Ф. Уоссермен. - Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика (774833), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Подобная задача может решаться следующим образом:

1. Система наблюдается и собираются данные для составления обучающего множества. Каждый элемент обучающего множества состоит из замеров во время наблюдений и включает значения всех входов (входной вектор) и всех выходов (выходной вектор).

2. Сеть обучается на этом обучающем множестве. Обучение состоит из предъявления входного вектора, вычисления выходного вектора, сравнивания выходного вектора с входным вектором, полученным в процессе наблюдений, и коррекции весов, минимизирующей разность между ними. Каждый входной вектор предъявляется по очереди, и сеть частично обучается. После большого числа предъявлении входных векторов сеть сойдется к решению, которое минимизирует разность между желаемыми и измеренными выходами системы. Фактически сеть строит внутреннюю модель неизвестной системы. Если обучающее множество достаточно велико, сеть сходится к точной модели системы. Если сети предъявить некоторый входной вектор, отличный от любого из векторов, предъявленных при обучении, то полностью обученная сеть выдаст тот же самый выходной вектор, что и настоящая система.

3. Максимизируется целевая функция. Целевая функция выходов должна быть сконструирована таким образом, чтобы выражать степень «удовлетворительности» результата. Теперь входы становятся переменными для обученной сети. Они подстраиваются с помощью того же самого обучающего алгоритма, который применялся для выставления весов на шаге 2, однако используются для максимизации целевой функции.

Во многих случаях могут присутствовать ограничения, накладываемые задачей. Например, может быть невозможно физически брать значения переменных вне некоторого диапазона. Эти ограничения (которые могут быть сложными выражениями) могут быть легко учтены отбрасыванием на шаге 3 любого изменения входной переменной, которое нарушает ограничение.

Это обобщение метода стохастической оптимизации позволяет его использовать для широкого круга оптимизационных задач. Можно применять и другие методы, но стохастический метод позволяет преодолеть трудности, обусловленные локальными минимумами, с которыми сталкивается метод обратного распространения и другие методы градиентного спуска. К сожалению, вероятностная природа процесса обучения может приводить к большому времени сходимости. Использование методов псевдотеплоемкости может существенно уменьшить это время, но процесс все равно остается медленным.

ОБРАТНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ОБУЧЕНИЕ КОШИ

Обратное распространение обладает преимуществом прямого поиска, т. е. веса всегда корректируются в направлении, минимизирующем функцию ошибки. Хотя время обучения и велико, оно существенно меньше, чем при случайном поиске, выполняемом машиной Коши, когда находится глобальный минимум, но многие шаги выполняются в неверном направлении, что отнимает много времени.

Соединение этих двух методов дало хорошие результаты [7]. Коррекция весов, равная сумме, вычисленной алгоритмом обратного распространения, и случайный шаг, задаваемый алгоритмом Коши, приводят к системе, которая сходится и находит глобальный минимум быстрее, чем система, обучаемая каждым из методов в отдельности. Простая эвристика используется для избежания паралича сети, который может иметь место как при обратном распространении, так и при обучении по методу Коши.

Трудности, связанные с обратным распространением

Несмотря на мощь, продемонстрированную методом обратного распространения, при его применении возникает ряд трудностей, часть из которых, однако, облегчается благодаря использованию нового алгоритма.

Сходимость. В работе [5] доказательство сходимости дается на языке дифференциальных уравнений в частных производных, что делает его справедливым лишь в том случае, когда коррекция весов выполняется с помощью бесконечно малых шагов. Так как это ведет к бесконечному времени сходимости, то оно теряет силу в практических применениях. В действительности нет доказательства, что обратное распространение будет сходиться при конечном размере шага. Эксперименты показывают, что сети обычно обучаются, но время обучения велико и непредсказуемо.

Локальные минимумы. В обратном распространении для коррекции весов сети используется градиентный спуск, продвигающийся к минимуму в соответствии с локальным наклоном поверхности ошибки. Он хорошо работает в случае сильно изрезанных невыпуклых поверхностей, которые встречаются в практических задачах. В одних случаях локальный минимум является приемлемым решением, в других случаях он неприемлем.

Даже после того как сеть обучена, невозможно сказать, найден ли с помощью обратного распространения глобальный минимум. Если решение неудовлетворительно, приходится давать весам новые начальные случайные значения и повторно обучать сеть без гарантии, что обучение закончится на этой попытке или что глобальный минимум вообще будет когда либо найден.

Паралич. При некоторых условиях сеть может при обучении попасть в такое состояние, когда модификация весов не ведет к действительным изменениям сети. Такой «паралич сети» является серьезной проблемой: один раз возникнув, он может увеличить время обучения на несколько порядков.

