73817-1 (707737), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Примеров подобной навязчивости история становления теории множеств знает немало. Один из самых знаменитых – это континуум-гипотеза. Г. Кантор очень надеялся и настойчиво стремился доказать, что следующая по величине после мощности множества натуральных чисел a0 идет как раз мощность множества, представляющего собой арифметическую модель континуума (подробнее см., например, [5, гл. 5, 1]).
2a0 = a1
Однако ни самому Кантору, ни его последователям доказать этого не удалось. В 1963 г. П. Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств Цермело – Френкеля... Более того, Коэн склонялся к тому, что мощность континуума больше [6, с. 42], чем любое an для любого n, больше a и т.д. ( есть первый бесконечный ординал, соответствующий множеству всех натуральных чисел {1, 2, 3,...})... Бесконечное разоблачает наши наивные ожидания, что в нем «все происходит так, как здесь и теперь». В бесконечном слишком много возможностей. И главное, непонятно вообще, как эти возможности можно было бы «учесть», инвентаризировать.
3. Умудренное незнание
Даже в своих простейших вариантах мир теории множеств оказывается в высшей степени парадоксальным. Трудно сразу представить, что принятие аксиомы выбора, столь казалось бы естественного утверждения, приводит к парадоксу Банаха – Тарского: «Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар» [7, с. 42]. И сразу, конечно, возникает вопрос: а как это соотносится с физическим миром? Неужели подобное возможно и в отношении вещества?.. Или же аксиома выбора здесь неприменима?.. Мы не знаем ответов на эти вопросы.
Так называемые парадоксы, а точнее, сложнейшие апории, были «язвою» теории множеств с самых первых этапов ее вхождения в научный оборот, уже с 1890-х гг. Так, Б. Рассел, анализируя канторовскую теорему о так называемом «множестве-степени» (теорема о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем исходное множество), выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е. множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента? Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющееся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда, значит, М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие. На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом.
Другим очень неприятным казусом был парадокс Бурали-Форти. Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено, и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип . Этот тип должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. тоже входит в W. И мы тем самым приходим к противоречию: . Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда разрушалось также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей).
Кантор пытался уйти от парадоксов, связанных с «очень большими» множествами, по существу, опять... введением новых аксиом. Уже к концу 1990-х гг. он предлагает (в письмах к Дедекинду) различать множественность (или совокупность) (Vielheit) и множество (Menge). Не всякая множественность есть множество. Если «совместное бытие» всех элементов некоторой множественности (совокупности) можно «мыслить без противоречия», то мы говорим, – по Кантору, – что нам дано некоторое множество. В противном случае мы можем говорить только о множественности или неконсистентной совокупности. Например, именно таков случай, когда мы рассматриваем «совокупность всего мыслимого» или множества всех множеств, не являющихся элементом самого себя из парадокса Рассела. Собственно говоря, теория множеств в своей содержательной части действительна только для множеств, а не для любых совокупностей.
Но как же практически определять, будет ли совокупность консистентной или нет? На основании чего мы можем утверждать, что множественности, которым приписываются даже первые кардинальные числа: a0 (мощность любого счетного множества), a1, .., an – являются консистентными? Ответ Кантора определенен и... неубедителен: утверждение о консистентности этих множеств есть «аксиома обобщенной трансфинитной арифметики» (см. [5, гл. 5, 3]). Но опять, не является ли постулирование подобных свойств для бесконечности ничем не оправданной «навязчивостью» в отношении этого таинственного «объекта»?
Любопытно заметить, что вместе с признанием существования неконсистентных совокупностей рушилась одна из основных интенций теории множеств. Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность, «дурную бесконечность» потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но в конце концов это оказалось в принципе невозможным. Например, вся совокупность ординалов (участвующая, в частности, и в парадоксе Бурали-Форти) является неконсистентной... «Теория множеств, – пишет чешский математик П. Вопенка, – усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу» [8, с. 24].
