1610906280-58a805c0f28e2c985192966a2f3bd6d2 (824374), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ââåäåíèåçàïèñü A ⊂ B . Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãîìíîæåñòâà.Ïðèìåðû. ∅ ⊆ A, {0, 1} ⊆ {0, 1}, {0, 1} ⊆ {0, 1, 2, 3}.Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ðàâíû òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà îäíîâðåìåííî A ⊆ B è B ⊆ A.æå.Íà ìíîæåñòâàõ îïðåäåëÿþòñÿ íåêîòîðûå îïåðàöèè, îïèñûâàåìûå íè-Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿîáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ B è C , åñëè A ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èç ìíîæåñòâ B , C . Äëÿîáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ B è C èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå B ∪ C , òî åñòüA = B ∪ C.Ïîíÿòèå îáúåäèíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå è äëÿ ñåìåéñòâ ìíîæåñòâ.Ïóñòü A ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî. Òîãäà îáúåäèíåíèåì ñåìåéñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òå èòîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èçS ìíîæåñòâB ∈ A. Îáúåäèíåíèå ñåìåéñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî, êàê A.Ïðèìåðû.[{A, B} = A ∪ B,[{{0}, {0, 1}, {1, 2}} = {0, 1, 2}.Îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ B è C , åñëè A ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîì èç ìíîæåñòâ B , C . Äëÿ ïåðåñå÷åíèÿìíîæåñòâ B è C èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå B ∩ C , òî åñòü A = B ∩ C .Ïîíÿòèå ïåðåñå÷åíèÿ àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è äëÿ ñåìåéñòâ ìíîæåñòâ. Ïóñòü A ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî.Òîãäà ïåðåñå÷åíèåì ñåìåéñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òåè òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîìT èç ìíîæåñòâ B ∈ A.Ïåðåñå÷åíèå ñåìåéñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî A.Ïðèìåðû.\{A, B} = A ∩ B,1.1. Íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ11\{{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}} = {0}.Åñëè äëÿ ìíîæåñòâ A è B âûïîëíåíî A∩B = ∅, òî A è B íàçûâàþòñÿíåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè.Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ. Ïóñòü A è B äâà ìíîæåñòâà. Èõ ðàçíîñòüþA \ B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò A èîäíîâðåìåííî íå ïðèíàäëåæàò B .
Ïðèìåð: {0, 1, 2} \ {2, 3, 4} = {0, 1}.Äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà.  ñëó÷àå, êîãäà ÿâíî èëè íåÿâíî ïîäðàçóìå-âàåòñÿ, ÷òî âñå ýëåìåíòû, ñ êîòîðûìè ìû èìååì äåëî â äàííûé ìîìåíò,ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè íåêîòîðîãî îáúåìëþùåãî ìíîæåñòâà R, è âñå ðàññìàòðèâàåìûå íàìè â äàííûé ìîìåíò ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè R, ìîæíî ãîâîðèòü î äîïîëíåíèè A ìíîæåñòâà A, ïîä êîòîðûìïîäðàçóìåâàåòñÿ íà ñàìîì äåëå ðàçíîñòü R \ A, èíà÷å ãîâîðÿ, A = R \ A.Ïðè óïîòðåáëåíèè ïîíÿòèÿ äîïîëíåíèÿ íóæíî âñåãäà ÷åòêî ïðåäñòàâëÿòü, îòíîñèòåëüíî êàêîãî ìíîæåñòâà R ðàññìàòðèâàåòñÿ ýòî äîïîëíåíèå.Ïîíÿòèå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà. Ñåìåéñòâî P , ñîñòîÿùååèç ìíîSæåñòâ, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà A åñëè A = R è ëþáûåýëåìåíòû B, C ∈ R ëèáî ñîâïàäàþò ëèáî èìåþò ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, òîåñòü äëÿ ëþáûõ B, C ∈ R âåðíî â òî÷íîñòè îäíî èç äâóõ óñëîâèé: ëèáîB = C ëèáî B ∩ C = ∅.Ïðèìåð.
