Методические указания по выполнению домашнего задания (778988), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Такое управление называетсярелейным, так как оно мгновенно перескакивает из одной точки границы областидопустимых управлений в другую точку этой же границы.*Для минимизации H по u , при условии umin ≤ u ≤ umax необходимо, чтобыуправление имело следующий вид:⎧ umax при p2 < 0u( t ) = ⎨⎩ umin при p2 > 0(8)Найдем уравнения фазовых траекторий для каждого из возможных управлений.1) u = umaxx& 2 ( t ) =u( t )u− g = max − g = constMM⎛u⎞x2 ( t ) = ⎜ max − g ⎟ t + x20⎝ M⎠(9)__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»7Московский государственный технический университетим.

Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________x& 1 ( t ) = x2 ( t )2t⎛u⎞ tx1 ( t ) = ∫ x 2 ( t )dt = ⎜ max − g ⎟ ⋅ + x 20 t + x10⎝ M⎠ 20( 10 )Выразим время из уравнения (9):t=x2 − x20⎛ umax⎞− g⎟⎜⎝ M⎠( 11 )Подставим (11) в (10) и получим:2x 22 − x 20x1 =+ x10⎛ umax⎞− g⎟2⋅⎜⎝ M⎠( 12 )2) u = uminПроведя аналогичные выкладки, получим выражение для фазовой траектории притаком управлении:2x 22 − x 20x1 =+ x10⎛ umin⎞− g⎟2⋅⎜⎝ M⎠( 13 )Учитывая условия umax > Mg , umin < Mg получаем:⎛ umax⎞− g⎟ > 0⎜⎝ M⎠⎛ umin⎞− g⎟ < 0⎜⎝ M⎠Тогда, обозначив:⎛ umax⎞ )− g⎟ = u,⎜⎝ M⎠получим:)⎛ umin⎞− g ⎟ = −u⎜⎝ M⎠Фазовые траектории тогда примут вид:__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»8Московский государственный технический университетим.

Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________2x 22 − x 20x1 =) + x102⋅u( 13 )2x 22 − x 20x1 = −) + x102⋅u( 14 )Через начало координат проходит только одна фазовая траектория, соответствующаяопределенным начальным условиям. Найдем уравнение такой траектории исоответствующие ей начальные условия.Уравнение этой фазовой траектории:⎧ x22⎪⎪ − )2⋅ux1 = ⎨2⎪ x2⎪⎩ 2 ⋅ u)при x 2 > 0( 15 )при x2 < 0Соответствующие ей начальные состояния системы можно найти из условия:2x 20) = x102⋅u( 16 )Построим фазовый портрет системы:Линияпереключения2x0ТипичнаятраекторияU=U minU=U minx1OU=U maxx0U=U maxТаким образом, система сначала использует то управление, которое приведет ее клинии переключения, а потом переключает управление.__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»9Московский государственный технический университетим.

Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________Найдем момент переключения. Для этого найдем точку пересеченияпервоначальной траектории и линии переключения. Будем считать, что начальноесостояние систем лежит во втором квадранте, тогда нам необходимо найти точкупересечения парабол, описываемых уравнениями:x22x1 = )2⋅u2x 22 − x 20x1 = −) + x102⋅u( 17 )( 18 )Сложим эти два уравнения:2x202 x1 = ) + x102⋅uЗная координату x1 переключения, найдем время переключения. Из уравнения (10),имеем:) t2x1 ( t ) = u ⋅ + x 20 t + x102( 19 )2x 20x10 ) tп2= u ⋅ + x 20 t п + x10)+4⋅u222x20) 2u ⋅ tп + 2 x 20 tп − ) + x10 = 02⋅uОткуда, решив квадратное уравнение, получаем:⎛ 3x2⎞⎛ 3x2⎞− x20 ± ⎜⎜ 20 − x10 ⎟⎟ − x 20 ± ⎜⎜ 20 − x10 ⎟⎟⎝ 2⎠⎝ 2⎠tп ==)u⎛ umax⎞− g⎟⎜⎝ M⎠Оптимальное управление для начальных условий, лежащих выше линии переключения:⎧ uminu* ( t ) = ⎨⎩ umaxприt < tпприt ≥ tпК аварии могут привести те начальные значения фазовых координат, которыеприведут к тому, что парабола оптимального движения системы выйдет за допустимыепределы фазовых координат.

В данном случае важно соблюдать условие, что высота hКА должна быть положительной, то есть условие x1 ≥ 0 .__________________________________________________________________________ 10Кафедра «Системы автоматического управления».

Характеристики

Список файлов книги