достигается во внутренней т.
(). () − компакт, − непрерывно ⇒ – достигает минимума наэтом множестве.Возьмём x на границе(‖ − ‖ = )⇒ ( ) = ‖ () − ‖ − 1‖]2‖2(���= �) − + ��� − � ≥⊿ [‖ ( ) − ‖ −����= [‖ ( ) − ()‖ − ‖ − 2 2� ‖ − ‖ − � > � − � =24Итого ( ) > 216224 2.16‖]212≥ � ‖ − ‖ − ‖ − ‖� >2∀: ‖ − ‖ = С другой стороны возьмём центр шара(т.a)22() = ‖ () − ‖2 = ‖ − ‖2 < � � =41622Итого () < . Получаем () > > () ⇒‖−‖= значение в1616центре < значения на границе, значит существует внутренняя точка 0 –внутренняя для (), т.ч. min () = ( 0 ) ⇒ все частичныепроизводные = 0 (необходимое условие экстремума) 0( ) = � 2[�() −���( ) = 0 − СЛАУ от ]�� ��� 0=1 0( ) ⋅ = 0 − однородная�=1det ′ ( ) ≠ 0 (в силу упрощений) ⇒ = 0 ∀ → ( 0 ) = ⇒ ( 0 ) = ⇒ мы нашли ∀ ∈ ()4∃ ∈ (), т.
ч. () = ( = 0 ) ⇒ = (); −1 [ ]=⏟открыт в силу леммы 1⊆ ()4() ( − ) + �3. − ( ) + ( ) = Φ(,������)� . Фиксируем ∈ , ∈ , –переменная.(‖− ‖) ( ) − () = ( − ) + Φ(, ); ( ) = , () = , то − = � −1 ( ) − −1 ()� + Φ( −1 (), −1 ( ))A – не вырожденное отображение, значит существует обратное.−1 ( − ) = −1 ( ) − −1 () + −1 �Φ� −1 (), −1 ( )��−1 ( − ) + �����������������−1 �Φ� −1 (), −1 ( )�� = −1 ( ) − −1 ()предп.,что это (‖−‖)[ ( )]−1 ( −1 )′ () = [ ′ ()]−1 .
Покажем, чтоТогда −1 () = −1 = ; −1 �Φ� −1 (), −1 ( )�� = (‖ − ‖), т.ч. ≠ �−1 �Φ� −1 (), −1 ( )��� т.к. −1 −линейно ‖−1 ‖ ⋅ ��Φ� −1 (), −1 ( )���≤‖ − ‖‖ − ‖=Т.к. ≠ и F – взаимнооднозначна, то −1 () ≠ −1 ()‖−1 ‖ ⋅ ��Φ� −1 (), −1 ( )��� ‖ −1 () − −1 ( )‖=⋅≤‖ −1 () − −1 ()‖‖ − ‖1Т.к. ( ) − ( ) ≥ ‖ − ‖ ⇒ ‖ −1 () − −1 ( )‖ ≤ 2‖ − ‖2−1 ( ) −1 ( )‖[Φ(, )]‖��Φ� , ���−1−1≤ 2 ⋅ ‖ ‖= 2 ⋅ ‖ ‖ ⋅�⎯� 0−1−1‖ () − ( )‖‖ − ‖ →Т.к. Φ(, ) = (‖ − ‖); → ⇔ → Следовательно, −1 (Φ� −1 (), −1 ( )� = (‖ − ‖)непрер.,т.к.
−непр. −1⎡�����������⎤⎢⎥−1 () �⎥( −1 )′ () = ⎢ ′ � − непрерывна =�����⎢⎥непрер.подоказанному ⎥⎢⎣⎦> −1 − непрерывна и дифференцируемаДополнение к теореме.Пусть F имеет непрерывные частные производные k-ого порядка (k>1).Тогда обратная −1 также k раз непрерывно дифференцируема.(Остальные условия сохраняются)∎Доказательство.−1По индукции с помощью равенства ( −1 )′ () = � ′ � −1 ()�� . F – (k+1)непрерывно дифференцируема, значит −1 – k – непрерывнодифференцируема.По индукции предполагаем −1 – k непрерывно дифференцируема ⇒ ′ ∘ −1 - суперпозиция 2-x непрерывно дифференцируемых функций⇒ ′ ∘ −1 – k раз непрерывно дифференцируема ⇒ ( ′ ∘ −1 )−1 также kраз непрерывно дифференцируема ⇒ ( −1 )′ - k раз непрерывнодифференцируема ⇒ −1 – (k+1) раз непрерывно дифференцируема.∎Переписывать применение, 2 замечания и пример у меня не хватиттерпения, если оно вообще нужно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