Паралич возникает, когда значительная часть нейронов получает веса, достаточно большие, чтобы дать большие значения NET. Это приводит к тому, что величина OUT приближается к своему предельному значению, а производная от сжимающей функции приближается к нулю. Как мы видели, алгоритм обратного распространения при вычислении величины изменения веса использует эту производную в формуле в качестве коэффициента. Для пораженных параличом нейронов близость производной к нулю приводит к тому, что изменение веса становится близким к нулю.

Если подобные условия возникают во многих нейронах сети, то обучение может замедлиться до почти полной остановки.

Нет теории, способной предсказывать, будет ли сеть парализована во время обучения или нет. Экспериментально установлено, что малые размеры шага реже приводят к параличу, но шаг, малый для одной задачи, может оказаться большим для другой. Цена же паралича может быть высокой. При моделировании многие часы машинного времени могут уйти на то, чтобы выйти из паралича.

Трудности с алгоритмом обучения Коши

Несмотря на улучшение скорости обучения, даваемое машиной Коши по сравнению с машиной Больцмана, время сходимости все еще может в 100 раз превышать время для алгоритма обратного распространения. Отметим, что сетевой паралич особенно опасен для алгоритма обучения Коши, в особенности для сети с нелинейностью типа логистической функции. Бесконечная дисперсия распределения Коши приводит к изменениям весов неограниченной величины. Далее, большие изменения весов будут иногда приниматься даже в тех случаях, когда они неблагоприятны, часто приводя к сильному насыщению сетевых нейронов с вытекающим отсюда риском паралича.

Комбинирование обратного распространения с обучением Коши

Коррекция весов в комбинированном алгоритме, использующем обратное распространение и обучение Коши, состоит из двух компонент: (1) направленной компоненты, вычисляемой с использованием алгоритма обратного распространения, и (2) случайной компоненты, определяемой распределением Коши.

Эти компоненты вычисляются для каждого веса, и их сумма является величиной, на которую изменяется вес. Как и в алгоритме Коши, после вычисления изменения веса вычисляется целевая функция. Если имеет место улучшение, изменение сохраняется. В противном случае оно сохраняется с вероятностью, определяемой распределением Больцмана.

Коррекция веса вычисляется с использованием представленных ранее уравнений для каждого из алгоритмов:

w_mn,k(n+1) = w_mn,k(n) + η [Δw_mn,k(n) + (1 – ) δ_n,k OUT_m,j] + (1 – η) x_с,

где η – коэффициент, управляющий относительными величинами Коши и обратного распространения в компонентах весового шага. Если η приравнивается нулю, система становится полностью машиной Коши. Если η приравнивается единице, система становится машиной обратного распространения.

Изменение лишь одного весового коэффициента между вычислениями весовой функции неэффективно. Оказалось, что лучше сразу изменять все веса целого слоя, хотя для некоторых задач может оказаться выгоднее иная стратегия.

Преодоление сетевого паралича комбинированным методом обучения. Как и в машине Коши, если изменение веса ухудшает целевую функцию, – с помощью распределения Больцмана решается, сохранить ли новое значение веса или восстановить предыдущее значение. Таким образом, имеется конечная вероятность того, что ухудшающее множество приращений весов будет сохранено. Так как распределение Коши имеет бесконечную дисперсию (диапазон изменения тангенса простирается от –  до +  на области определения), то весьма вероятно возникновение больших приращений весов, часто приводящих к сетевому параличу.

Очевидное решение, состоящее в ограничении диапазона изменения весовых шагов, ставит вопрос о математической корректности полученного таким образом алгоритма. В работе [6] доказана сходимость системы к глобальному минимуму лишь для исходного алгоритма. Подобного доказательства при искусственном ограничении размера шага не существует. В действительности экспериментально выявлены случаи, когда для реализации некоторой функции требуются большие веса, и два больших веса, вычитаясь, дают малую разность.

Другое решение состоит в рандомизации весов тех нейронов, которые оказались в состоянии насыщения. Недостатком его является то, что оно может серьезно нарушить обучающий процесс, иногда затягивая его до бесконечности.

Для решения проблемы паралича был найден метод, не нарушающий достигнутого обучения. Насыщенные нейроны выявляются с помощью измерения их сигналов OUT. Когда величина OUT приближается к своему предельному значению, положительному или отрицательному, на веса, питающие этот нейрон, действует сжимающая функция. Она подобна используемой для получения нейронного сигнала OUT, за исключением того, что диапазоном ее изменения является интервал (+5,–5) или другое подходящее множество. Тогда модифицированные весовые значения равны

.

Эта функция сильно уменьшает величину очень больших весов, воздействие на малые веса значительно более слабое. Далее она поддерживает симметрию, сохраняя небольшие различия между большими весами. Экспериментально было показано, что эта функция выводит нейроны из состояния насыщения без нарушения достигнутого в сети обучения. Не было затрачено серьезных усилий для оптимизации используемой функции, другие значения констант могут оказаться лучшими.

