Диссертация (792654), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поскольку граничныеусловия совпадают, то Bn=0 и, а прогиб пластины описываетсяследующим выражением:[∑Длянахождения(критическихсилN1иN2)(3.5.7)необходиморешитьхарактеристическое уравнение (3.2.6) относительно неизвестных сил подставив внего последовательно корни, аналогично примерам 3.1.1, 3.1.2, 3.1.4.В таблице № 3.5.1 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N1 (N2=0).Таблица № 3.5.1 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической19.20934.69942.05704.6994силы N1.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.5.2).78=1.0=0.5=2.0=1.5Рисунок 3.5.2 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.5.2 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N2 (N1 = 0).Таблица № 3.5.2 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической44.624210.08153.76241.9518силы N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.5.3).=1.079=0.5=1.5=2.0Рисунок 3.5.3 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.5.3 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой во взаимно перпендикулярном направлении силами N1=N2=N.Таблица № 3.5.3 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критических18.80134.69942.02331.1323сил N1 и N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.5.4).=1.0=0.5=1.5Рисунок 3.5.4 – Формы потери устойчивости.=2.080Как следует из полученных результатов, кривизна в направлении осиимеетзнак, противоположный знаку кривизны в направлении оси , что следует из тогофакта, что прогиб W является тригонометрической функцией от, ногиперболической - от .
Таким образом, если при потере устойчивости пластиныее кривизна по осинаправлена вверх, то по осиее кривизна направлена вниз,как это показано изолиниями на рисунках. Такой тип искривления поверхностиназывается антиклассическим или седлообразным.3.1.6 Пластинка жестко защемлена по трем сторонам и одна сторонасвободна.Теперь рассмотрим задачу устойчивости сжатой пластинки, три стороныкоторой жестко защемлены, а одна свободна (рисунок 3.6.1). Граничные условияна поперечных сторонах такой пластинки не могут быть удовлетворены точно.Посколькуусловиянапластинкинагрузкаиграничныепродольныхсторонахсовпадаютсусловиямирассмотренными в примере 3.1.3, решениезадачи, удовлетворяющее этим граничнымусловиямпластинки,Рисунок 3.6.1 – Расчетная схема.напродольныхопределяетсясторонахвыражением(3.3.4):∑(3.6.1)[(())]а характеристическое уравнение для определения показателя степени rn формулой(3.3.3):81[(где Си, а)](3.6.2)- определяются по формулам(3.1.7).Как было показано в § 2.4.2 коэффициенты могут быть найдены точно, если вэтих сечениях заданы значенияиусловиях (3.6.3) коэффициентыилии.
При заданных граничныхмогут быть найдены приближенноиспользуя метод сил из граничных условий на поперечных сторонах пластинкипри:(3.6.3)Выберем основную систему метода сил, для чего на поперечных краяхпластинки врежем шарнир и приложимпоканеизвестныйраспределенныймоментсоответствующийсимметричнойформепотериустойчивости (рисунок 3.6.2), гдепредставимввидебесконечноготригонометрии-ческогонеизвестнымирядаскоэффициентамиРисунок 3.6.2 - Основная система.∑Граничные условия на краях придля основной системы методасил:(3.6.4)Чтобы основная система была эквивалентна заданной, полученное решение(3.6.1) должно удовлетворять следующим граничным условиям на поперечныхкраях пластинки:821) при ξ=0:∑∑(3.6.5)∑η2) при ξ= :∑∑(3.6.6)∑В характеристическое уравнение (3.6.2) входят неизвестные значениякритических сил N1 и N2 и бесконечное множество комплексных корней rn.Поэтому необходимо получить дополнительные уравнения, которые, решаясовместно с характеристическим, позволят определить значения критических силN1 и N2 и построить изогнутую форму равновесия пластинки.Нетрудно заметить, что первые граничные условия на краях ξ=0, ξ= (3.6.3) восновной системе и в заданной пластинке (3.6.4) тождественны, следовательновыполняются точно.
Отсюда следует, что второе уравнение для определениякритических сил можно получить из удовлетворения второго граничного условият.е. из условия равенства нулю угла поворота.Таким образом:для стороны ξ=0:∑Для стороны ξ= :(3.6.7)83∑(3.6.8)Используя, свойство обобщенной ортогональности (2.4.7), полученное вглаве 2, для сжатых пластин, получим формулу для определения неизвестныхкоэффициентов Bn:∫(3.6.9)∫(где)∑(3.6.10)Введя следующее обозначение:∫(3.6.11)И подставив (3.6.9) и (3.6.11) в (3.6.8) получим:∑(3.6.12)∑∑Воспользуемся свойством ортогональности тригонометрических функций, иумножим выражение для нахождения угла поворотапроинтегрируем по∑(3.6.12) наив интервале от 0 до 1.∑∫(3.6.13)84∑∑(3.6.14)∑Проведя некоторые перестановки, получим:∑(∑)(3.6.15)Ограничившись конечным числом членов ряда разложения (3.6.15) по n, m, k,получимсистемуоднородныхалгебраическихуравненийотносительнонеизвестных коэффициентов Еm.Например, для n=m=k=2 выражение (3.6.15) примет вид:{[][][][]Поскольку неизвестные коэффициенты не могут быть равны нулю ((3.6.16),то должен быть равен нулю определитель системы (3.6.15):[] [](3.6.17)[] []Таким образом, уравнение (3.6.15) является вторым уравнением, решаякоторое совместно с характеристическим (3.6.2), определим значения rn и найдемискомый параметр критической сжимающей нагрузки N1 и N2.Ряды, входящие в выражение (3.6.15), быстро сходятся, увеличивая порядоксистемы линейных уравнений (3.6.15), можно более точно определить искомыекритические силы.В таблице 3.6.1 приведены значения критической силы N1 для квадратнойпластинки, сжатой в одном направлении в зависимости от числа членов ряда по n,m, k.85Таблица 3.6.1 - Результаты расчета.Количество членов ряда234по n, m, k.Значение критической24.191224.186724.1845силы N1.Как видно из таблицы 3.6.1 для определения критических сил достаточнодва-три, члена ряда по n, m, k чтобы получить практически точное значениекритической силы.