Ïóñòü R = {{0, 1}, {2}, {3, 4, 5}} è A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Òîãäà R ðàçáèåíèå A.Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â òåîðèè ìíîæåñòâ ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü ïî÷òè âñþ ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó. Íà ýòîìïóòè âàæíî óìåòü èíòåðïðåòèðîâàòü ðàçíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè. Îäíà èç íèõ ýòî óïîðÿäî÷åííûå ïàðû.Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a è b îïðåäåëèì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó èç ýëåìåíòîâ a è b êàê ìíîæåñòâî {{a, b}, {a}}, îáîçíà÷àåìîå îáû÷íî (a, b).Ýòî îïðåäåëåíèå ñïåöèàëüíî âûáðàíî òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð:Ïðåäëîæåíèå 1.1.1 Èç ðàâåíñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (a0 , b0 ) = (a1 , b1 )ñëåäóåò, ÷òî a0 = a1 è b0 = b1 .12Ãëàâà 1. ÂâåäåíèåÄîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî (a0 , b0 ) = (a1 , b1 ).
Ýòî îçíà÷àåò,÷òî{{a0 , b0 }, {a0 }} = {{a1 , b1 }, {a1 }}.(1.1)Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:Ñëó÷àé 1. a0 = b0 . Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1.1) ñîäåðæèò ðîâíîîäèí ýëåìåíò (à èìåííî {{a0 }}). Çíà÷èò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè ñîäåðæèò ðîâíî îäèí ýëåìåíò. Îòñþäà ïîëó÷èì ðàâåíñòâî {a1 , b1 } = {a1 }.Èç ýòîãî âûâîäèì, ÷òî a1 = b1 , è (1.1) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå{{a0 }} = {{a1 }},Îòêóäà ïîëó÷àåì {a0 } = {a1 } è íàêîíåö a0 = a1 . Ýòî âëå÷åò b0 = a0 =a1 = b1 , ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.Ñëó÷àé 2. a0 6= b0 .
Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1.1) ñîäåðæèò äâàýëåìåíòà, îäèí èç êîòîðûõ äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, à âòîðîé îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêèìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàåò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè (1.1). Åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ñëó÷àåìçäåñü ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ a0 = a1 è b0 = b1 .¤Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà ìîæíî çàáûòü êîíêðåòíóþ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííóþ ñòðóêòóðó óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (a, b) è ïîìíèòü òîëüêî îñíîâíûå ñâîéñòâà ýòèõ ìíîæåñòâ, âûðàæàåìûå ïðåäëîæåíèåì 1.1.1.Óïîðÿäî÷åííûå nêè.
Ïî àíàëîãèè ñ óïîðÿäî÷åííûìè ïàðàìè ìîæíîïî èíäóêöèè ââåñòè è óïîðÿäî÷åííûå nêè äëÿ ëþáîãî n = 2, 3, 4, . . .,ïîëàãàÿ(a1 , a2 , . . . , an , an+1 ) = ((a1 , a2 , . . . , an ), an+1 ).Èç ñâîéñòâ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ñëåäóåò ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâîóïîðÿäî÷åííûõ nîê:äâå óïîðÿäî÷åííûå nêè (a1 , a2 , . . . , an ) è (b1 , b2 , . . .
, bn ) ðàâíûòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîïàðíî ðàâíû èõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû: a1 = b1 , a2 = b2 , . . . an = bn .Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ. Ïóñòü A B ìíîæåñòâà. Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîA × B = {(a, b) | a ∈ A è b ∈ B}.1.1. Íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ13Ïðèìåð. Ïóñòü A = {0, 1}, B = {1, 2}. ÒîãäàA × B = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}.Ïîíÿòèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî n ìíîæåñòâ, n > 2, ñëåäóþùèì îáðàçîì:A1 × A2 × .
