Диссертация (792654), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Наличие продольных сжимающих сил существенно увеличиваютвнутренние усилия и прогиб, причем изменение параметров носит нелинейныйхарактер.Таким образом, был рассмотрен ряд задач актуальных с практической точкизрения. Решив их, мы можем точно, или практически точно исследоватьособенности напряженно-деформируемого состояния тонких прямоугольныхпластин с различными граничными условиями как при потере устойчивости, так ипри работе на изгиб со сжатием.114ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХРАСЧЕТАПРЯМОУГОЛЬНОЙПЛАСТИНКИСРАЗЛИЧНЫМИГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ВДОЛЬ ОДНОЙ СТОРОНЫ.4.1 Расчет сжато-изогнутой пластинки с различными граничнымиусловиями вдоль одного края.В качестве примера рассмотрим сжато-изогнутую пластинку со смешаннымиграничными условиями на продольных сторонах (рисунок 4.1.1).

Как видно изрисунка 4.1.1 часть продольной стороны защемлена, другая же шарнирно оперта.Рисунок 4.1.1 - – Расчетная схема.Разобьем пластинку на две области таким образом, чтобы в пределах каждойиз них, отнесенной к своей системе безразмерных координат, тип граничныхусловий не менялся, при этом функция прогиба описывается в каждой областисвоим аналитическим выражением (рисунок 4.1.2).Рисунок 4.1.2 - Расчетная схема с делением на области.Для каждой области было получено решение МНФ, удовлетворяющеедифференциальному уравнению сжато-изогнутой пластинки и граничнымусловиям на продольных сторонах.Решаем задачу смешанным методом: врезаем шарнирно неподвижную опору115и прикладываем неизвестные - перемещениеизгибающий моменти распределенный, учитывая симметрию представимв виде бесконечного тригонометрического ряда с неизвестными коэффициентами:∑(4.1.1)∑(4.1.2)Эти функции удовлетворяют граничным условиям на крае, а именно.Рисунок 4.1.3 - Область I.Рисунок 4.1.4 - Область II.Для каждой области было получено решение, а именно:Для первой области (рисунок 4.1.3):{∑}(4.1.3)(4.1.4)(4.1.5)агде√√√Соответствующее характеристическое уравнение:(4.1.6)Для второй области (рисунок 4.1.4):116{∑}(4.1.7)(4.1.8)аСоответствующее характеристическое уравнение:(4.1.9)(4.1.10)Коэффициенты, входящие в решения, могут бытьопределены с использованием соотношения обобщенной ортогональности (2.4.7)из граничных условий на поперечных сторонах каждой области.Так, граничные условия на поперечных краях пластинкидля I области левогокраязапишутся:(4.1.11)∑(4.1.12)∑(4.1.13)Тогда, воспользовавшись полученной во второй главе формулой (2.4.21) иположив X(η)=0 и Z(η)=0, определим неизвестные коэффициенты∫∫(- определяется по формуле (4.1.4), аДля I области правого края:(4.1.14)(4.1.15))- по (4.1.5).117∑(4.1.16)(4.1.17)∑обозначимв результате получим{ ∫(∫())∫(Для II области левого края}(4.1.18))запишем:(4.1.19)∑(4.1.20)∑неизвестные коэффициенты{ ∫()∫(- определяется по формуле (4.1.8), а∫())- (4.1.9).}(4.1.21)118Для правого краязапишем:(4.1.22)∑(4.1.23)∑Обозначиви положив X(η)=0 и Z(η)=0, определимнеизвестные коэффициенты(4.1.24)∫∫()- определяется по формуле (4.1.8), аВ выражении (4.1.18) и (4.1.21) функциикоэффициентыи(4.1.25)- (4.1.9).иимеют неизвестныедля нахождения которых используем условия в сечениистыковки двух пластинокили.(4.1.26)(4.1.27)Имея в виду,что∑∑∑(4.1.28)(4.1.29)(4.1.30)(4.1.31)119∑где(4.1.32)(4.1.33)Выражения (4.1.26) и (4.1.27) примут вид:∑(4.1.34)∑(4.1.35)Значения этих коэффициентов определим из канонических уравнений, спомощью метода ортогонализации к полной системе функций, по которойраскладывали функцииипри выполнении условий (4.1.26) и (4.1.27).Подставив в уравнение (4.1.26) формулы для нахожденияполучим:∑()(()(4.1.36))где∑∫ ()()(4.1.38)(4.1.39)∫(∑∫(4.1.37))()(4.1.40)120Индекс i обозначает номер рассчитываемой области на которые разбитапластинка.Подставив в уравнение (4.1.27) формулы для нахождения,получим:∑()(()(4.1.41))гдеЗначения коэффициентовопределимспомощьюи, входящих в уравнения (4.1.36) и (4.1.41),методатригонометрических функцийортогонализациикполнойсистеме, по которой раскладывали функциии.Умножим выражение (4.1.36) и (4.1.41) наи проинтегрируем впромежутке -1≤η≤1.

