26421-1 (707568), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теория мантийной конвекции с твердыми плавающими континентами основана на численных экспериментах, т.е. на численном решении системы уравнений переноса энергии, массы, импульса и момента импульса для системы мантия-континенты. В предыдущих работах авторов показано, что континенты не являются пассивными образованиями, но могут существенно влиять на эволюцию мантийной конвекции. Их можно рассматривать вмороженными в океаническую литосферу только на небольших интервалах геологического времени. Континентальная литосфера возникает и существует в течение миллиардов лет только потому, что плавучие континенты постоянно затягиваются на холодные нисходящие мантийные потоки. Поэтому континенальная литосфера все время оствается холодной, высоковязкой и прочной. Под неподвижным континентом благодаря эффекту теплоэкранирования мантия со временем (в течениее порядка 200-500 млн лет) неизбежно прогревается и возникают горячие восходящие потоки, стремящиеся расплавить и раздробить континентальную литосферу и кору.

В настоящей работе приводятся результаты длительного численного эксперимента для идеализированной модели с 12 континентами, плавающими на сферической мантии, с учетом их механического и теплового взаимодействия с мантией и между собой. Целью работы была проверка того, могут ли плавающие на сферической мантии континенты многократно объединяться и расходиться без привлечения каких-либо дополнительных усложняющих процессов.

2. Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами

2.1. Уравнения мантийной конвекции

Тепловая конвекция в вязкой мантии описывается распределением вектора конвективных скоростей V_i(x,y,z), распределением температуры T(x,y,z) и давления p(x,y,z). Эти неизвестные функции находятся из решения системы трех уравнений: уравнения переноса импульса, тепла и массы

где S_{i j} - девиаторный тензор вязких напряжений,

Ra - число Рэлея, равное

Уравнения (1-3) записаны в приближении Буссинеска в безразмерных переменных. За единицу измерения для длины принята толщина мантии D, для скорости D/k, для времени D²/k, для температуры T₀, для вязкости h₀, для давления и напряжений h₀k/D². Давление p отсчитано от его гидростатического распределения p(z), определяемого условием p₀ = - r₀g.

2.2. Уравнения движения свободно плавающего континента

На континент действует сила тяжести, приложенная к центру тяжести, и силы взаимодействия с вязкой мантией, приложенные к элементам поверхности погруженной части континента. Под действием этих сил континент плавает в мантии, перемещаясь вдоль поверхности и вращаясь вокруг вертикальной оси. Так как давление и скорости мантийных течений меняются во времени и в пространстве, то в общем случае не равны нулю как вертикальная скорость центра тяжести континента w₀, так и скорости вращения континента w_x и w_y вокруг мгновенных горизонтальных осей x и y.

Континенты могут опускаться (когда они находятся над нисходящими мантийными потоками) вместе с поверхностью мантии и относительно ее и подниматься (в местах восходящих потоков). При этом величина опускания и подьема разных концов континента могут быть разными. В дальнейшем будем рассматривать только горизонтальные перемещения центра тяжести континента и вращение континента вокруг локальной вертикальной оси, пренебрегая всеми остальными малыми эффектами, полагая w₀=0 и w_x=w_y=0.

Поскольку сила тяжести уравновешана выталкивающея силой, то внешняя сила, действующая на континент сводится к силе вязкого сцепления с мантией, при этом давление p нужно считать отсчитанным от гидростатически равновесного распределения p₀(z).

Таким образом, для горизонтального движения и вращения вокруг мгновенной вертикальной оси твердого континента произвольной формы уравнения Эйлера сводятся к системе трех динамических уравнений и трех кинематических соотношений [Trubitsyn, 2000a, 2000b; Trubitsyn and Rykov, 1998a, 1998b]

где M - масса континента, I₃₃ - его момент инерции относительно вертикальной оси, x_c(t) и y_c(t) - координаты центра тяжести континента, j - угол поворота континента, d_{i j} - символ Кронеккера, равный 1 при i=j и равный 0 при i j,e_ijk - символ Леви-Чивита, равный нулю при совпадении любых двух индексов, равный 1 при четной транспозиции индексов по сравнению с 1, 2, 3 и равный - 1 - при нечетной транспозиции.

Из соотношений размерности следует, что величина инерциальных членов в левой части уравнений Эйлера для движения континентов (6-8), как и для уравнения переноса импулься в вязкой жидкости (1), имеет порядок kr/m 10^-23. Поэтому они могут быть положены равными нулю.

После пренебрежения инерциальными членами уравнения Эйлера для движения континентов дают шесть соотношений для нахождения шести неизвестных: координат центра тяжести континента x_c(t), y_c(t), угла его поворота j и скоростей континента u₀(t), v₀(t) и w₃(t)

Уравнение для распределения температуры T_c внутри твердого континента в исходной неподвижной системе координат сводится к уравнению теплопроводности с адвективным переносом тепла со скоростью континента u

2.3. Граничные условия

Уравнения мантийной конвекции (1-3) и уравнения для движения континента (6-8) и переноса тепла в нем (14) связаны между собой через граничные условия.

Как указывалось, для мантийных течений на нижней и боковых границах расчетной области принимается условие непротекания и проскальзывания (равенство нулю нормальной составляющей скорости жидкости и равенства нулю тангенциальных составляющих вязких сил)

где n_k - единичный вектор, нормальный к данной поверхности и t_i - единичные вектора, касательные к ней.

На границе твердых движущихся континентов принимается условие непротекания и прилипания, т.е. равенство скоростей жидкой мантии и скоростей континента

на всей поверхности погруженной в мантию части континента.

Температура на нижней границе области фиксирована T =1. На боковых границах (для конечной области) принимается условие нулевого теплового потока

где n_k - единичный вектор, нормальный к боковой поверхности области.

На верхней свободной поверхности температура мантии равна нулю ( T =0) только в океанической области вне континента.

На поверхности погруженной в мантию части континента принимается условие непрерывности температуры и теплового потока между мантией и континентом

На верхней поверхности континента температура полагается равной нулю

Таким образом, математическая проблема сводится к следующему. Имеется три неизвестные функции координат и времени для мантийной конвекции: вектор скоростей мантийных течений V_i(x,y,z,t), распределение температуры T(x,y,z,t) и распределение давления p(x,y,z,t), а также четыре неизвестные функции времени для движения континентов как целых: две компоненты мгновенной скорости поступательного движения центра тяжести u₀(t) и v₀(t), одна компонента мгновенной угловой скорости вращения континента вокруг центра тяжести w(t) и распределение температуры в континенте T_c(x,y,z,t). Для их нахождения имеется система взаимосвязанных уравнений: три дифференциальных уравнения конвекции (1-3), три интегральных соотношения (10-12), к которым свелись уравнения Эйлера и уравнение переноса тепла в континенте (14). Зная в данный момент положение и скорости континента u₀(t), v₀(t) и w(t), можно по (9) найти его положение в следующий момент времени. Для определения постоянных интегрирования дифференциальных уравнений служат граничные условия (14-16).

Отличие рассматриваемой задачи со свободно плавающим континентом от известной задачи с неподвижным континентом состоит в том, что граничные условия для скоростей течений и температуры на границе с континентом ставятся в месте нахождения в каждый данный момент плавающего континента. При этом, скорость и положение континента заранее не известны, а определяются из решения всей системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений.

Характеристики

Список файлов реферата