. . × An+1 = (A1 × A2 × . . . × An ) × An+1 .Ìîæíî óáåäèòüñÿ ïî èíäóêöèè, ÷òîA1 × A2 × . . . × An = {(a1 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 è . . . è an ∈ An }.Óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå An äëÿ ìíîæåñòâà A. . × A},| × .{zn ðàçäëÿ n > 1. Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî A1 = A.Îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâàõ. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâîR ⊆ A1 × A2 × . . . × Aníàçîâåì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ A1 × A2 × . . . × An .Åñëè (x1 , .
. . , xn ) ∈ R, òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýëåìåíòû x1 , . . . , xníàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè R è â ðÿäå ñëó÷àåâ çàïèñûâàòü ýòîò ôàêò òàê:R(x1 , . . . , xn ).Îòíîøåíèå R ⊆ An íàçûâàåòñÿ nàðíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå A. Ïðè n = 1 îíî íàçûâàåòñÿ óíàðíûì , ïðè n = 2 áèíàðíûì ,ïðè n = 3 òåðíàðíûì .Ïóñòü R0 ⊆ A × B è R1 ⊆ B × C .
Òîãäà êîìïîçèöèåé îòíîøåíèé R0è R1 íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåR0 ◦ R1 = {(x, z) | (x, y) ∈ R1 è (y, z) ∈ R2 }.Ó íåêîòîðûõ íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ ñâîéñòâ áèíàðíûõ îòíîøåíèé åñòü ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå èç íèõ. ÏóñòüR ⊆ A2 .Ðåôëåêñèâíîñòü. Îòíîøåíèå R ðåôëåêñèâíî, åñëè äëÿ ëþáîãî a ∈ Aâûïîëíåíî (a, a) ∈ R.Ñèììåòðè÷íîñòü. Îòíîøåíèå R ñèììåòðè÷íî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b ∈A èç (a, b) ∈ R ñëåäóåò (b, a) ∈ R.14Ãëàâà 1.
ÂâåäåíèåÒðàíçèòèâíîñòü. Îòíîøåíèå R òðàíçèòèâíî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈A èç (a, b), (b, c) ∈ R ñëåäóåò (a, c) ∈ R.Àíòèñèììåòðè÷íîñòü. Îòíîøåíèå R àíòèñèììåòðè÷íî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b ∈ A èç (a, b), (b, a) ∈ R ñëåäóåò a = b.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî áèíàðíîå îòíîøåíèå R ⊆ A ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî.Ïóñòü R îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A.
Êëàññîìýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòà a ∈ A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî [a]R = {x ∈A | (x, a) ∈ R}.Âàæíûì ñâîéñòâîì îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿÒåîðåìà 1.1.2 (Òåîðåìà î ðàçáèåíèè) Ïóñòü R îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A. Òîãäà ñåìåéñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè {[a]R | a ∈ A} îáðàçóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A.Èíà÷å ãîâîðÿ, ëþáûå äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòîâ ëèáî ñîâïàäàþò ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è îáúåäèíåíèå âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòèåñòü âñå ìíîæåñòâî A. ¤Áèíàðíîå îòíîøåíèå R ⊆ A2 íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì íàA, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. ×àñòè÷íûéïîðÿäîê íà A íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì åñëè äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Aâûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé: (a, b) ∈ R, (b, a) ∈R.Ïðèìåðû. R = {(x, y) | x, y ∈ N è x 6 y} ëèíåéíûé ïîðÿäîê, àD = {(x, y) | x, y ∈ N è x äåëèò y} ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê, êîòîðûé íåÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì.Ïóñòü R ⊆ A2 áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå A.
Îáðàòíûì êíåìó íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåR−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.Ïðèìåð. Ïóñòü R = {(1, 2), (2, 3)}. Òîãäà R−1 = {(2, 1), (3, 2)}.Îòîáðàæåíèÿ, ôóíêöèè. Îòíîøåíèå F ⊆ A × B íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷-íûì îòîáðàæåíèåì èç A â B åñëè äëÿ êàæäîãî a ∈ A ñóùåñòâóåò íåáîëåå îäíîãî b ∈ B òàêîãî, ÷òî (a, b) ∈ F . Ïðè ýòîì, åñëè (a, b) ∈ F , òî b1.1. Íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ15íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì F íà a è, ïîñêîëüêó b îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ïîa, îíî îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ F (a), ò.å., b = F (a).Åñëè ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî (x, y) ∈ F , òî ãîâîðÿò, ÷òî çíà÷åíèåF (x) îïðåäåëåíî è çàïèñûâàþò ýòî êàê F (x) ↓.
Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òîçíà÷åíèå F (x) íå îïðåäåëåíî çàïèñûâàåòñÿ, êàê F (x) ↑.Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòè÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîdom (F ) = {a | F (a) ïðåäåëåíî}.Åãî îáëàñòüþ çíà÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîrange (F ) = {F (a) | F (a) îïðåäåëåíî}.Åñëè dom (F ) = A, òî F íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì èç A â B . Óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå òåðìèí ôóíêöèÿ èç A â B .Åñëè f îòîáðàæåíèå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà âèäà An â A, òî îáû÷íîãîâîðÿò, ÷òî f nàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå A (îáû÷íî ïðè n =1 ãîâîðÿò óíàðíàÿ, ïðè n = 2 áèíàðíàÿ, ïðè n = 3 òåðíàðíàÿîïåðàöèÿ).Åñëè range (F ) = B , òî F íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì íà B .×àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå F èç A â B íàçûâàåòñÿ ðàçíîçíà÷íûì åñëèäëÿ ëþáîãî b ∈ B ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî a ∈ A òàêîãî, ÷òî b = F (a).Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå F èç A â B ÿâëÿåòñÿ ðàçíîçíà÷íûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòíîøåíèå F −1 ÿâëÿåòñÿ÷àñòè÷íûì îòîáðàæåíèåì èç B â A.Åñëè F ðàçíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èç A íà B , òî îíî íàçûâàåòñÿâçàèìíîîäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì èç A íà B .
 ýòîì ñëó÷àå ëåãêîïîêàçàòü, ÷òî F −1 âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èç B íà A.Çàïèñü F : A → B áóäåò îáîçíà÷àòü,÷òî F îòîáðàæåíèå èç A â B ,à çàïèñü F : A 99K B áóäåò îáîçíà÷àòü, ÷òî F ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèåèç A â B .Ïóñòü F : A 99K B è G : B 99K C äâà ÷àñòè÷íûõ îòîáðàæåíèÿ. Èõêîìïîçèöèåé íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå F ◦ G. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòîìñëó÷àå îòíîøåíèå F ◦ G ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå èç A â C . Çàìåòèì,÷òî êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé âñåãäà ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì.Åñëè èìååòñÿ íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå f , çíà÷åíèÿìè êîòîðîãî äëÿýëåìåíòîâSx ∈ A ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàS Bx , ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå x∈A Bx äëÿ ìíîæåñòâà {Bx | x ∈ A}.16Ãëàâà 1.
Ââåäåíèå1.2 Àëôàâèòû è ÿçûêè×òî òàêîå ÿçûê âîîáùå âîïðîñ î÷åíü íåïðîñòîé, ýòîìó âîïðîñó ïîñâÿùåíû èññëåäîâàíèÿ â öåëîì ðÿäå íàóê. ßçûêè áûâàþò ðàçíûìè. Ýòîè îáû÷íûå ÿçûêè, ñëóæàùèå äëÿ îáùåíèÿ ëþäåé, áþðîêðàòè÷åñêèå âàðèàíòû åñòåñòâåííûõ ÿçûêîâ, ïðîôåññèîíàëüíûå æàðãîíû, ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ÿçûêè äëÿ ñâÿçè ìåæäó êîìïüþòåðàìè, ÿçûêè æåñòîâ,ÿçûêè èêîíîê íà äèñïëåå êîìïüþòåðà, ÿçûê äîðîæíûõ çíàêîâ, âèäèìîìîæíî â êàêîìòî ñìûñëå ãîâîðèòü î ÿçûêå èñêóññòâà è ò.ï.Çäåñü ìû áóäåì èçó÷àòü ôîðìàëüíûå ÿçûêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