Получим систему линейных алгебраических уравненийотносительно неизвестных постоянныхи.∫∫∫выражения (4.1.36) и (4.1.41) примут вид:∑(4.1.42){∑Взявконечноечислочленовряда,присваиваяиндексуm,n,k121соответствующие значения от 1, получим конечную систему алгебраическихуравнений.Приняв исходные данные, указанные в п. 3.6, для определения численныхзначений коэффициентов системы (4.1.42), приняв величину продольногосжимающего усилия. и учитывая в суммах по "m", "n"и "l "выражений (4.1.42) только первые члены, т.е.

решая задачу в первомприближении, получим:(4.1.43){откуда. Теперь по формулам (4.1.14), (4.1.18),(4.1.21), (4.1.24) могут быть вычислены все коэффициенты,Таким образом, в решении задачи может быть учтено любое количествочленов в суммах по"m", "n" и "l" , а значит граничные условия на линиисопряжения двух областей можно удовлетворить с любой наперед заданнойстепенью точности.Точность удовлетворения условий равенства угла поворота (4.1.26) иравенства поперечной перерезывающей силы (4.1.27) на линии сопряжения двухобластей зависит от количества удерживаемых в суммах решения (2.3.53) членовряда. Как видно из таб. 4.1.1, для практически точного выполнения условий налинии сопряжения нет необходимости учитывать число членов ряда больше чем3. Так.

при удержании двух и трех членов ряда по n, k, l и решении системычетырех и шести линейных уравнений величина угла поворота по сечению II-II награнице областей слева и справа имеет минимальную разницу (1.3%):Таблица 4.1.1 - Результаты расчета.Погрешностьn=10.021560n=20.017231n=30.0166680.0117550.0159530.01673845,42%7,4%0,42%Для снятия разрыва поперечной перерезывающей силы (условие 4.1.27)122необходимо удержать пять-шесть членов ряда (таблица 4.1.2).Таблица 4.1.2 - Результаты расчета.ПогрешностьКакпоказалиn=442368n=539147345893680819,8%5,8%вычисления,вn=60,5%дальнейшемуточнениирешениянетнеобходимости.На рисунке 4.1.6 приведены данные вычислений и построены эпюрыперемещений и внутренних усилий в характерных сечениях пластинкиобозначенных на рисунке 4.1.5 римскими цифрами.Рисунок 4.1.5 – Схема расположения сечений в которых вычислены усилия иперемещения.Сечение I-IИзгибающий момент My04 4104 810My5 1.2105 1.6105 21000.20.40.60.811.2Сечение II-II;1.41.61.82123Прогиб WИзгибающий момент Мх03 6104 1.210Mx4 1.8104 2.4104 31000.20.40.60.811.21.4Поперечная сила Qx531052105110Qx05 1105 21000.20.40.60.811.21.41.61.82Сечение III-III;Изгибающий момент МyСечение IV-IV;4 3104 2.4104 1.8104My 1.2103 610 0.020 0.0163 810 0.012W 41003000.10.10.20.20.30.30.40.40.50.50.60.60.70.70.80.80.90.911Прогиб W1.61.82124Прогиб WИзгибающий момент MyРисунок 4.1.6 - Результаты расчета.Полученное во второй главе соотношение обобщенной ортогональностиоднородных решений позволило в рассмотренном примере точно удовлетворитьграничнымусловиямнапоперечныхсторонахпластинки.Отпорядкаразрешающей системы линейных уравнений зависит точность удовлетворенияграничного условия на смежных сторонах первой и второй области -равенствоуглов поворота и перерезывающей силы.

Учет первых 2-3 членов ряда позволяетполучить практически точные значения внутренних усилий и перемещений,пригодное для практических целей. Аналогично могут быть решены задачи, когданеобходимо деление на большее число областей.Выводы.В качестве числового примера рассмотрена пластинка под действиемравномерно-распределенной нагрузки и сжатой в одном направлении, частьдлины продольных кромок которой защемлена, а оставшаяся - свободно оперта.Предлагаемая методика позволяет построить аналитическое решение иполучить числовые результаты для задачи расчета сжато-изгибаемой пластинкисо смешанными граничными условиями, также учитывать особенности заданныевдоль линий, ортогональных к начальной: разрыв нагрузки, изменениецилиндрической жесткости наличие шарнирной или упругой связи отдельныхчастей пластинки и т.д.4.2 Расчет на устойчивость сжатой в срединной плоскости пластинки,125имеющей различные граничные условия вдоль одного края.В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости сжатой пластинки сграничными условиями, рассмотренными в предыдущем параграфе рис 4.2.1.Аналогично примеру 4.1 разобьемпластинку на области таким образом,чтобы в пределах каждой из них,отнесеннойкбезразмерныхРисунок 4.2.1 – Расчетная схема.своейсистемекоординат,типграничных условий не менялся рис.4.2.2.Решаемметодом,задачусмешаннымврезаемшарнирнонеподвижную опору и прикладываемнеизвестные перемещенияРисунок 4.1.2 - Расчетная схема сделением на области.ираспределенный изгибающий момент,представим в виде бесконечного тригонометрического ряда с неизвестнымикоэффициентами:∑(4.2.1)∑(4.2.2)Общее решение для каждой области получается из решений предыдущегопараграфа, если в них положить частные решенияФормулыдлянахожденияиравные нулю.коэффициентов,какиканонические уравнения смешанного метода такие же (притолько они однородные.В канонические уравнения (4.1.6) и (4.1.10) входят неизвестное значение126критической силы N1 и бесконечное множество комплексных корней rn.

