CBRR1813 (732129), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Таким образом, центральная симметрия Z₀ отображает параллелепипед на себя: Z₀(AC₁) = AC₁. Теорема доказана.

Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:

1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Так, на рисунке A₁O=OC, B₁O=OD, D₁O=OB, AO=OC₁, а также MO=ON, где M`A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, N`ABCD, O`MN.

2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Так, на рисунке AA₁D₁D=BB₁C₁C, (AA₁D₁)П(BB₁C₁).

Рассмотренными свойствами обладает произвольный параллелепипед. Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений.

Дано: АС₁ - прямоугольный параллелепипед, чABч= a, чADч=b, чAA₁ч=c - его измерения, чAC₁ч=d - длина его диагонали.

Доказать: d²=a²+b²+c².

Доказательство. Введем систему координат так, как показано на рисунке , приняв за ее начало вершину А, за произвольный базис тройку векторов V, b, c. Тогда вектор AC имеет координаты (a;b;c), и, следовательно,

є

чAC ч ²= d²=a²+b²+c².

Теорема доказана.

3. Симметрия в пространстве

Теорема, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О, в которой они делятся пополам (рис ), напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой (рис. ). Точка О - это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С₁, В и D₁, С и А₁, D и В₁ симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к АВ в середине этого отрезка. Лежандр показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к ребрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.

Призма

Задачи

Литература

1. Глейзер Г.Д. Геометрия. Учебное пособие для старших классов. М., Просвещение, 1994.

2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М., Просвещение, 1992.

Характеристики

Список файлов реферата