183940 (743652), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(8)

– рівняння регресії на .

Аналогічно визначаються умовне математичне сподівання випадкової величини і функція, а також рівняння регресії на :

(9)

Функції і (рівняння регресії), що уявляють інтерес, у загальному випадку невідомі, тому їх шукають у наближеному вигляді, причому звичайно обмежуються лінійним наближенням:

(10)

де і – параметри, що підлягають визначенню. Найчастіше для цього вживають метод найменших квадратів.

Функцію називають "найкращим наближенням" у сенсі методу найменших квадратів, якщо математичне сподівання

(11)

приймає найменше можливе значення. При цьому функцію називають середньоквадратичною регресією на .

У теорії ймовірностей доведено, що лінійна середня квадратична регресія на має вигляд

де

, ,

, ,

– коефіцієнт кореляції величин і ,

– кореляційний момент цих величин.

Можна показати, що кореляційний момент характеризує зв'язок між величинами і , зокрема, якщо вони незалежні, то

Коефіцієнт

називають коефіцієнтом регресії на , а пряму

(12)

називають прямою середньоквадратичної регресії на .

При підстановці знайдених значень і у формулу (11) отримуємо мінімальне значення функції , що дорівнює

Цю величину називають залишковою дисперсією випадкової величини щодо випадкової величини . Вона характеризує похибку, що виникає під час заміни лінійною функцією (10). При залишкова дисперсія дорівнює нулю, тобто в цих випадках лінійна функція (10) точно подає випадкову величину . Це означає, що при цьому та пов'язані лінійною функціональною залежністю.

Аналогічний вигляд має і пряма середньоквадратичної регресії на

(13)

Очевидно, що обидві прямі регресії (12) і (13) проходять через спільну точку , яка називається центром спільного розподілу величин і . Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то пряма регресії на (12) є паралельною осі , а пряма регресії на (13) – паралельна осі , тобто вони є взаємно ортогональні. Крім того, при обидві прямі регресії співпадають.

Таким чином, значення кута між прямими регресії (12) і (13) характеризує тісноту зв’язку між випадковими величинами: чим менше кут, тим більш тісною є зв’язок.

2.3 Умовне середнє і вибіркова регресія

У математичній статистиці вводять вибіркові оцінки умовного математичного сподівання і регресії. У якості оцінки умовного математичного сподівання беруть умовне середнє , яке знаходять за вибірковими даними спостережень.

Умовним середнім називається середнє арифметичне значень випадкової величини , що спостерігаються за умови, яка випадкова величина при цьому має значення . Аналогічно визначається і умовне середнє , однак надалі для стислості викладення обмежимося в основному розглядом тільки і пов'язаними з ним питаннями.

Також як і умовне математичне сподівання , його вибіркова оцінка є функцією від змінної , що позначимо через і будемо називати вибірковою регресією на , а її графік – вибірковою лінією регресії на . Крім того, за аналогією з рівняннями (8) і (9) вводяться вибіркові рівняння регресії на і на , відповідно

(14)

(15)

2.4 Визначення параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за незгрупованих даних

Нехай під час дослідження кількісних ознак ( , ) у результаті незалежних випробувань отримано пар чисел: , ,..., . Будемо шукати функцію в лінійному наближенні (все аналогічно проводиться і для функції у випадку регресії на ). Крім того, у припущенні незгрупованих даних спостережень (різні значення ознаки і відповідні їм значення ознаки спостерігалися по одному разу) і можна замінити на і . Під час цього рівняння прямої лінії регресії на можна подати у вигляді

(16)

Кутовий коефіцієнт прямої (16) називається вибірковим коефіцієнтом регресії на і позначається . Він є оцінкою коефіцієнта регресії в рівнянні (10). Тепер рівняння (16) можна переписати

(17)

Підберемо параметри і так, щоб сума квадратів відхилень прямої (17) від точок , ,..., , побудованих за даними спостережень, була б мінімальною

(18)

де

– ордината, що спостерігається, і є відповідною до ,

– ордината точки, що лежить на прямій (17) і має абсцису ,

.

