Диссертация (792654), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Причем изменения носятнелинейный характер.3.2.3. Изгиб пластинки, жестко защемленной по трем сторонам и однасторона свободна (без сжимающих сил N=0).Теперь в качестве примера рассмотрим задачу изгиба пластинки,103три стороны, которой жестко заделаны, аодна свободна от опор (рисунок 3.10.1).

ВэтомслучаеграничныепоперечныхсторонахудовлетвореныиспользованиемРис.3.10.1 – Расчетная схема.условиянамогутбытьприближенноссоотношенияобобщеннойортогональности и метода сил.Поскольку нагрузка и граничные условия на продольных сторонах пластинки=0,=1 совпадают с граничными условиями в примере 3.2.1, то общее решениеимеет тот же вид (3.8.5), что был получен в предыдущем примере. Необходимолишь найти коэффициентырешения из граничных условий напоперечных сторонах.Характеристическое уравнение будет иметь вид:(3.10.1)Алгоритм расчета будет точно такой же, как и в примере 3.2.1, поэтомуостановимся на основных формулах и выражениях позволяющих выполнитьрасчет.Частное решение дифференциального уравнения (1.3.1) иметь вид:(3.10.2)Остановимсяболееподробнонаотысканииобщегорешениядифференциального уравнения.Запишем граничные условия на поперечных краях пластинки:(3.10.3)(3.10.4)104Выберем основную систему методасил, для чего на поперечных краяхпластинки врежем шарнир и приложимпоканеизвестныйраспределенныймоментпредставим в виде тригонометрическогоряда с неизвестными коэффициентами:∑(3.10.5)Рисунок 3.10.2 – Основная система.каждый член ряда которого соответствует граничным условиям на продольныхсторонах при η=0; при η=1.Граничные условия для основной системы метода сил имеют вид:(3.10.6)(3.10.7)Сравнивая (3.10.3), (3.10.4) с (3.10.6), (3.10.7), нетрудно заметить, чтопервое условие (3.10.3) и (3.10.6), на краях ξ=0, ξ= в основной системе и взаданной пластинке тождественны, следовательно выполняются точно, вторыеусловия (3.10.4) и (3.10.7) не совпадают, что приводит к необходимостиполучения следующих разложений, аналогичных полученным ранее (2.4.17) и(2.4.20):∑∑(3.10.8)||(3.10.9)Отсюда следует, что задача сводится к определению действительнойфункции, входящей в формулу для нахождения коэффициентов, при105которой удовлетворялось бы равенство нулю угла поворотана краяхи.А именно:- для стороны ξ=0:∑(3.10.10)∑(3.10.11)- для стороны ξ= :Используя, свойство обобщенной ортогональности, для изогнутых пластин,получим формулу для определения неизвестных коэффициентов Bn:∫()∫((3.10.12));∑[[]][]Подставив разложение (3.10.5) в формулу (3.10.12), получим решение задачис точностью до неизвестных коэффициентов разложения.Значения этих коэффициентов определим из канонических уравнений, спомощью метода ортогонализации к полной системе функций, по которойраскладывалипри условии удовлетворения граничных условий напоперечных сторонах пластинки, а именно106∑[∫ (∑)(3.10.13)]Введя обозначение:∫выражение (3.10.13) примет более компактный вид:∑Умножимвыражение[∫(3.10.14)∑на]и(3.10.14)проинтегрируемвпромежутке 0≤η≤1.

Получим систему линейных алгебраических уравнений дляопределения неизвестных постоянных∑∑.∫∑(3.10.15)Взяв конечное число членов ряда, присваивая индексам m, n, kсоответствующие значения (1, 2, 3 и т.д.), получим конечную системуалгебраических уравнений.В первом приближении уравнение (3.10.15) примет вид:∫(3.10.16)Из уравнения (3.10.16) определим в первом приближении значение∫В таблице 3.10.1 приведены значенияряда по n и k.:(3.10.17)в зависимости от количества членов107Таблица 3.10.1 - Результаты расчета.n123E1-0.026037-0.02785-0.02862Отличие в % от72,7предыдущегоУвеличивая порядок системы уравнений (3.10.15) получим:4-0.0287800,5(3.10.18)Решение последовательно одного, двух, трех, четырех уравнений даетследующие результаты:(3.10.19)Как видно из выражений (3.10.19) увеличение порядка системы линейныхуравнений незначительно влияет на значения постоянных Em.Вместе с тем, как показали вычисления при определении коэффициентов Em,с увеличением порядка системы (3.10.18) необходимо увеличивать число членовряда по n.