Поэтому,для нахождения величины критических сил, для которых существует изогнутаяформа равновесия пластинки, необходимо получить дополнительное уравнение.Дополнительные уравнения для нахождения критической силы N1получим изудовлетворения граничных условий в сечении стыковки двух пластинокили:(4.2.3)(4.2.4)Функции входящие в уравнения (4.2.3) и (4.2.4) имеют вид:Имея в виду, что∑(4.2.5)∑(4.2.6)и∑∑()(4.2.7))(4.2.8)(Выражения (4.2.3) и (4.2.4) примут вид:∑∑(Подставив выражения для∑() ∑ [ ∫((4.2.9))(4.2.10)в (4.2.9) и (4.2.10) получим:)127∫()∑(4.2.11)]∑[∫∫∑() ∑[ ∫()(∫())∑]∑[∫((4.2.12))∫]Воспользуемся свойством ортогональности тригонометрических функций, и(умножим выражения (4.2.11) и (4.2.12) на) и проинтегрируем повинтервале от -1 до 1.∑() ∑[ ∫(∫())∫∫](4.2.13)128∑∑[ ∫∫∫∑ ∫(]) ∑[ ∫()∫()∫((4.2.14))∫∑ ∫]∑[ ∫∫()∫∫]Введя обозначения:∑ ∫()∫(4.2.15)∫()∫129∑ ∫∫(4.2.16)∫∑ ∫()∫()(4.2.17)∫()∫∑ ∫∫()(4.2.18)∫∫()Выражения (4.2.13) и (4.2.14) примут более компактный вид:∑()∑(4.2.19)∑()∑Ограничившись конечным числом членов ряда разложения (4.2.13) и (4.2.14)по n, m, k, получим систему однородных алгебраических уравнений относительнонеизвестных коэффициентов Em и Dm.130Например, для n=m=k=1 выражение 4.2.19 примет вид:( )(4.2.20)( )Поскольку неизвестные коэффициенты не могут быть равны нулю (, то, в первом приближении, должен быть равен нулю определительсистемы уравнений (4.2.20):( )( )(4.2.21)Таким образом, уравнение (4.2.21) является третьим уравнением, решаяIIIкоторое совместно с характеристическими (4.1.6) и (4.1.10) определим rn , rn , инайдем искомый параметр критической сжимающей нагрузки N1.Для определения критической сжимающей нагрузки N1используемисходные данные, указанные в п.

3.6.Ряды,входящиеввыражение(4.2.19),быстросходятся,точностьопределения искомой критической силы зависит от порядка системы линейныхуравнений (4.2.19).Вычисления показали, что для определения критической сил достаточно тричетыре, члена ряда по n, m, k чтобы получить практически точное значение.В таблице 4.2.1 приведены значения критической силы N1 для исследуемойпластинки в зависимости от числа членов ряда по n, m, k.Таблица 4.2.1 - Результаты расчета.Количество членов ряда2по n, m, k.Величина критической 4.66091*106Н/м.силы N1.Отличиев%отпредыдущего.345.99732*106Н/м.6.10031*106Н/м.22%1.8%Кроме того, необходимо отметить, что для определения критическихнагрузок желательно брать одинаковое число членов ряда по n, m, k.131На рисунке 4.2.1 для полученного значения критического усилия N1приведена форма потери устойчивости.Рисунок 4.2.1 - Форма потери устойчивости.Выводы.Как показали вычисления, удержание трех-четырех членов ряда, даетпрактически точные значения критических нагрузок При этом, для определениякритической нагрузки желательно брать одинаковое число членов ряда по n, m, k.Аналогично могут быть решены задачи, когда имеется деление на большеечисло областей изменения граничных условий по одной стороне пластинки.132ГЛАВА5.СРАВНИТЕЛЬНЫЙАНАЛИЗАНАЛИТИЧЕСКОГОРЕШЕНИЯ МНФ С ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИЕЙ В ПРОГРАММНОМКОМПЛЕКСЕ ANSYS MECHANICAL 14.5.Одной из задач, поставленных при выполнении данной работы, былосравнение результатов расчета прямоугольной сжатой пластинки, полученныханалитическим путем с расчетом выполненным численным методом.Достоверность методики или верификация разработанных методов расчетаматематической модели, представленной МНФ, осуществляласьс помощьюапробированного программного комплекса ANSYS Mechanical 14.5 (разработчик Ingecibers.a.,), представляющего собой работающий на платформе широкоизвестного конечно-элементного комплекса Ansys.Сравнение численного метода с аналитическими решениями в более простыхи частных случаях позволяет дать оценку принятой в работе используемогометода, алгоритма и полученного решения.В случае решения данной задачи методом конечных элементов дляполучения решения потребуется разбиение рассматриваемой области наэлементы.

Характеристики

Список файлов диссертации