Ответы задачи и доп вопросы (785535)
Текст из файла
УМФ. Задачи идополнительные вопросы1. ЗадачиВ первом комплекте есть два вида задач:1.Решение задачи Коши методом введения начальных условий в мгновеннодействующие источники;2. Решение задачи Коши при помощи формулы Дюамеля.Во втором комплекте есть 5 видов заданий:1. Найти фундаментальное решение оператора;2. Проверить, является ли функция гармоническою, определить область, накоторой функция является гармоническою;3.
Вычислить обобщённую производную функции по её графику;4. Доказать равенство двух обобщённых функций;5. Найти преобразование Фурье ломанной (по её графику).В третьем Комплекте три вида задач1. Решение уравнения Лапласа в круге;2. Решение уравнения Лапласа в прямоугольнике;3. Решение уравнения Лапласа в кольце (всего два листочка).Наиболее вероятные дополнительные вопросы:1. Гармонические функции и их свойства;2. ЗШЛ (определение), свойства собственных функций и значенийоператора Штурма-Лиувилля;3.
Свойства оператора Штурма-Лиувилля;4. Определение δ-функции Дирака, математическое и физическое;5. Простенькая задачка на равенство обобщённых функций;6. Формула и Теорема Дюамеля;7. Уравнения Бесселя (обыкновенное, с дополнительным параметром),функции Бесселя (в виде ряда);8. Волновое уравнение;9. Уравнение Гельмгольца;10. Какому уравнению удовлетворяет амплитуда монохроматической волны;11. Функции и Полиномы Лежандра.Пример решения задач из первого комплекта1.Решение задачи Коши методом введения начальных условий в мгновеннодействующие источники:′′′ − 2′′ + ′ = 1, (0) = 2, ′ (0) = 4, ′′ (0) = 2, = (), ≥ 0Рассмотрим решение задачи Коши в обобщённом смысле: продолжив всефункции, входящие в уравнение, нулём в отрицательной области = ()()′об = ′кл + 2()′′об = ′′кл + 2′ () + 4()′′′об = ′′′кл + 2′′ () + 4′ () + 2()′′′ об − 2′′ об + ′ об = ′′′ кл + 2′′ () + 4′ () + 2() −−2( ′′ кл + 2 ′ () + 4()) + ′ кл + 2() = ⏟ ′′′ кл − 2 ′′ кл + ′ кл −=()−4() + 2 ′′ () = () − 4() + 2 ′′ ().′′′ об − 2′′ об + ′ об = () − 4() + 2′′ ().ℒ=32−2+32Найдём Фундаментальное решение : ℒ = ′′′ − 2′′ + ′ = () ≒ ()′ () ≒ ()′′() ≒ 2 ()() ≒ 1() =311АБВ== ++22− 2 + ( − 1) − 1 ( − 1)2СТР.
1А( − 1)2 + Б( − 1) + В = 1 = 0, = 1| = 1, = 1 = 2, 1 + 2Б + 2 = 1, Б = −11−1−1+1( − 1)2≒ (1 − + )() = ()Применяем формулу Дюамеля() = () ∗ (()− 4() + 2 ′′ ()) = ⏟∗ () − 4⏟ ∗ () +⏟=2=1=+ ⏟∗ 2′′()=3+∞1 = ∫ (1 − + ) ()( − )−∞ < 0 ⟹ 1 = 0 > 0 ⟹ 1 = ∫ 1 − + = ( − + ⅇ − 0)−| =0= − 2 + + 21 = ( − 2 + + 2)()2 = , тк ∗ = 3 = ′′ , тк ∗ () = ∗ ()′ ′ () = ((1 − + )()) = − + + + (⏟1 − + )() = =0 ′′ = ( + )() + ⏟ ()=0СТР.
2Складывая I1, I2, I3 имеем () = ( + 4 − − 2)()2. Решение задачи Коши при помощи формулы Дюамеля{ ′′ − ′ = 22 + (0) = ′ (0) = 0′′об − ′ об = 2()2 + ′′ − ′ = ()() ≒ ()′ () ≒ ()′′() ≒ 2 ()() ≒ 1() =2() = ∗111=− ≒ ( − 1)() = − −1 2 2(()=−1)()∗() =2 + 2 + +∞= ∫ ( − − 1)( − )−∞ 2() = 2 + <0⟹=0 > 0 ⟹ = ∫(0− 2 2− 1)( − )()=∫−∫2 + 2 + 2 + 00Подводя под знак дифференциала имеем() = (( + 2)(ln( + 2) − − 1))()СТР.
3Пример решения задач из второго комплекта1.Найти фундаментальное решения оператораℒ=2+2 −3(ℒ, ) = (, ), − фундаментальное решение оператора ′′ + 2′ − 3 = Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:() ≒ () ′ () ≒ p()′′() ≒ 2 ()() ≒ 12 () + 2() − () = 1() =2111111== (−) ≓ ( − −3 )()+ 2 + 3 ( − 1)( + 3) 4 − 1 + 341() = ( − −3 )() − Фундаментальное решение оператора ℒ42.
Проверить, является ли функция гармоническою, определить область, накоторой функция является гармоническою;(, , ) = 2 + 2 = 2 + 2Находим область определения:(): > 0Находим производные второго порядка= 2,= 2,2=0 22=2 2СТР. 4 2=,Δ =22=− 222 2 22+ 2+ 2 =− 2 +22Находим область, где оператор Лапласа равен нулю:Щ: −2+2=02Щ: = ±√ − параболический цилиндрПриравниваем к уравнение к нулю и определяем область, где функциягармоническая как пересечение области определения с областью, где Δuравно нулю.Щ ∩ (): = √это часть параболического цилиндра, лежащая в верхнем полупространстве3.