Целесообразно принимать n=m.Определив значения Em, можно вычислить значения усилий и перемещений влюбой точке пластинки как угодно точно удовлетворить граничным условиям напоперечных сторонах.При вычислении значений усилий мы ограничились четырьмя членами рядапо m, что соответствует смягчению граничных условий на поперечных кромках.Вычисления показали, что учет более четырех членов ряда по m несущественновлияет на значение постоянных Вn, так и на значения внутренних усилий иперемещений.Приняв исходные данные, указанные в п. 3.6, определим некоторые значения108усилий и перемещений (таблица 3.10.2) в характерных точках пластинки взависимости от числа членов ряда по n.Таблица 3.10.2 - Результаты расчета.ηξn=1n=2n=30.500.51.000.51.00.50.51.000.50.50.50.50.50.500.50.50.341∙10-3034.87∙10-323.69∙10-3-16.59∙1034.85∙1030-19.53∙1039.88∙10313.54∙1030.1154∙10-3013.98∙10-314.70∙10-3-22.65∙1036.78∙1030-25.32∙10312.95∙10317.66∙1030.021∙10-306.24∙10-310.03∙10-3-24.32∙1037.85∙1030-28.74∙10314.96∙10319.87∙103n=40.0195∙10-306.30∙10-39.94∙10-3-24.72∙1037.97∙1030-29.03∙10315.08∙10320.38∙103Отличие в % отпредыдущего0.700,90,81,11,501,01,31,1Как видно из таблицы 3.10.2 в решениях достаточно удержать два-три членаряда, чтобы получить практически точные значения прогиба и изгибающихмоментов как внутри области, так и на границе.

Кроме того значения моментов налинииисовпадают, что соответствует условиям симметрииграничных условий.Пример 3.2.4. Сжато-изогнутая пластинка с граничными условиями,рассмотренными в примере 3.2.3.Теперь рассмотрим пластинку с теми же граничными условиями, той жепоперечной нагрузкой, но под действием еще сжимающих в серединнойплоскости сил N1 и N2 рисунок 3.11.1.Порядок расчета будет точно такой же, как и в примере 3.2.3, толькооператоры начальных функций необходимо брать из таблицы 2.1.2, кроме того109частноерешениедифференциальногоуравнения (1.3.1) совпадает с частнымрешением в примере 3.2.1, по причинесовпаденияусловийзакрепленияпродольных сторон и поперечной нагрузки,и имеет вид:(3.11.1)Рисунок 3.11.1 - Расчетная схема.Поэтому, остановимся на определении основных выражений, позволяющихопределить коэффициенты An и Вn общего решения дифференциальногоуравнения.Граничные условия на поперечных сторонах пластинки удовлетворимприближенно с помощью метода сил.Выберем основную систему метода сил (рисунок 3.8.3), для чего напоперечныхкраяхпластинкиврежемшарнир и приложим пока неизвестныйраспределенныймоментпредставимтригонометрическоговвидерядаснеизвестными коэффициентами:Рисунок 3.11.2 – Основная система.∑Общее решение дифференциального уравнения будем искать в виде:̅∑(3.11.2)Раскрывая последовательно граничные условия на двух поперечных краяхпластинки и воспользовавшись полученным в главе 2 свойством обобщеннойортогональности запишем формулы для определения произвольных постоянных110.Из граничных условий на краю ξ=0:]∫[(3.11.3)Из граничных условий на краю ξ= :(3.11.4)]∫[∫()(3.11.5);∑[(())]Таким образом, как и в примере 3.2.3, задача сводится к определениюдействительной функции, при которой удовлетворялось бы равенство нулюугла поворота на краяхи.∑ [∫∫∑](3.11.6)∫Умножим выражение (3.11.6) наи проинтегрируем в промежутке0≤η≤1.

Получим систему линейных алгебраических уравнений для определениянеизвестных постоянных.111∑∑(3.11.7)∑∫∑∫Взяв конечное число членов ряда, присваивая индексам m, n, kсоответствующие значения (1, 2, 3 и т.д.), получим конечную системуалгебраических уравнений.Решая последовательно одно, два, три, четыре уравнения получим значенияпостоянных:(3.11.8)Относительно точности полученных значений можно сделать вывод, чтоувеличение порядка системы линейных уравнений не значительно влияет навеличину постоянных Em и с увеличением порядка системы необходимоувеличивать число членов ряда по «n».Приняв исходные данные, указанные в п. 3.6, определим некоторые значенияусилий и перемещений в характерных точках пластинки в зависимости отвариантов приложения продольных силРассмотрим три комбинации загружения пластинки находящуюся поддействием поперечной нагрузки q ηи:1) сжатой в одном направлении силой Т1;2) сжатой в одном направлении силой Т2;3) сжатой в двух взаимно-перпендикулярных направлениях Т1 и Т2.Первый вариант – действует только продольная сила Т1.В таблице 3.11.1 приведены значения прогибамоментовηиηηи изгибающихв характерных точках пластинки, загруженнойравномерно распределенной поперечной нагрузкой q ηи сжатой в одномнаправлении силой Т1.

