63482 (695337), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

У теоремі має місце умова .

Теорема. Якщо існує хоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану у стан , то існує й оптимальне по швидкодії керування, що також переводить систему з у .

4. Умови оптимальності у задачі з рухомими кінцями

У задачі з рухомими кінцями або початковий стан , або кінцевий стан , або обидва ці стани невідомі. Задані тільки множини і , що містять точки та .

Гіперповерхня – це множина всіх точок , які задовольняють співвідношенню

,

де – скалярна диференційована функція. Якщо – лінійна функція, то гіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням

. (19)

Якщо , то гіперплощина (19) є ( )-вимірним лінійним підпростором в .

Будь-який ( )-вимірний підпростір може бути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з рівнянь із невідомими, матриця якої має ранг :

.

Такий лінійний підпростір називається -вимірною площиною. Множина розв’язань системи нелінійних рівнянь

де функції , …, диференційовані і ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює , є -вимірним гладким різноманіттям.

Задача оптимального керування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустиме керування для системи із законом руху

, , ,

яке переводить фазову точку з деякого, заздалегідь невідомого, стану на -вимірному різноманітті ( ) у деякий стан на -вимірному різноманітті ( ) і надає найменшого значення функціоналу

.

Задача оптимального керування з фіксованими кінцями є окремим випадком цієї задачі при , тобто коли різноманіття і вироджуються в точку.

Відсутність рівнянь, що задають початковий і кінцевий стани, приводить до того, що система необхідних умов перестає бути повною. У цьому разі для одержання відсутніх рівнянь використовують умови, що називаються умовами трансверсальності.

Умови трансверсальності. Вектор спряжених змінних із принципу максимуму задовольняє умові трансверсальності на лівому кінці траєкторії , якщо вектор ортогональний дотичній площини до різноманіття в точці , тобто

, (20)

де – довільний вектор, що лежить у дотичній площини. Аналогічно формулюється умова на правому кінці.

Якщо , – оптимальний процес у задачі з рухомими кінцями , , то ненульова вектор-функція , що існує відповідно до теореми 3, задовольняє на кожному з кінців траєкторії умовам трансверсальності.

Розглянемо окремий випадок задачі з рухомими кінцями, коли, наприклад, правий кінець траєкторії вільний (тобто ). Тоді умови трансверсальності зводяться до співвідношення . Повний вектор спряжених змінних

визначається з точністю до довільної сталої, зокрема, вважають, що (відповідно до принципу максимуму , ) і тоді

.

Характеристики

Список файлов реферата