Лекции (Алещенко) (774781), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Уравнения плоскостей _i всегда можно выбрать так, чтобы нормальные векторы всех плоскостей были направлены во внешнее пространство относительно пирамиды, т.е. добиться того, чтобы внутренность пирамиды лежала в отрицательном полупространстве относительно каждой из плоскостей.

n_i = (A_i ,B_i ,C_i ), i = 1,2,3,4.

Для этого определяем координаты одной из вершин (например, M₄(x₄,y₄,z₄)) как решение системы уравнений.

Затем координаты подставляем в уравнение плоскости ₄ :

,

и если получится отрицательное значение, то нормальный вектор имеет вид n₄=(A₄,B₄,C₄); если же значение положительное, то

нормальный вектор должен иметь вид n₄=(-A₄,-B₄,-C₄), и соответствующее уравнение плоскости

₄: - = 0.

Повторив эту процедуру для всех плоскостей и определив значения для произвольной точки М, можно решить задачу ее расположения относительно пространственной фигуры.

виды проецирования

Изображение пространственных объектов на картинной плоскости основано на операции проецирования. Рассмотрим математическое описание проецирования пучком прямых лучей.

Есть два типа таких лучей:

• пучок лучей, параллельных заданному направлению;

• пучок лучей, исходящих из одной точки.

1. Проецирование параллельными лучами.

Простейший случай – перпендикулярное проецирование, когда прямые перпендикулярны плоскости изображения, а сама плоскость является одной из координатных плоскостей или параллельна ей (см. рис.34).

Матрица проецирования на плоскость Оyz вдоль оси Ох имеет вид:

Если M(x,y,z) – точка в пространстве, то ее проекция M^*

т.е. получим координаты M^*(0,y,z).

Если плоскость проецирования параллельна координатной плоскости Оyz, то матрица имеет вид: . Аналогично вдоль других осей: .

Косоугольное проецирование, когда лучи не перпендику-лярны плоскости проекции, будут рассмотрены ниже.

2.Перспективные преобразования (центральное проецирование).

Пусть выбрана точка А(а,0) как центр проецирования и требуется определить проекцию производной точки M₀(x₀,y₀) на ось ординат Оy (см.рис.35).

Проецирующая прямая L описывается уравнениями:

Проекцией точки М₀ является точка M^*(0,y^*),

где ,

что соответствует матрице преобразования: ,

тогда .

Нормируем столбец для h=1 и получим:

, и точка .

3.Точки схода

Свойство пропорциональности (неоднозначности) однород-ных координат используется в перспективных преобразованиях.

Рассмотрим преобразование плоскости, заданное матрицей и определим его влияние на единичный квадрат (см. рис. 36).

Рассматривая поочередно вершины квадрата, получим:

Таким образом, под действием преобразования, определяемого матрицей Q, произвольная прямая, параллельная оси Ох

,

переходит в прямую, описываемую уравнением вида:

,

и пучок прямых, параллельных оси абсцисс, преобразовывается в пучок прямых, проходящих через точку (-а,0), которая называется точкой схода преобразования, задаваемого матрицей схода.

Единичный квадрат преобразуется в трапецию, которая приближается к квадрату при а.

В случае трехмерного пространства перспективные преобразования описываются соответственно: точка М (x,y,z) описывается столбцом:

или четверкой однородных координат ( )

определяемых из условий: .

Матрица перспективных преобразований с точкой схода (-а,0,0) имеет вид: .

Если рассматривать единичный куб (см. рис.37), получим :

.

В инженерной графике используется несколько различных видов проецирования, т.е. изображения пространственных объектов на картинной плоскости.

Выделяют два вида проецирования и соответственно два вида проеций:

1. параллельное проецирование – проецирующие прямые идут параллельным пучком до пересечения с картинной плоскостью;

2. центральное проецирование – проецирующие прямые выходят из одной точки – центра пучка.

Каждый вид разделяется на классы (см. рис 38).

Рассмотрим преобразования проецирования

1. При ортографической проекции картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей.

Тогда матрица проецирования:

вдоль оси Ох на плоскость Оyz

(см. рис.39 а).

В случае, если картинная плоскость параллельна координатной плоскости (рис. 39 б), то нужно умножить матрицу P_x на матрицу сдвига:

.

Аналогично получаются матрицы проецирования вдоль 2-х других координат осей.

.