Величина прогиба дана в метрах, изгибающего момента в112кН*м.Таблица 3.11.1 - Результаты расчета.ηξТ1=0.0ТкрТ1=0.05ТкрТ1=0.1ТкрТ1=0.2Ткр0.5000.51.000.51.00.50.51.00.50.50.50.50.50.500.50.50.19∙10-406.30∙10-39.94∙10-3-24.72∙1037.97∙1030-29.03∙10315.00∙10320.38∙1030.21∙10-40-36.57∙10 (4.1%)10.46∙10-3 (5.0%)-25.44∙103 (2.8%)8.31∙103 (4.1%)0-29.87∙103 (2.8%)15.75∙103 (4.2%)21.60∙103 (5.6%)0.22∙10-40-36.90∙10 (4.8%)11.09∙10-3 (5.7%)-26.29∙103 (3.2%)8.71∙103 (4.6%)0-30.87∙103 (3.2%)16.67∙103 (5.5%)23.13∙103 (6.6%)0.20∙10-40-37.64∙10 (9.7%)12.51∙10-3 (11.1%)-28.20∙103 (6.8%)9.61∙103 (6.8%)0-33.11∙103 (6.9%)18.74∙103 (11.1%)26.57∙103 (13.1%)Из приведенных результатов следует, что увеличение продольной силы в двараза при малых значениях (0.05Ткр-0.1Ткр) приводит к изменению прогиба иизгибающего момента в пределах 4-6 % при большей величине продольной силы(0.1Ткр-0.2Ткр) на 7-13%.В таблице 3.11.2 приведены значения прогибамоментовηиηпоперечной нагрузкой q ηηи изгибающихв характерных точках пластинки загруженнойи сжатой в одном направлении силой Т2.Таблица 3.11.2 - Результаты расчета.ηξТ2=0.0ТкрТ2=0.05ТкрТ2=0.1ТкрТ2=0.2Ткр0.5000.51.000.51.00.50.51.00.50.50.50.50.50.500.50.50.14∙10-406.30∙10-39.94∙10-3-24.72∙1037.97∙1030-29.03∙10315.00∙10320.38∙1030.15∙10-406.32∙10-3 (0.4%)10.20∙10-3 (2.5%)-24.87∙103 (0.6%)7.91∙103 (0.8%)0-29.09∙103 (0.2%)15.13∙103 (0.9%)20.90∙103 (2.5%)0.12∙10-406.36∙10-3 (0.6%)10.49∙10-3 (2.8%)-24.95∙103 (0.4%)7.81∙103 (1.2%)0-29.15 (0.2)15.20∙103 (0.5%)21.55∙103 (3.1%)0.1∙10-406.42∙10-3 (0.9%)11.15∙10-3 (5.9%)-25.30∙103 (1.4%)7.57∙103 (3.2%)0-29.23∙103 (0.3%)15.32∙103 (0.8%)22.96∙103 (6.1%)В таблице 3.11.3 приведены значения прогибамоментовηиηпоперечной нагрузкой q ηηи изгибающихв характерных точках пластинки загруженнойи сжатой в двух направлениях силами Т1 и Т2.113Таблица 3.11.3 - Результаты расчета.ηξТ1=Т2=0.0Ткр0.5000.51.000.51.00.50.51.00.50.50.50.50.50.500.50.50.19∙10-406.30∙10-39.94∙10-3-24.72∙1037.97∙1030-29.03∙10315.00∙10320.88∙103Т1=Т2=0.05ТкрТ1=Т2=0.1ТкрТ1=Т2=0.2Ткр0.16∙10-406.46∙10-3 (2.4%)10.43∙10-3 (4.7%)-24.94∙103 (0.9%)8.14∙103 (2.1%)0-29.50∙103 (1.4%)15.44∙103 (2.4%)21.38∙103 (2.3%)0.14∙10-406.65∙10-3 (2.9%)10.95∙10-3 (5.1%)-25.29∙103 (1.4%)8.26∙103 (1.9%)0-30.02∙103 (1.7%)15.94∙103 (3.1%)22.42∙103 (4.5%)0.16∙10-407.04∙10-3 (5.6%)12.16∙10-3 (10.1%)-26.02∙103 (2.9%)8.47∙103 (2.5%)0-31.13∙103 (3.6%)16.99∙103 (6.4%)24.38∙103 (8.4%)При анализе результатов расчета изогнутых и сжато-изгибаемых пластинМНФ можно сделать следующие выводы:1.

Аналогично задачам устойчивости, решения при расчете изгибаемых исжато изгибаемых пластин получается точно, когда на поперечных сторонахпластинки заданы значения прогибаповоротаи перерезывающая силаи изгибающий моментили уголшарнирно оперты (примеры 3.2.1, 3.2.2),и решение получается приближенно, когда поперечные стороны пластинкижестко защемлены или свободны (примеры 3.2.3, 3.2.4).2. Алгоритм решения задач в рассмотренных примерах показал, чторезультаты обладают устойчивой монотонной сходимостью и быстро сходятся сувеличением числа членов ряда разложения собственных функций (достаточно 34 члена ряда).3.

Характеристики

Список файлов диссертации