Значение критической силы при трех членах разложенияотличается на 0.02% от предыдущего.Кроме того, необходимо отметить, что для определения критическихнагрузок желательно брать одинаковое число членов ряда по n, m, k. Припроведении последующих вычислений было взято три члена ряда по n, m, k.Втаблице3.6.2приведенызначениякритическойнагрузкидляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0.
и сжатой в одном направлении силой N1.Таблица № 3.6.2 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической81.665624.063615.332712.3942силы N1.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.6.3).=1.0=0.586=1.5=2.0Рисунок 3.6.3 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.6.3 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N2 (N1 = 0).Таблица № 3.6.3 Рисунок 3.6.3 – Формы потери устойчивости.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической63.889916.81988.15934.6915силы N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.6.4).=1.0=0.5=1.5Рисунок 3.6.4 – Формы потери устойчивости.=2.087В таблице № 3.6.4 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой во взаимно перпендикулярных направлениях силами N1 = N2=N.Таблица № 3.6.4 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критических48.779612.48195.87633.8667сил N1 и N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.6.5).=1.0=0.5=2.0=1.5Рисунок 3.6.5 – Формы потери устойчивости.Таким образом, данный способ решения задачи устойчивости позволяетдостаточноточноопределитьформыпотериустойчивостиизначениякритических сил, ограничившись всего двумя-тремя, членами ряда выражения(3.6.15).883.1.7 Пластинка, шарнирно опертая по двум взаимно перпендикулярнымсторонам, две стороны свободны.Вкачествеследующегопримерарассмотрим пластинку, свободно опертую подвум смежным сторонам, а две остальныесвободны от связей, (рисунок 3.7.1).В рассматриваемом примере граничныеусловия на продольных сторонах пластинкиРисунок 3.7.1 - Расчетная схема.{(3.7.1)совпадают с граничными условиями в примере 3.1.2, поэтому характеристическоеуравнение будет иметь вид:а(С)(3.7.2)и прогиб:∑(3.7.3)где С и(а, определяются по формулам (3.2.4), а)- определяются поформулам (3.1.7).Характеристическое уравнение (3.7.2) содержит неизвестные критическиесилы N1 , N2 и бесконечное множество комплексных корней, поэтому аналогичнопримеру 3.1.6 для нахождения критических сил необходимо получить еще одноуравнение.
Оно может быть получено из удовлетворения однородным условиямна поперечных сторонах пластинки с использованием соотношения обобщеннойортогональности (2.4.7), и метода перемещений, как было показано во второйглаве.Запишем граничные условия на поперечных краях ξ=0, ξ= :(3.7.4)89Закрепим свободный край пластинкипри ξ= вертикальной опорой (рисунок3.7.2) перемещение которой обозначим, гдепредставим в видеразложения в тригонометрический ряд снеизвестными коэффициентами:∑(3.7.5)Рисунок 3.7.2 – Основная система.Каждый член этого ряда удовлетворяет граничным условиям на продольныхсторонах пластинки.Для основной системы метода перемещений граничные условия имеют вид:(3.7.6)Граничные условия на краю ξ=0, в основной системе и в заданнойпластинке тождественны, следовательно выполняются точно, а на поперечнойстороне ξ= совпадает только равенство нулю изгибающего моментаОтсюда следует, что второе уравнение для определения критической силы Nможно получить из удовлетворения второго граничного условия в выражении(3.7.4), а именно из условия на краях ξ=0 и ξ= равенства нулю поперечнойперерезывающей силы.Для стороны ξ=0:∑Для стороны ξ= :[](3.7.7)90[∑](3.7.8)Неизвестные коэффициенты Bn могут быть определены с помощьюсоотношения обобщенной ортогональности (2.4.7), полученное во второй главе:∫[∫∫(](3.7.9))(а)(3.7.10)Подставив (3.7.9) в (3.7.8) и введя обозначение:()окончательно получим:∑[∫ ( ∑())(3.7.11)∫( ∑())]Воспользуемся свойством ортогональности тригонометрических функций,умножим выражение (3.7.11) наи проинтегрируем пов интервале от0 до 1.В итоге получим:∑[ ∫( ∑())(3.7.12)91∫( ∑())]∫Преобразовав (3.7.12), получимуравнений относительно∑∑ (систему однородных алгебраических:∫()(3.7.13)∫()∫)Ограничившись конечным числом членов ряда разложения по n, m, k,аналогично примеру 3.1.6, получим систему однородных алгебраическихуравнений относительно неизвестных коэффициентов Em.Прировняв к нулю определитель системы (3.7.13), получим недостающиеуравнения, решая которые совместно с характеристическим уравнением (3.7.2)определим rn, и найдем искомый параметр критической сжимающей нагрузки N.Вычисленияпоказали,чтодляопределениякритическихнагрузокжелательно брать одинаковое число членов ряда по n, m, k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
