14 вопросов (802941)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Ортогональные системы функций на отрезке [a; b] (в частности на [-l; l] и [−π, π]. Примерыортогональных систем.Если в Е (евклидово пространство) задана последовательность функций {φi} для которыхвыполняется следующее условие:( ,0, ≠ φ ) = { ≠ 0, = то {φi} называется ортогональной системой функций.*Если = 1 для ∀ = , то {φi} называют ортонормированной системой.Примеры:Тригонометрическая система функций (ортогональная на отрезке [−π, π])Ортонормированная -(система ортогональная на отрезке [-l; l])(на отрезке [0, l])(на отрезке [0, l])2. Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Эйлера-Фурье.Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом T в видефункционального ряда:Функция f(x) непрерывна на [−π, π] как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.Проинтегрируем выражение почленно от [−π, π].Откуда находимДалее домножим равенство почленно на cosnx или sinnx.

Полученные ряды также будут сходитьсяравномерно и их почленное интегрирование с использованием свойства ортогональности функцийсистемы даетОткуда находим3. Формулировка теоремы Дирихле.(определение Шумилова) Пусть функция f(x) є E0 [−l, l] кусочно-непрерывная и кусочномонотонна на [−l, l]. Тогда ее тригонометрический ряд сходится к ней в каждой точкенепрерывности, а в точках разрыва сходится значения, определяемые выражениями: ( ) =( + 0) + ( − 0)2На границе: () = () =(определение из учебника) ( + 0) + ( − 0)24.

Тригонометрический ряд Фурье для четной и нечетной функции.а) Если функция f(x) четная, то∫ ( ) = 2 ∫ ()−02 2 0 = ∫ (), = ∫ ( ), = 0 0 0Тогда ряд Фурье примет вид ( ) =02πnx+ ∑∞=0 cos()б) Если функция f(x) нечетная, то∫ () = 0−2 0 = 0, = 0, = ∫ ( ) 0Тогда ряд Фурье примет вид ( ) = ∑∞=0 sin(πnx)5. Разложение в ряд Фурье по синусам или косинусам функций заданных на [0; l]. Графиксуммы ряда Фурье в этих случаях.Если доопределять функцию четным образом, то разложение в ряд Фурье будет происходить покосинусам, если нечетным образом – по синусам.6. Алгебраическая форма записи комплексного числа (к.ч.).

Действия над к.ч. валгебраической форме.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.ДелениеЧастное комплексных чисел 2^1 =сопряженное число к знаменателю:+ iyi и+ ^У2 находится путем домножения числителя и знаменателя наZi _ Xi + iyi _ (,-ri + гу1)(ж2 ~ iy<2) _ xY • х2 + ?д • уч*2х2+'1у2(х2 + 1У2)(х2 - iy2)х2 + у2• у2 - Xj ■ уч'х?2 + у?2При z2 ф 07. Геометрическое представление к.ч. Плоскость к.ч.

Модуль и аргумент к.ч.Элементы поля С комплексных чисел можно отождествитьс точками плоскости, рассматривая действительную х и мнимую у части комплексного числа x + iy какУ1с z=x+:y.координаты тонки М((х\ у) в некоторой‘У .......... 1фиксированной прямоугольной системе ко­О:хординат Оху (рис. 1.1). В этом случае плос­z«x-iyкость хОу называют комплексной плоско­Рис. 1.1стью (или плоскостью комплексных чисел)Полярными координатами точки, изображающей комплекс­ное число z, являются полярный радиус г, равный длине радиусвектора точки z, и полярный угол р, равный углу между поло­жительным направлением оси Ох и радиус-вектором точки z(см. рис. 1.2).Полярные координаты г и <р точки, изображающей ком­плексное число z на комплексной плоскости, называют соот­ветственно модулем и аргументом комплексного числа и обо­значают |z| и Argz.