2. При аксонометрической проекции проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости.

В соответствии со взаимным расположением плоскости проецирования и координатных осей различают три проекции:

• триметрия - нормальный вектор картинной плоскости образует с осями различные углы (см. рис.40,а);

• диметрия - два угла между картинной плоскостью и координатными осями равны между собой, а третий отличается (см. рис.40,б);

• изометрия – все три угла между осями и картинной плоскостью равны (см .рис.40).

Каждый из трех видов получается комбинацией поворотов вокруг осей координат, затем - параллельное проецирование.

При повороте на угол  относительно оси ординат, затем на угол  вокруг оси абсцисс, затем параллельном проецировании вдоль Оz (аппликат), образуется матрица:

Рассмотрим, как при этом преобразуются единичные орты координатных осей: Оx, Оy и Oz:

В диметрии длины двух проекций совпадают, т.к. , откуда можно получить соотношения: .

При триметрии длины проекций попарно различны.

3. При косоугольном проецировании ордината оси Оz на плоскость xy преобразуется следующим образом: (см.рис.41).

Матрица соответствующего преоб-разования имеет следующий вид:

Рассмотрим особенности проекций:

а) при свободной проекции угол наклона проецирующих прямых к картинной плоскости равен половине прямого, тогда  =  = cos /4;

б) кабинетная проекция – частный случай свободной проекции – масштаб по третьей оси вдвое меньше:  =  = 1/2cos /4.

4. Перспективные (центральные) проекции строятся более сложно.

Рассмотрим изображение куба в одноточечной проекции (т.е. с одной точкой схода лучей) (см. рис.42).

Если плоскость проецирования совпадает с координатной плоскостью Оху, то координаты точки схода (0,0,-с).

Двухточечная и трехточечная проекции строятся, когда координатные оси не параллельны плоскости экрана (см. рис.43).

Тогда определяются точки схода по всем трем осям, а матрица имеет вид:

.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

НА КАРТИННУЮ ПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим проблемы проецирования поверхностей любого вида на картинную плоскость на примере параллельного проецирования.

Пусть картинная плоскость совпадает с плоскостью Оxy, т.е. описывается уравнением X = 0, а проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости. Интересны три принципиально важных вида поверхностей.

1. Плоскость или обыкновенная поверхность описывается уравнением

(см. рис. 43)

Z = X или X – Z = 0

Вычислим координаты нормального вектора

N = (1,0,-1),

вектор, вдоль которого осуществляется проецирование

L = (1,0,0),

очевидно, что скалярное произведение

( N, L ) = 1 > 0,

т.е. вектор проецирования и нормальный вектор поверхности не перпендикулярны ни в одной точке поверхности и все точки плоскости однократно отображаются на картинной плоскости.

1. Параболический цилиндр с уравнением

Z = X² или X² - Z = 0 (см. рис. 44)

Нормальный вектор

N = (2x, 0, -1),

скалярное произведение

( N, L ) = 2x,

т.е. в точках оси Oy ( N, L ) = 0, и вектора ортогональны.

Т
огда точки плоскости X = 0 разбиваются на три класса:

• точки Z > 0, которые имеют 2 прообраза на поверхности,

• точки на оси Oy, которые имеют 1 прообраз на поверхности,

• точки, у которых нет прообразов на поверхности.

Такая особенность проецирования (или вид поверхности) называется складкой.

3. Поверхность, заданная уравнением

Z = X³ + XY или X³ + XY- Z = 0 (см. рис. 45)

Нормальный вектор

N = ( 3 X² + Y, X, -1 )

скалярное произведение

( N, L ) = 3X² + Y.

Исходя из уравнения

3 X² + Y = 0

находим на поверхности кривую, вдоль которой вектора N и L ортогональны. Это полукубическая парабола

27 Z² = - 4Y³,

которая на плоскости X = 0 делит точки на три класса:

• точки, имеющие 1 прообраз на поверхности,

• точки на параболе, которые имеют 2 прообраза на поверхности,

• точки внутри острия, имеющие 3 прообраза на поверхности.

Эта особенность проецирования называется сборкой.

Существует теория особенностей (теория катастроф), которая доказывает, что при проецировании на плоскость произвольного гладкого объекта (т.е. поверхности) возможны только 3 указанных типа проекции (обыкновенная, складка или сборка) с точностью до малого шевеления.

Характеристики

Список файлов лекций