149819 (732298), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(2.7)

оторая называется волновым числом. Умножив числи­тель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно пред­ставить волновое число в виде

(

(2.8)

см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

 = a cos ( t + kx +  )

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (2.8) только знаком при члене kx.

При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a = a₀ e^–γx. Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:



(2.9)

= a₀ e^–γx cos ( t + kx +  )

(a₀ – амплитуда в точках плоскости х = 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна t + . Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой

 ( t – r/ υ ) = t – kr + 

(

(2.10)

a

чтобы пройти путь r, волне требуется время τ = r/υ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид



r

= cos ( t + kx +  )

где a — постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность а равна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно доба­вить множитель e^–γx.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Н айдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x, y, z углы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид



(3.1)

= a cos ( t +  )

В

υ

ω

(3.2)

озьмем волновую поверхность (пло­скость), отстоящую от начала коорди­нат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время τ =l/υ:



Рис. 3.1

= a cos [ ( t − ) +  ] = a cos ( t − kl +  ).

(k = ω/υ; см. формулу (2.7)).

Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l:

nr = r cos φ= l.

З

(3.3)

аменим в (3.2) l через nr:

 = a cos ( t − knr +  )

В

(3.4)

ектор

k = kn,

р

(3.5)

авный по модулю волновому числу k = 2π/λ и имеющий направ­ление нормали к волновой поверхности, называется волно­вым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде

 ( r, t ) = a cos ( t − kr +  )

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ром k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­житель e^–γl = e^{–γ nr}.

Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором r в момент времени l (r оп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное про­изведение kr через компоненты векторов по координатным осям:

kr = k_xx + k_yy + k_zz.

Т

(3.6)

(3.7)

огда уравнение плоской волны примет вид

 (x, y, z, t ) = a cos ( t − k_xx – k_yy – k_zz +  )

З

2π

cos α,

λ

k_y =

2π

cos β,

λ

k_z =

2π

cos γ.

десь

Ф

λ

k_x =

ункция (3.6) дает отклонение точки с координатами х, у, z в мо­мент времени t. В случае, когда n совпадает с e_x, k_x = k, k_y = k_z = 0 (и уравнение (3.6) переходит в (2.8). Очень удобна запись урав­нения плоской волны в виде

 = Re ae^{i (ωt-kr+α)}

З

(3.9)

(3.8)

(3.10)

нак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число

â = ae^iα,

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде

 = âe^{i (ωt-kr)}

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.

§ 4. Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

С



ложение производных по координатам дает

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

С опоставив эту сумму с производной по времени и заменив k²/ω² через 1/υ² (см. (2.7)), получим уравнение

Э то и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

υ

где Δ – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

f(x, y, z, t)=f(t − k_xx – k_yy – k_zz + )

Д ействительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем

Аналогично

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

В сякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны.

О тметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

υ

§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде

П

Рис. 5.2

усть в направлении оси х распространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δx (рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение ξ, то смещение основания с координатой x+Δx будет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, что ξ меняется с изменением х не по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х, нужно устремить Δx к нулю. Таким образом,

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(символ частной производной взят потому, что зависит не только от x, но и от t).

Н аличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения σ, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома

(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция , а следовательно, и напряжение σ в фиксированный мо­мент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как уже отмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

О братимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра рав­на ρSΔx, где ρ – плотность недеформированной среды. Проек­ция на ось x силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напря­жений в сечениях (x+Δx+ξ+Δξ) и (x+ξ):

З начение производной в сечении x+δ можно для малых δ представить с большой точностью в виде

где под подразумевается значение второй частной произ­водной ξ по х в сечении х.

Ввиду малосги величин Δx, ξ и Δξ произведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):

(5.5)

(

<

< Δx

относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому Δξ , так что слагаемым Δξ в сумме Δx+Δξ, можно пренебречь).

П одставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим

Наконец, сократив на SΔx, придем к уравнению

(5.6)

которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ξ не зависит от у и z. Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что

υ =

(5.7)

Т аким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

υ =

(5.8)

(6.1)

где G – модуль сдвига.