Нетрудно увидеть, что|z| = г = \А2 + У2,tg(Argz) = tg<p=-.(1.14)При х = 0, у 0 имеем мнимое число z — :у. В этом случаеаргумент комплексного числа имеет значения Arg z = |k € Z, при у > 0 и Arg z =* — ^ + 2тгЛ при у < 0. Поэтому второеравенство (1.14) можно считать верным и при х = 0, у 0. Длякомплексного числа z = 0 аргумент не определен.Главное значение аргумента комплексного числа, обознача­емое argz, есть значение аргумента комплексного числа, удо­влетворяющее условию— ir<argz^x.(1-16)8. Тригонометрическая форма записи к.ч. Действия над к.ч. в тригонометрической форме.Формулы Муавра для возведения к.ч. в целую положительную степень и для извлечениякорня целой положительной степени из к.ч.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.Фактически, здесь φ = arg(z).9.

Комплексные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Исследование рядов насходимость.1. Выражение вида, где— последовательностькомплексных чисел, называется числовым рядом с комплексными членами (обозначается).Критерий Коши. Для сходимости рядабыло найти, такое, что для любогонеравенство.необходимо и достаточно, чтобы для любогои любогоНеобходимый признак сходимости ряда. Если рядОтсюда следует, что условиеможно(натурального) выполнялосьсходится, то.является достаточным условием расходимости ряда.Исследование сходимости ряда с комплексными членами можно свести к соответствующей задачедля рядов с действительными членами.Для сходимости ряда с комплексными членами необходимо и достаточно, чтобы сходились два рядас действительными членами:и,причем10. Степенные ряды.

Теорема Абеля. Круг сходимости.Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида,- постоянные комплексные числа (коэффициенты,гдеряда),- фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Длялюбого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплекснымичленами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то этаточка называется точкой сходимости ряда.

Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точкусходимости - точку. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.11. Функция комплексного переменного (к.п.). Геометрическая интерпретация.Действительная и мнимая части функции к.п.Для геометрической интерпретации ФКП используют поверхность Римана.Функцию комплексной переменной можно записать в виде:, гдеи– две функции двух действительных переменных.Функцияназывается действительной частью функцииФункцияназывается мнимой частью функции..12.

Предел функции к.п. в точке, непрерывность функции к.п., производная функциик.п. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Аналитические функции.13. Основные элементарные функции к.п., выделение их действительных и мнимых частей;аналитичность этих функций. Связь между тригонометрическими и гиперболическимифункциями. Вычисление значений элементарных функций.2. Показательная функцияf(z) = e= = ex+iy = ex (cos у + i sin у).Показательная функция является периодической с периодом2 Tri, то естье'+1М= Q-= о,±1,±2,...) -Для показательной функции справедливы соотношения:e-i +S2 = е’1 eZ2,е’1 _S2 = е'1 : е'2 .3. Тригонометрические функции:еJz -е.sin Z =------------,2zДляе +е^~iJ-Icos z =------------ ,2тригонометрическихsin ztgz =-------,coszфункцийостаютсяctgz =cos zsineвсилевсеизвестные формулы тригонометрии.Заметим, что sinz и cosz не ограничены в комплекснойплоскости.

Например, cos8/ = ———• > 1400.4. Гиперболические функции,e~ -e~sh z =----------- ,2.e' + e—z~ch z =------------ ,2,shzth z =------ ,ch z,chzcth z =-----sh zудовлетворяют следующим соотношениям:ch2z = ch2z —sh2 z,ch2z-sh2z = l,sh2z = 2shzchz,ch(—z) = chz,ch(zi+z2) = chzi chz2+shzi shz2,sh(—z) = —shzКрометоготригонометрические,ит.д.гиперболическиепоказательная функции связаны соотношениями:sin z - -i sh iz,shz = —z'sin iz,cosz = ch iz,ch z - cos iz,tg z = -i th iz,thz = -itgiz,etg z - i cth iz,cth z = i etg iz,sh z + ch z = e~.и14.

Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.Для восстановления функции по ее действительной или мнимой части необходимо отыскать еевторую часть, используя условия Коши-Римана:1) Если известна мнимая часть = ∫ = ⋯ + ()= (… )′ + ′ () = −Из этого выражения находим ′ () и подставляем в действительную часть2) Если известна действительная часть=∫ = ⋯ + ()= (… )′ + ′ ( ) = −Из этого выражения находим ′ ( ) и подставляем в мнимую часть.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)