Боровиков В.П. - Нейронные сети (778916), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Совокупность всех элементарных исходов вг обозначим й и будем называть пространством элементарных собыпгий. Из элсментарпых (нсдслимых) событий состоят сложные события. Будем говорить, что событие А связано с рассматриваемым опытом (ггли с элементарными исходами), если по каждому элементарному исходу вг можно точно судить о том, осуществляется событие А илн нет. Обозначим символом А множество всех элементарных исходов в, в результате которых наступает событие А. Очевидно, событие А происходит тогда и только тогда, когда наступает один из элементарных исходов, входя- Гпввв 2. Введение в <опорою верон<пнооп<ей щий в А, поэтому вместо того, чтобы говорить об исходном событии А, можно говорить лишь о событии, когда «наступает элементарный исход оэ, входящий в совокупность А».
В дальнейшем нс будем делать различия между связанными с рассматриваемым опытом событиями и соответству<ощими множествами элементарных исходов, фактически подразумевая, что каждый раз речь идет о событии: «наступает элсментарный исход, входящий в множество А». При такой интерпретации события — это определенные множсства элементарных исходов н соответствующего пространства элементарных событий й. При этом достоверное событие А, наступающее в результате любого исхода рассматриваемого опыта, отождествляется со всем пространством й, а невозможное событие (обозначается 8) рассматривается как пустое множество, не содержащее ни одного нз элементарного исхода а.
События А, и А, называются рив«ыми (А, = А, ), если осуществление события А, влечет за собой осушествленис А„и наоборот. Это классическая аксиоматика Колмогорова, в которой события интерпретируются как множества. Пркмер. При бросании двух вграпьных костей равными оказываются события А, — «выпадает четная сумма очко⻠— и А, — «на каждой грани выпадщот очки одной и той же четности».
Аналогичные события в другом опыте, когда бросаются нс две, а три игральные кости, уже не будут равными. События А, и А, называются несовмесв<ными или н«трвсекаклцимися, если одно исключает другое, иначе говоря, А, и А, не могут произойти одновременно. Объединением или суммой событий А, и А, называется событие А, которое означает осуществление хотя бы одного из событий А„А,: А = А, ЦА„ где Ц вЂ” специальный символ объединения.
Аналогично определяется объединение событий А„А„..., обозначаемое как А, и А = Ц А„. к Пересечением событий А, и А, называется событие А, которое означает осуществление и события А„и события А,: А = А, ПА', где П вЂ” специальный символ перессчения. Заметим, что в формулах символ пересечения для краткости часто опускается. Разнося<ею событий А, и А, называется событие А, которос означает, что происходит событие А„но нс происходит событие А,: А = А, < А,.
Дололни<ивльным к событию А называется событис А, которое означает, что событис А не происходит: А =Й'< А. Пример. Рассмотрим опыт с бросанием двух игральных костей. Событие А — «выгадает чегпая сумма очко⻠— ссгь объединение нспсресека<оп«с<- ся событий А, — «на каждой грани выпадает чегное число очко⻠— н А „— 47 Несронные сапа. ЗТАТщт!СА Неьта! йевяожа «на каждой грани выпадает нечетное число очков». При этом А, = А ~ А, и Аз =А ~А,. Дополнительным к событию А является событие А — «выпадаст нечетная сумма очков», дополнительным к А, является событие А, — «хотя бы на одной грани выпадает нечетное число очко⻠— и дополнительным к событию А, является событие А, — «хотя бы на одной грани выпадает четное число очков».
При этом А, 1 А = А А = А, и А, ~ А = А А = А,. Понятия обьсдинсния, пересечения приобретают большую наглядность, если интерпретировать события как совокупности элементарных исходов оз: А, ЦА, — есть объединение совокупностей А, и А„ А, ПАз — пересечение (общая часть) этих совокупностей; А =Й~АА =Й'1А — совокупность элементарных исходов, дополняющая множество А до всего пространства ь и. Соотношение «событис А, влечет за собой наступление события А,» (иначе, «событис А, содержится в А,») означает, что множество А, содержится во множестве А„что обозначается как А, с А„где с — специальный символ включения и т.д.
Удобно считать пространство элементарных событий й некоторой областью на плоскости, например, прямоугольником, элементарные исходы П Аи — точками плоскости, лежащими внутри й. и а) в) г) е) Рие. 2А а) непересекающиеся множества А, и А, — несовместные (непересекакяпиеся) события; б) объединение двух множеств — объединение событий А, н А,: А, 0 А; е) пересечение двух событий: незаштрихованная фигура изображает пересечение А, ПА,; г) разность двух событий: незаштрихованная фигура изображает разность А, ~ А„д) дополнительное событие: событие А, является дополнительным к событию А„е) событие А, со- лержвтся в А, 48 Гпввв 2.
нвеаенве в «аеорвю вероне«нос«»ев Мы видим, что события представляются множествами. Множества удобно изображать на плоскости, это позволяет «увидеть» события. На рис. 2.1 показаны различные операции между событиями А, и А„которые изображаются в виде кругов, лежащих внутри прямоугольника. Прямоугольник й — это пространство элементарных событий.