§ 6. Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна

 = a cos ( t − kx +  )

В ыделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и .

В ыделенный нами объем обладает кинетической энергией

(6.2)

(ρΔV – масса объема, – его скорость).

Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации

(ε = – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ρυ² (ρ – плотность среды, υ – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид

(6.3)

(6.4)

Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию

Р азделив эту энергию на объем ΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии

w

Д ифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x дает

Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k²υ² = ω², получим

(6.5)

В случае поперечной волны для плотности энергии получается та­кое же выражение.

И

(6.6)

з (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квад­рата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соот­ветственно среднее по времени значение плотности энергии в каж­дой точке среды равно

Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорцио­нальны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату ампли­туды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плос­кой затухающей, сферической и т. д.).

И

(6.7)

так, среда, в которой распространяется волна, обладает до­полнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от ис­точника колебаний в различные точки среды самой волной; следо­вательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу вре­мени, называется потоком энергии через эту поверх­ность. Если через данную поверхность переносится за время dt энергия dW, то поток энергии Φ равен

Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. сов­падает с размерностью мощности. В соответствии с этим Φ измеря­ется в ваттах, эрг/с и т. п.

П оток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором пере­носится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔW. Тогда плотность потока энергии равна

(6.8)

( см. (6.7)). Через площадку (рис. 6.1) будет перенесена за время Δt энергия ΔW, заключенная в объеме цилиндра с основа­нием и высотой υΔt (υ – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости и Δt) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра, равный υΔt:

Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плот­ности потока энергии:

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)

Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распростране­ния волны (и переноса энергии), можно написать

j = wv

М

Рис.6.1

Рис.6.2

ы получили выражение для вектора плотности потока энер­гии. Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w, различен в разных точках про-

с транства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно

(см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.).

Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плот­ности потока энергии, переносимой волной.

Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разо­бьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равен dV = υ dt dS cosφ . В нем содержится энергия dW = w dV = w υ dtdS cos φ (w — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где рас­положена площадка dS). Приняв во внимание, что

w υ dS cos φ = j dS cos φ = j dS

(dS = n dS; см. рис. 6.2), можно написать: dW = j dS dt. Отсюда для потока энергии dΦ через площадку dS получается формула

(

(6.13)

(6.14)

ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (6.12):

В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S.

З аменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение Φ:

Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каж­дой точке этой поверхности векторы j и dS совпадают по направле­нию. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности оди­наков. Следовательно,

( r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11) . Таким образом,

(a_r – амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии че­рез сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие

О тсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. формулу (5.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с рас­стоянием по закону a = = a₀ e^-γx (см. (2.9)). Соответственно средняя плотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по

(6.15)

Здесь  = 2γ – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная , равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз.

§ 7. Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна­ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при нало­жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

₁ = a cos ( t − kx + ₁ ), ₂ = a cos ( t + kx + ₂ ).

С

(7.1)

(7.2)

ложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность α₁ – α₂ стала равной нулю, а начало отсчета t — так, чтобы оказалась равной нулю сумма α₁ – α₂. Кроме того, заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (7.1) примет вид

Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем ампли­туда зависит от х:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2πx/λ =  nπ (n  N) – (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:

(7.4)

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x, определяемые формулой (7.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

(7.5)

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плос­кость, точки которой имеют значения координаты х, определяе­мые формулой (7.5).

И

2acos(2x/)

з формул (7.4) и (7.5) следует, что расстояние между сосед­ними пучностями, так же как и расстояние между соседними узла­ми, равно /2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на . Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, ко­леблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя со­седними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

П родифференцировав уравнение (7.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для дефор­мации среды :

(7.6)

(7.7)

Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации.

Н

Рис.7.2

Рис.7.1

а рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще­ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4. Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч­ностями смещения; узлы же и п учно­сти деформации совпадают соответ­ственно с пучностями и узлами сме­щения. В то время как  и ε достигают максимальных значений, обраща­ется в нуль, и наоборот. Соответст­венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль­ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо­дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со­средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Характеристики

Список файлов реферата