гыг (817241), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Если ряд сходится, то lim n  an  0 .an  S n  S n1 .Доказательство.Пустьрядсходится,тогдаlim n an  lim n S n  lim n S n1  S  S  0 .Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.Достаточный признак расходимости. Если lim n an  0 , то ряд расходится.Доказательство (от противного). Пусть ряд сходится. Тогда по необходимомупризнаку сходимости ряда lim n  an  0 Противоречие с lim n an  0 .43Пример. Ряд3n  2 2n  1n 1Пример Рядрасходится, так как lim n a n 302n 11   расходится, так как an  e  0 .nn 1 Критерий Коши сходимости ряда.(Это – критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда).Для того чтобы ряд сходился (последовательность частичных сумм имела конечныйпредел), необходимо и достаточно, чтобы   0 N , n  N , p  0 S n p  S n   .Критерий Коши расходимости ряда.

(отрицание критерия Коши)Для того чтобы ряд расходился необходимо и достаточно,  0 N , n  N , p  0 S n p  S n   .Пример. Рассмотрим гармонический рядчтобы1nn 1 1 1  1 1111111| S n  p  S n | 1    ...   ...  ...  1    ...    ...n n 1n pn  n 1n p 2 3  2 311p11 ... , если выбрать p  n . Удалось для   , N, n выбрать p  n ,n pn p n p 22чтобы S n p  S n   . Следовательно, гармонический ряд расходится.Свойства сходящихся рядов.1.

Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный рядбудет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.Доказательство.ДлявторогорядачастичнаясуммабудетравнаS 2 n  ka1  ...  kan  k a1  ...  an   kS1 n . По теореме о предельном переходе вравенстве S 2  kS1 .2.

Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и суммаего не изменится.Сгруппируем члены ряда, например, такb1  a1  ..  ak , b2  ak 1  ...  al , ...bn  as  ...  a p ... . Видно, что частичные суммыгруппированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательностичастичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то иподпоследовательность сходится к тому же пределу.3. В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членовa1 ...ak (a1  ...  ak  B) .

Полученный ряд будет сходиться, а его сумма будет меньшесуммы исходного ряда на B.44Запишем частичные суммы второго рядаS 2 1  ak 1  S1 k 1  B,...S 2 n  ak 1  ...  ak n  S1 k n  B . По теореме о предельномпереходе в равенстве S 2  S1  B .Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов,называется остатком ряда и обозначается Rk an  k 1n4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда.(Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).Поэтому сходимость ряда можно исследовать, «начиная с некоторого n».5.

Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой,равной сумме (или разности) сумм исходных рядов.Рассмотрим два сходящихся ряда an иn 1 bn . Рассмотрим рядn 1cn 1n, гдеcn  an  bn . S c n  S a n  S b n . Переходя к пределу в равенстве, получим S c  S a  S b .Примеры.1. Ряд –5+7-8+100+1+0,5+0,25+0,125+… сходится. В самом деле, отбросив первыхчетыре члена ряда (свойства 3,4), получим сходящуюся бесконечно убывающуюгеометрическую прогрессию1 1 1 1 1 12. Ряд 1  1        ... расходится. Он представляет собой сумму двух2 2 4 3 8 4рядов: сходящейся геометрической прогрессии (нечетные члены) и гармоническогоряда (четные члены).

Если бы этот ряд сходился, то, вычитая из него почленно11сходящийся ряд 1  0   0   ... , мы должны были бы по свойству 5 получить24сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно,исходный ряд расходится.1113. Ряд ...  ... сходится. Рассмотрим сходящийся ряд1 2 2  3n(n  1) 1 1  1 1 1 11            ...

      ...  1 . Группируем его члены 2 2  3 3 n n11 1  1 1 ... , получаем исходный ряд. Следовательно, он1        ... 1 2 2  3 2  2 3сходится (свойство 2), и его сумма равна 1.Лекция 11 Знакоположительные ряды.Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены – положительные(неотрицательные) числа.an 1nan  0Основная и довольно приятная особенность знакоположительных рядов в том, чточастичные суммы ряда представляют собой неубывающую последовательность.45S n  S n1  an  S n1 , т.к.

an  0.Поэтому достаточно проверить, что последовательность частичных сумм ограниченасверху, чтобы по теореме Вейерштрасса утверждать, что последовательность частичныхсумм имеет конечный предел, т.е. ряд сходится.На этом основаны, практически, все признаки сходимости рядов.Ряд может сравниваться с несобственным интегралом (интегральный признак Коши), сдругими рядами (признаки сравнения рядов), в частности, со сходящейся геометрическойпрогрессией (признак Даламбера, радикальный признак Коши).Каждый признак можно сравнить с увеличительным стеклом.