Драматические события истории «приручения» актуальной бесконечности в науке вызывают в памяти классическую дихотомию христианского богословия: апофатический и катафатический путь познания Бога. Катафатическое (от греч. – утвердительный) богословие описывает Бога так, как Он нам является в откровении. Здесь Богу подобают имена – Мудрость, Любовь, Благость и т.д., взятые в превосходной степени. Однако в своей природе, в своей сущности Бог остается трансцендентным и непостижимым. Бог неименуем в своей глубине, и путь приближения к нему есть путь христианской мистики. Соответствующее этому богословие называется апофатическим (от греч. j – отрицательный). «Путь негативный, апофатический стремится познать Бога не в том, что Он есть (т.е. не в соответствии с нашим тварным опытом), а в том, что Он не есть», – пишет В.Н. Лосский [9, с. 261–336]. Путь этот состоит в последовательности отрицаний: исключается все тварное, все тварные качества, включая и «небеса», т.е. ангельский мир. Далее исключаются самые возвышенные атрибуты: благость, любовь, мудрость, – так как Бог выше и всего этого. И наконец, бытие, ибо Бог как источник самого существования выше и бытия. Остается лишь мистический опыт неизреченного предстояния Живому Богу, лицом к Лицу...
Эта традиционная богословская дихотомия как бы отзывается эхом и в научных интерпретациях бесконечности. Исторически традиционный, «консервативный» подход к бесконечности, укорененный еще в греческой античности, – именно «апофатический». Отказываясь рассматривать актуально бесконечное, признавая только потенциальную бесконечность, мы как бы остаемся «по эту сторону» от бесконечности, рассматриваем ее только с точки зрения конечного. Спекулятивные же построения с актуально бесконечным есть уже «катафатика»: мы претендуем познать бесконечное в самом себе. Вся сложность в том, что бесконечность, действительно, нам в некотором смысле «дана». Кантор справедливо писал, что если мы признаем потенциальную бесконечность, то мы должны признать и актуальную [10, с. 297]. Актуальная бесконечность представляет собой как бы «вместилище», в котором разворачивается ряд потенциальной бесконечности (например, натуральный ряд чисел: 1,2,3,..), и это вместилище должно быть уже актуально данным. Мы «видим» это вместилище как бы «боковым зрением»; точнее говоря, мы не можем «видеть» этого вместилища как отдельный «объект», потому что мы сами есть его часть, а грань между субъектом и объектом оказывается здесь снятой... Кантор прав, что нам дано это «объемлющее вместилище», однако каким должен быть «способ передвижения» по нему – вопрос сложный и спорный... В нашем восприятии актуально бесконечного «по ту сторону» субъект-объектной грани опять усматривается некоторая параллель с апофатикой христианского опыта, в которой предстояние Богу лицом к лицу также «неслиянно и нераздельно». Хотя, конечно, есть и существенная разница: опыт, так сказать, «математической апофатики» характерно безличен... Скорее его можно уподобить неоплатонической апофатике: в этом «все» актуально бесконечного открывается нам как бы только «пространство» для личной встречи (см., например, [9]).
Мы говорили выше, что позитивные попытки осмысления бесконечности начались в европейской мысли именно с утверждением христианства. Наличие этой «пуповины», связывающей проблемы бесконечности и теологию, в новейшее время было еще раз убедительно засвидетельствовано работами Кантора. Четыре столетия настойчивых усилий по осмыслению бесконечного не принесли нам много нового знания. Бесконечность и сегодня остается для нас глубокой тайной, такой же непостижимой, как свобода, личность, Бог. Эти попытки, однако, позволили «расчистить почву», лучше осознать, что мы действительно знаем, что нам только кажется, а чего мы просто очень хотим... Благодаря этому мы сегодня можем, в частности, лучше оценить мудрость слов, сказанных на заре новоевропейской науки одним из ее гениальных пионеров, Блезом Паскалем: «Мы знаем, что есть бесконечность, но мы не знаем ее природы... Можно, следовательно, также очень хорошо знать, что Бог есть, не зная того, что Он есть; и мы не должны заключать, что Бога нет из того, что мы неясно осознаем Его природу» (см. [11, p. 161]).
Список литературы
1. Платон. Филеб. – 17e, 4–8 (пер. Н.В.Самсонова).
2. Аристотель. Физика. 207a, 22–27 (пер. В.П.Карпова).
3. Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М.: Наука, 1993.
4. Лейбниц Г.В. Сочинения в четырех томах. Т. 1. М., 1982. С. 312–317.
5. Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999.
6. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. Библиотека сб. «Математика». М., 1982.
7. Справочная книга по математической логике. Ч. II. Теория множеств. М., 1982.
8. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. Новое в зарубежной науке // Математика. М.: Мир, 1983. № 31.
9. Лосский В.Н. Догматическое богословие // Мистическое богословие. Киев, 1991. С. 261–336.
10. Кантор Г. Труды по теории множеств / Отв. ред. А.Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. М., 1985.
Pensees // Pensees de Pascal et de Nicole. Paris, 1852.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.auditorium.ru
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