Вычислить обобщённую производную функции по её графику;() = (1 − ) + ( − 2)( − 1)( − 2)(1 − ) = 1 − 2(1 − ) ’() = ⏟(1 − ) + ( − 1) − ⏟(1 − ) + ⏟=1=(−1) см 〈1〉=−(−1) см 〈2〉〈1〉((1 − ), ) = ((1 − ), ) = 1 ∗ (1) = ((1 − ), )|〈2〉(( − 2)(1 − ), ) = ((1 − ), ( − 2)) = −(1) = (−(1 − ), )Ответ: ’() = 1 − 2(1 − )4. Доказать равенство двух обобщённых функций;Доказать, что ((1 − )() = ()((1 − )(), ) = ((), (1 − )) = (1 − 0)(0) = (0) = ((), ) ⟹⟹ ((1 − )() = ()СТР. 5Доказать, что ( () = ()( (), ) = ((), ) = 0 (0) = (0) = ((), ) ⟹⟹ ( () = ()5.
Найти преобразование Фурье ломанной (по её графику).В этом задании требуется представить исходную ломанную как суммутреугольных и прямоугольных импульсов, затем провести ихпреобразование Фурье.̂ = 1 ()̂( )Теорема смещения: ()()̂̂ ()Теорема запаздывания (+ )() = ()С учётом этих теорем имеем:СТР. 6̂−Λ ( ) () = − 2 ( 2 ),̂− ( ) () = − ( 2 )СТР. 7СТР. 8СТР. 9СТР.
10Пример решения задач из третьего комплектаСТР. 111.Лаплас в КольцеСТР. 12СТР. 13СТР. 14СТР. 15СТР. 16СТР. 17СТР. 18СТР. 19СТР. 20СТР. 21СТР. 22СТР. 23СТР. 242. Лаплас в прямоугольникеСТР. 25СТР. 26СТР. 27СТР. 28СТР. 29СТР. 30СТР. 31СТР. 32СТР. 33СТР. 343. Лаплас в КругеСТР. 35СТР. 36СТР. 37СТР. 38СТР. 39СТР. 40СТР. 41СТР.
42СТР. 43Ответы на дополнительные вопросы1.Гармонические функции и их свойства;Опр: Функция ∈ 2 (Ω) называется гармоническою в Ω, если Δ = 0.Свойства Гармонических функций:•∬ΣПоток через границу области равен 0. = 0•Теорема о среднем для гармонических функций:Среднее значение гармонической функции на сфере Σ0 = {: (, 0 ) = }равно значению функции в центре этой сферы, т.е.(0 )1∯ 4 2Σ 0 •Принцип максимумаГармонические функции достигают своего экстремума лишь на границе области 2. ЗШЛ (определение), свойства собственных функций и значений оператораШтурма-Лиувилля;Задача Штурма-Лиувилля заключается в нахождении всех нетривиальныхрешений уравнения ℒ = ; ∈ ℝ, удовлетворяющих граничным условиям:− ′ () + 1 () = 0,{ 1 ′−2 () + 2 () = 0;При ≡ 1, ∀ ∈ (, ) ℒ = поиск собственных функций и собственныхзначений оператора Штурма − Лиувилля;При ≡ 1, ∀ ∈ (, ) при помощи замены () =()()Уравнение ℒ = преходит в ℒ̃ = , где ℒ̃ − оператор Ш − Л с другими граничными условиями.Таким образом ЗШЛ – задача поиска собственных функций и значений оператораШ-ЛСвойства собственных функций и собственных значений оператора Ш-Л:••Каждому собственному значению соответствует с точностью домножителя лишь одна собственная функцияВсе собственные значения неотрицательныСТР.
44•Собственные функции, отвечающие различным собственным значениямортогональны с весом ()Все собственные функции образуют ортогональный базис { }∞=1 в2 [,2 [, ( ], ()), т.е. любая функция ∈ ( ], ())раскладывается в ряд•∞∑ , где =1•(, , )2‖, ‖Справедлива Теорема Стеклова∀ ∈ 2 [, ] разлагается в абсолютно и равномерно схрдящийся рядФурье по системе собсвенных функций { }∞=1 оператора Ш − Л3. Свойства оператора Штурма-Лиувилля;1.
Оператор Ш-Л самосопряжённый2. Оператор Ш-Л неотрицательно определён4. Определение δ-функции Дирака, математическое и физическое;((), ()) = (0)∞, = 0() = {0, ≠ 05. Простенькая задачка на равенство обобщённых функций;6. Формула и Теорема Дюамеля;Теорема Дюамеля: Решение уравнения ℒ = единственно в ′(ℝ) ипредставляется в виде = ∗ – формула Дюамеля, −Фундаментальное решение оператора, − входной сигнал7. Уравнения Бесселя (обыкновенное, с дополнительным параметром),функции Бесселя (в виде ряда);12)= 0 – уравнение Бесселя12)= 0 – уравнение Бесселя ′′ + ′ + (1 − ′′ + ′ + ( −Функция Бесселя (Цилиндрическая второго рода) порядка :∞ () = ∑=0(−1) 2+( )Γ( + 1)Γ( + + 1) 2Функция Бесселя отрицательного порядка:∞− () = ∑=0(−1) 2−( )Γ( + 1)Γ( − + 1) 2Функция Неймана (Цилиндрическая второго рода).
Для нецелых СТР. 45 = () cos() − − ()sin()Для целых берётся предел ⟶ по правилу Лопиталя8. Волновое уравнение;2− 2 Δ = (, )9. Уравнение Гельмгольца;Δ + 2 = ()10. Какому уравнению удовлетворяет комплексная амплитудамонохроматической волны;Уравнению Гельмгольца11. Функции и Полиномы Лежандра.Вроде не будет.СТР. 46.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