Підставивши значення з рівняння (17) у формулу (18), одержимо

(19)

Дорівнявши нулю частинні похідні і функції (19) одержимо систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь щодо параметрів і для знаходження точки її мінімуму

(20)

де

, , ,

звідкіля остаточно знаходимо

Аналогічно визначається вибіркове рівняння прямої лінії регресії на .

2.5 Знаходження параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за згрупованими даними

При великій кількості спостережень одне й те ж саме значення може зустрітися раз, значення – раз, одна й та ж пара чисел може спостерігатися раз. Тому дані спостережень групують, тобто підраховують відповідні частоти , , . Усі згруповані дані записують у вигляді таблиці, що називають кореляційною.

Приклад такої таблиці приведено нижче (табл. 3).

Таблиця 3

У першому рядку цієї таблиці дано перелік значень (10; 20; 30; 40) ознаки , що спостерігаються, а в першому стовпці – спостерігаємі значення (0,4; 0,6; 0,8) ознаки . На перетинанні рядків і стовпчиків знаходяться частоти пар значень ознак. Наприклад, частота 5 вказує, що пара чисел (10; 0,4) спостерігається 5 разів. Риска означає, що відповідна пара чисел, наприклад (20; 0,4), не спостерігається.

В останньому стовпчикові записані суми частот рядків. В останньому рядку записані суми частот стовпчиків. У нижньому правому куті таблиці, поміщена сума всіх частот (загальна кількість всіх спостережень ).

У випадку згрупованих даних з урахуванням очевидних співвідношень

, , ,

систему рівнянь (20) можна переписати у виправленому вигляді

З рішення цієї системи ( , ) знаходимо рівняння прямої регресії

Шляхом нескладних перетворень його можна переписати у вигляді

де , – вибіркові середні квадратичні відхилення величин і

(21)

– вибірковий коефіцієнт кореляції.

Вибірковий коефіцієнт кореляції. Як відомо з теорії ймовірностей, якщо величини і незалежні, коефіцієнт їхньої кореляції , якщо – величини і пов'язані лінійною функціональною залежністю. Тобто коефіцієнт кореляції характеризує ступінь лінійного зв'язку між і .

Вибірковий коефіцієнт кореляції є оцінкою коефіцієнта кореляції генеральної сукупності, тому він також характеризує міру лінійного зв'язку між величинами і .

3 Поняття про криволінійну кореляцію

Раніше ми обмежилися лінійним наближенням функцій регресії, рівнянь регресії, відповідно і кореляційного зв'язку. Однак теорію можна узагальнити і на наступні наближення.

Нехай дані спостережень над кількісними ознаками і зведено до кореляційної таблиці. Тим самим значення , що спостерігаються, розбито на групи; кожна група містить ті значення , що відповідають визначеному значенню . Для приклада розглянемо кореляційну таблицю 4.

Таблиця 4

До першої групи відносяться ті 10 значень (4 рази спостерігалося значення і 6 разів ), що відповідають . До другої групи – ті 28 значень (28 разів спостерігалося і 0 разів ), що відповідають . До третьої групи відносяться 12 значень (6 разів спостерігалося і 6 разів ).

Умовні середні тепер можна назвати груповими середніми: групова середня першої групи

групова середня другої групи

для третьої групи

Оскільки всі значення ознаки розбито на групи, можна уявити загальну дисперсію ознаки у вигляді суми внутрішньо групової і міжгрупової дисперсій

Можна показати, що, якщо між величинами і є функціональна залежність, то

якщо ж вони пов'язані кореляційною залежністю, то

Вибіркове кореляційне відношення. Для оцінки ступені тісноти лінійного кореляційного зв'язку між ознаками у вибірці застосовується вибірковий коефіцієнт кореляції (21). У разі нелінійного кореляційного зв'язку з тою ж метою вводяться нові узагальнені характеристики:

– вибіркове кореляційне відношення до ;

– вибіркове кореляційне відношення к.

Вони визначаються за формулами:

,

Размещено на Allbest.ru

Характеристики

Список файлов реферата