85025 (763952), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теперь подставим в формулу Гаусса–Якоби u = v = – t. В левой части получится:
| ∞ | ∞ | ∞ | |||
| ∏ | (1 – t2k–1)2 (1 – t2k) = | ∏ | (1 – t2k–1) | ∏ | (1 – tk). |
| k=1 | k=1 | k=1 |
Заменяя произведение ∏ (1 – t2k–1) на ∏ (1 + tk)–1 по формуле (2), мы преобразуем левую часть в
| (1 – t)(1 – t2)(1 – t3) ... (1 + t)(1 + t2)(1 + t3) ... | . |
Правая часть формулы Гаусса–Якоби при подстановке u = v = – t превращается в
| ∞ | |
| ∑ | (–1)q² tq², |
| q=–∞ |
и мы получаем следующую формулу:
| (1 – t)(1 – t2)(1 – t3) ... (1 + t)(1 + t2)(1 + t3) ... | = 1 – 2t + 2t4 – 2t9 + 2t16 – ... |
Подстановка u = t, v = 1 в формулу Гаусса–Якоби аналогичным образом приводит к формуле:
| (1 – t2)(1 – t4)(1 – t6) ... (1 – t)(1 – t3)(1 – t5) ... | = 1 + t + t3 + t6 + t10 + ... |
Эти две формулы получены Гауссом. Нечего и говорить, что это удивительно красивые формулы!
Тождества Роджерса–Рамануджана
В заключение я хочу познакомить вас с двумя знаменитыми тождествами теории разбиений, для которых до сих пор не найдено прозрачных доказательств, хотя эта задача и по сей день остаётся в сфере интересов многих математиков.
Первое тождество. Число разбиений натурального числа п, в которых разность между любыми двумя частями превосходит единицу, равно числу разбиений числа п на части, дающие при делении на 5 остаток 1 или 4.
Второе тождество. Число разбиений натурального числа п, в которых разность между любыми двумя частями и каждая часть превосходят единицу, равно числу разбиений числа п на части, дающие при делении на 5 остаток 2 или 3.
Конечно, закономерность, утверждаемая этими тождествами, в высшей степени красива и нетривиальна, и неудивительно, что крупнейший английский математик начала XX века Г. Харди, узнавший о них из письма Рамануджана, датированного 16 января 1913 года, пришёл в восхищение. *)
При чтении этой статьи у вас, может быть, сложилось впечатление, будто теория разбиений напоминает кунсткамеру, в которую заботливо собраны различные экзотические экспонаты, никак или почти никак между собой не связанные. До недавнего времени так оно и было. Ситуация коренным образом изменилась лишь в 70-х годах XX века, когда английскому математику Яну Макдональду удалось найти единый подход к доказательству большого класса тождеств теории разбиений и открыть много новых, объединив их в стройную теорию (тождество Гаусса–Якоби включается в неё). **) Для тождеств Роджерса–Рамануджана и многих аналогичных тождеств общего подхода не найдено, хотя в последнее время и появились алгебраические методы их доказательств. Так что, понимание истинной природы этих тождеств, вероятно, ещё впереди.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ega-math.narod.ru/
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