У каждого признака естьсвоя область применения, более широкая или более узкая (как поле зрения линзы) и своясила. Одни признаки сильнее, позволяют различать слабо сходящиеся или слаборасходящиеся ряды, но имеют узкую область применения (например, интегральный признакКоши). Другие, наоборот, имеют широкую область применения, но довольно слабы, ряды,близкие к границе сходимости, с их помощью не различишь (например, признаки Даламбераи Коши (радикальный)).Пока в библиотеке рядов, которые мы можем использовать для сравнения, всего дваряда: сходящийся ряд - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, известная еще изшколы, и расходящийся гармонический ряд, полученный по критерию Коши.Заметим, что критерий Коши (как критерий сходимости), вообще, самый сильныйинструмент при исследовании сходимости ряда, но его область применимости узка.Интегральный признак Коши, основанный на сравнении с несобственным интегралом –очень сильный признак.

В самом деле, если аппроксимировать непрерывнуюподинтегральную функцию кусочно-постоянной, то площадь под графиком функции(интеграл) и площадь под графиком кусочно-постоянной функции будут различаться наконечное число.Интегральный признак Коши.Пусть при x  1 определена непрерывная, невозрастающая функция f(x), такая, чтоf (n)  an , lim x f ( x)  0 .f(x), ana1a2Тогда рядan-1тогда,an 1когдаnсходится тогда и толькосходитсянесобственныйanинтеграл f ( x)dx .11 2n-1xnnДоказательство. f ( x)dx- это площадь под графиком функции f (x) при 1  x  n .1Так как a2  a3  ...  an  S n  a1 (сумма площадей прямоугольников) ограничиваетплощадь под графиком функции снизу, а a1  a2  ...

 an1  S n  an ограничивает ее сверху,nто S n  a1   f ( x)dx  S n  a n .146n11. Достаточность. Если интеграл сходится, то S n  a1   f ( x)dx  a1  f ( x)dx ,поэтому последовательность S n  ограничена сверху. Так как эта последовательность неубывает, то по теореме Вейерштрасса  lim n S n  S . Поэтому рядaНеобходимость. Если рядn 1признакусходимостирядаnan 1nсходится.сходится, то  lim n S n  S , а по необходимомуan  0приn   .Поэтомупоследовательностьn f ( x)dx  (неубывающая, так как f ( x)  0 ) ограничена сверху. Следовательно, по теореме1n11Вейерштрасса  lim n  f ( x)dx  f ( x)dx , т.е. несобственный интеграл сходится.Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается отпротивного.Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся«одновременно», т.е.

один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то идругой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.b11dxlimdx  lim b ln b  ln 1   - интеграл расходится, поэтому иb  1 xx1гармонический ряд расходится.1Пример. Рассмотрим «ряды Дирихле»  p . Название взято в кавычки, такт 1 nнеизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.dx1 p1 x p  lim b b  1  p  1 .

Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится приP<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следуетвывод1  сходится при p  1.pт 1 n расходится при p  1Интересно, что рядn 111 n ln n ,  n ln n ln ln nn21 n lnqnсходится при q  1 и расходится при q  1 , интегралырасходятся (проверьте по интегральному признаку).n 3Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимисярядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можноиспользовать как эталонные при сравнении рядов.

Сравнивать ряды можно с помощьюпризнаков сравнения.Признаки сравнения рядов.Первый признак сравнения рядов.47Пусть выполнено неравенство an  bn n . Тогда из сходимости рядасходимость рядаan 1na, а из расходимости рядаn 1nbnn 1следует расходимость рядаследуетbn 1n.Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияетна сходимость и неравенство an  bn можно проверять «начиная с некоторого n». Поэтомуэту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но еевсегда надо иметь в виду.bДоказательство. 1) Пусть рядn 1nсходится.

Тогда выполнено неравенствоS a n  S b n  S b n . Поэтому последовательность частичных сумм S a n ограничена сверхучислом S b . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса lim n S a n  S a  S b . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельномпереходе в неравенстве.2) Пусть ряд a n расходится. Если рядn 1bn 1n a n сходится. Противоречие. Следовательно, рядn 1Пример.

Характеристики

Список файлов книги