63781 (695447), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Характеристический полином имеет вид

.

Определяем выражение

Изменяя частоту в пределах 0 (0 /T) строим годограф Михайлова (рис. 7).

Таблица 1

\

Рис. 7

Как видно из рисунка система находится на границе устойчивости.

Проверим по критерию Гурвица при

k_vT = 2; z+1 = 0; z₁ = -1; 1 z₁1=1.

Корень находится на окружности единичного радиуса, следовательно, система находится на границе устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова с использованием билинейного преобразования

При этом исходным является характеристический полином в форме z-преобразования. Выполним подстановку

z = (1+w)/(1-w) .

(11)

Пусть: w = j, где –фиктивная частота (0 ).

При этом критерий Михайлова для дискретных систем применяется в таком же виде, как и для непрерывных систем.

Пример 9. Определить условие устойчивости по критерию Михайлова дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.

Решение:

Характеристический полином имеет вид

.

Выполнив подстановку z = (1+w)/(1-w), в характеристический полином получим

.

Выполнив подстановку w = j, в характеристический полином получим

Строим график рис. 8. Система устойчива при k_vT > 2. Критический коэффициент усиления равен k_{v кр} = 2/T.

Рис. 8

Критерий устойчивости Найквиста

Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых дискретных систем

(12)

где D*(p) – характеристический полином замкнутой системы;

A*(p) – характеристический полином разомкнутой системы.

В соответствии со следствием из принципа аргумента

(13)

Рассмотрим разные случаи.

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии

Так как разомкнутая дискретная система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т. е. m = 0), для того чтобы и замкнутая дискретная система была устойчива, должно выполняться условие

(14)

Формулировка критерия Найквиста:

Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой устойчивой системы не охватывает току с координатами (–1,j0).

Графически это обозначает, что годограф вектора W*(j) не охватывает начала координат, а вектора K*(j) -точку с координатами (-1, j0).

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии

Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того чтобы замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:

Графически это обозначает, что годограф вектора K(j) охватывает точку с координатами (-1, j0) m –раз.

Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает току с координатами (–1 , j0) m раз.

Пример 10. Определить условия устойчивости и величину критического коэффициента усиления по критерию Найквиста дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.

Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z– преобразования

При этом выражение для частотной характеристики имеет вид

Строим частотную характеристику дискретной системы в соответствии с таблицами 2 и 3 (рис. 9).

Характеристику строим на интервале частот 0 /T в дальнейшем характеристики повторяются, так как они носят периодический характер.

Условие устойчивости данной дискретной системы определяется соотношением k_vT/2 = 1. 0 /T

Таблица 2

Рис. 9

Таблица 3

Критический коэффициент усиления системы равен k_{v кр} = 2/Т.

Литература

1. Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002г. – 832с.

2. Харазов В. Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. – 550с.

3. Чебурахин И. Синтез дискретных управляющих систем и математическое моделирование: теория, алгоритмы, программы. Изд-во: НИЦ РХД, ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 248c.

Характеристики

Список файлов реферата