Экспериментальное результаты. Комбинированный алгоритм, использующий обратное распространение и обучение Коши, применялся для обучения нескольких больших сетей. Например, этим методом была успешно обучена система, распознающая рукописные китайские иероглифы [б]. Все же время обучения может оказаться большим (приблизительно 36 часов машинного времени уходило на обучение).

В другом эксперименте эта сеть обучалась на задаче ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, которая была использована в качестве теста для сравнения с другими алгоритмами. Для сходимости сети в среднем требовалось около 76 предъявлении обучающего множества. В качестве сравнения можно указать, что при использовании обратного распространения в среднем требовалось около 245 предъявлении для решения этой же задачи [5] и 4986 итераций при использовании обратного распространения второго порядка.

Ни одно из обучений не привело к локальному минимуму, о которых сообщалось в [5]. Более того, ни одно из 160 обучений не обнаружило неожиданных патологий, сеть всегда правильно обучалась.

Эксперименты же с чистой машиной Коши привели к значительно большим временам обучения. Например, при  = 0,002 для обучения сети в среднем требовалось около 2284 предъявлении обучающего множества.

Обсуждение

Комбинированная сеть, использующая обратное распространение и обучение Коши, обучается значительно быстрее, чем каждый из алгоритмов в отдельности, и относительно нечувствительна к величинам коэффициентов. Сходимость к глобальному минимуму гарантируется алгоритмом Коши, в сотнях экспериментов по обучению сеть ни разу не попадала в ловушки локальных минимумов. Проблема сетевого паралича была решена с помощью алгоритма селективного сжатия весов, который обеспечил сходимость во всех предъявленных тестовых задачах без существенного увеличения обучающего времени.

Несмотря на такие обнадеживающие результаты, метод еще не исследован до конца, особенно на больших задачах. Значительно большая работа потребуется для определения его достоинств и недостатков.

Литература

1. Geman S., Geman D. 1984. Stohastic relaxation, Gibbs distribution and Baysian restoration of images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6:721-41.

2. Hinton G. E., Sejnowski T. J. 1986. Learning and relearning in Boltzmann machines. In Parallel distributed processing, vol. 1, p. 282-317. Cambridge, MA: MIT Press.

3. Metropolis N., Rosenbluth A. W-.Rosenbluth M. N., Teller A. N., Teller E. 1953. Equations of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemistry and Physics. 21:1087-91.

4. Parker D. B. 1987. Optimal algorithms for adaptive networks. Second order Hebbian learning. In Proceedings of the IEEE First International Conference on Neural Networks, eds. M. Caudill and C. Buller, vol. 2, pp. 593-600. San Diego, CA: SOS Printing.

5. Rumelhart D. E. Hinton G. E. Williams R. J. 1986. Learning internal representations by error propagation. In Parallel distributed processing, vol. 1, pp. 318-62. Cambridg, MA: MIT Press.

6. Szu H., Hartley R. 1987. Fast Simulated annealing. Physics Letters. 1222(3,4): 157-62.

7. Wassermann P. D. 1988. Combined backpropagation/Cauchi machine. Neural Networks. Abstracts of the First INNS Meeting, Boston 1988, vol. 1, p. 556. Elmsford, NY. Pergamon Press.

Глава 6.
Сети Хопфилда

Сети, рассмотренные в предыдущих главах, не имели обратных связей, т. е. связей, идущих от выходов сетей и их входам. Отсутствие обратной связи гарантирует безусловную устойчивость сетей. Они не могут войти в режим, когда выход беспрерывно блуждает от состояния к состоянию и не пригоден к использованию. Но это весьма желательное свойство достигается не бесплатно, сети без обратных связей обладают более ограниченными возможностями по сравнению с сетями с обратными связями.

Так как сети с обратными связями имеют пути, передающие сигналы от выходов к входам, то отклик таких сетей является динамическим, т. е. после приложения нового входа вычисляется выход и, передаваясь по сети обратной связи, модифицирует вход. Затем выход повторно вычисляется, и процесс повторяется снова и снова. Для устойчивой сети последовательные итерации приводят к все меньшим изменениям выхода, пока в конце концов выход не становится постоянным. Для многих сетей процесс никогда не заканчивается, такие сети называют неустойчивыми. Неустойчивые сети обладают интересными свойствами и изучались в качестве примера хаотических систем. Однако такой большой предмет, как хаос, находится за пределами этой книги. Вместо этого мы сконцентрируем внимание на устойчивых сетях, т. е. на тех, которые в конце концов дают постоянный выход.

Характеристики

Список файлов книги