Легко видеть, что имеются следующие соотношения между событиями. Если А, «:А„то А, ~А,; если А=А,ОА„то А =А, Г~А,; если А = А, й А„то А = А, 0А,. Вообще, если справедливо некоторое соотношение между какими-то событиями, то будет справедливо и соотношение, получаемое из исходного переходом к дополнительным событиям и заменой знаков объединения Ц пересечения () и включения ~ на соответствующие «обратные» знаки й, 0 и д (знаки равенства = остаются неизменными).
Пример. Имеют месго следующие соотношения: йАв=В йС„; йА„=В ЙС,; ЙА„=В йС,. е «« е я и а Рассмотрим несовместные (непересскыощиеся) события А „А, и их объединение А =А, 0А,. Представим себе, что проводится серия одинаковых и независимых между собой опьггов, результатом каждого из которьгх могут быть указанные со- бытия А, А, или А,. Пусть и — число всех испытаний; п(А), и(А, ), п(А, ) — число тех из них, которые привели к наступлению соответствующих событий А, А, или А,.
Если в каком-то опыте произошло событие А, то значит, что произошло или событие А„или событие А, (одновременно А, и А, произойти не могут, гак как по условию они являются несовместными). Поэтому числа п(А), и(А, ), п(А,) связаны между собой следующим равенством: и(А)= п(А,)+и(А,). Следовательно, частоты рассматриваемых событий таковы, что и(А) и(А, ) и(А, ) и и п При достаточно большом числе испытаний частоты практически совпазают с соответствующими вероятностями, поэтому вероятности рассматризаемых событий А = А, Ц А, должны быть связаны между собой следующим завенством: Нейронные сени. ЯТАТ!ЗТ!СА Меоге! йе!во~Не Полученное равенство является выражением закона сложения вероятностей: для любых непересекающихся событий А„А„... вероятность их объединения есть сумма вероятностей каждого события: (2.1) О < Р(А) < 1, Невозможное событие имеет вероятность О, а достоверное событие А = й имеет вероятность 1.
Если событие А, содержится в А„то естественно Р(А,) < Р(А2). (2.2) Для любых событий А, и А, Р(А, 1А )=Р(А,) — Р(А, ПА,), РЖ 14 ) = Р(А2 ) — Р(4 ПА ) Р(А, ()А,) = Р(А, )+Р(А,) — Р(4 ПА,), (2.3) Действительно, каждое из событий А, и А, может быть предсгавлено в виде А, =(4 1А,)()(А, ПА,), А2 =(А, 1А )0(А, ПА ), где события А, 1 А„А, ПА, и А', 1 А, являются непересекающимися, так что согласно формуле (2. 1) Р(А, ) = Р(А, 1А,)+Р(4 ПА,), Р(А,) Р(А 1А, )+Р(А, ПА ) Отсюда видно, что если 4 ~: А„то 4 ПА2 =4 Р(А,) =Р(А,) — Р(А, 1А,) < Р(А,).
(2.5) Далее, сумма А, Щ событий А, и А, может быть представлена как сумма непересекающихся событий 4 1 А„А, 14 и А, ПА,: 4 (.)А (4 1А)~-)(А2 14 Ю(4 ПА) 50 Если соотношения между событиями наглядно описываются соотношениями между изображающими их фигурами на плоскости, то свойства вероятностей аналогичны свойствам площадей фигур.
Вероятность Р(А) события А есть неотрицательное число, лежащее между нулем и единицей Гоава 2. Ввесвнов в обворую веронигносигво и потому Р(4 0А,) =Р(А, г А,)+Р(А, ~А,)+Р(А, ПА,)= =Р(А,)-Р(А,ОА~)+Р(Аг) Р(АгПАг)+Р(А, ПАг)= =Р(А,)+Р(А,)-Р(А, ПА,). (2.б) Выведем формулу для вероятности объединения нескольких событий А„ А„..., А„. Р~ = «,РИ)» Рг =,'>,Р(АААА)р Рг = ~~~АР(АА,Аи)" (27) Р / Агг где 1< г< г < Я ...< и, так, что каждая группа индексов (г, г, Я,...) при суммировании встречается лишь один раз.
И рбу ш бш ф р бш р~ш~Р(ЦА„) б г,и-б ш дннения ЦА событий А„..., А„: Р~1)А„)=Р, — Р, +Р, — Р, р...*Р, ~,ию (2.8) ~О'1=К (;)-Х, г ° Х (; )- б<и-г,/ г-г гб/</ гбг<А'<и Р~ЦА,Аи1=~ГР(А,АА) — ~~ Р(ААА,)+ т~ Р(АААА,А,)-... ~,в=г,г гшг гбг<А гя<А и Имеем Р ЦАи =Р(А,)~Р ЦА -Р ЦА,А„ =2 Р(АА)- 'ЯР(АААг)+ ,'ГР(ААА,А„)-...=Р -Р, +Р, —..., ~ Я<А'<И 1 бг</ что и требовалось доказать. Применим эту формулу для решения следующей задачи. 51 Заметим, что в правой части формулы мы имеем чередование знаков. Обрывая формулу на определенном знаке, можно получить оценки сверху или снизу для искомой вероятности. Это известное неравенство Бонферонни.
Докажем формулу (2.8) методом математической индукции. При я = 2 она превращается в доказанное равенство (2.3). Предположим, что формула верна для и — 1 событий, так что Нейронные сея~а. ЗТАТ!ЗТ!СА Иее!е! Ме!!яо!яе Задача о совпадениях Представьте, группа студентов имеет одинаковые плащи, которые случайно оказались на одной вешалке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
