63364 (695304), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Например, минимальные многочлены элементов соответствуют минимальному многочлену элемента a¹, минимальные многочлены элементов соответствуют минимальному многочлену a³ и т.п.

Пример. Определить значение порождающего многочлена для построения примитивного кода БЧХ над GF(2) длины 31, обеспечивающего t_u=3.

Определяем значения m и j.

Из таблицы минимальных многочленов в соответствии с m=5 и j=5 получаем

Заданные исходные данные: n и t_u или k и t_u для построения циклического кода часто приводят к выбору завышенного значения m и как следствие этого к неоправданному увеличению длины кода. Такое положение снижает эффективность полученного кода, так как часть информационных разрядов вообще не используется.

Пример. Требуется построить циклический код, исправляющий двух кратные ошибки, если длина информационной части кода k=40.

Согласно выражению для примитивного кода n=2^m-1, ближайшая длина кода равна 63, для которой m=6, а r=mt_u=12. Следовательно, код будет иметь n=63, k=51. Неиспользованных информационных разрядов будет 11(51-40).

Подобное несоответствие в ряде случаев можно устранить, применяя непримитивный код БЧХ.

Непримитивным кодом БЧХ, исправляющим t_u ошибок, называется код длины n над GF(q), для которого элементы являются корнями порождающего многочлена.

Здесь bⁱ-непримитивный элемент GF(q^m), а длина кода n равна порядку элемента bⁱ.

Примечание.

Порядком элемента bⁱ является наименьшее n, для которого .

Пример. Порядок элемента b³ поля GF(2⁶) равен 21, так как .

Порождающий многочлен непримитивного кода БЧХ, по аналогии с примитивным кодом, определяется из выражения - минимальные многочлены элементов поля GF(q^m), которые являются корнями g(x); i - степень непримитивного элемента b.

Пример. Определить значение g(x) для построения непримитивного кода БЧХ над GF(2) длины n=20, исправляющего двух кратные ошибки.

Из таблицы непримитивных элементов GF(2^m) (см. таблицу 7 приложения) выбираем поле, элемент b которого имеет порядок больший, но близкий к заданному n.

Приложение

Таблица 1

Разложение бинома хⁿ+1 на неприводимые сомножители

Степень бинома	Последовательности степеней корней неприводимых сомножителей	Неприводимые сомножители
7	1 2 4 3 6 5	13 15
15	01 02 04 08 03 06 12 09 05 10 07 14 13 11	023 037 007 031
31	01 02 04 08 16 03 06 12 24 17 05 10 20 09 18 07 14 28 25 19 11 22 13 26 21 15 30 29 27 23	045 075 067 057 073 051
63	01 02 04 08 16 32 03 06 12 24 48 33 05 10 20 40 17 34 07 14 28 56 49 35 09 18 36 11 22 44 25 50 37 13 26 52 41 19 38 15 30 60 57 51 39 21 42 23 46 29 58 53 43 27 54 45 31 62 61 59 55 47	103 127 147 111 015 155 133 165 007 163 013 141

Примечание. В разложение всех биномов входит сомножитель 03 с корнем 00. Все сомножители представлены в восьмеричной форме.

Таблица 2

Элементы поля GF(16) как расширение GF(2) по примитивному многочлену a(z)=z⁴+z+1

В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени
0000	0	0
0001	1	a0
0010	z	a1
0100	z2	a2
1000	z3	a3
0011	z+1	a4
0110	z2+z	a5
1100	z3+z2	a6
1011	z3+z+1	a7
0101	z2+1	a8
1010	z3+z	a9
0111	z2+z+1	a10
1110	z3+z2+z	a11
1111	z3+z2+z+1	a12
1101	z3+z2+1	a13
1001	z3+1	a14

Таблица 3

Элементы поля GF(16) как расширение GF(4) по примитивному многочлену f(z)=z²+z+2

В четвертичном виде	В десятичном виде	В виде многочлена	В виде степени
00	0	0	0
01	1	1	a0
10	4	z	a1
12	6	z+2	a2
32	14	3z+2	a3
11	5	z+1	a4
02	2	2	a5
20	8	2z	a6
23	11	2z+3	a7
13	7	z+3	a8
22	10	2z+2	a9
03	3	3	a10
30	12	3z	a11
31	13	3z+1	a12
21	9	2z+1	a13
33	15	3z+3	a14

Таблица 4

Элементы поля GF(4) как расширение GF(2) по примитивному многочлену f(z)=z²+z+1

В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени	В десятичном виде
00	0	0	0
01	1	a0	1
10	z	a1	2
11	z+1	a2	3

Таблица 6

Элементы поля GF(8) как расширение GF(2) по примитивному многочлену f(z)=z³+z+1

В двоичном виде	В виде многочлена	В виде степени
000	0	0
001	1	a0
010	z	a1
100	z2	a2
011	z+1	a3
110	z2+z	a4
111	z2+z+1	a5
101	z2+1	a6

Таблица 7

Непримитивные элементы поля GF(2^m)

¹	m	GF(2m)	b	n
1	4	GF(24)	b3	5
			b5	3
2	6	GF(26)	b3	21
			b7	9
			b9	7
3	8	GF(27)	b3	85
			b5	51
			b15	17
			b17	15
4	9	GF(29)	b7	73
5	10	GF(210)	b3	341
			b11	93
			b31	33
			b33	31
6	12	GF(212)	b3	1365
			b5	819
			b7	585
			b9	455
			b13	315
			b15	273
			b21	195
			b45	91
			b63	65
			b65	63

Таблица 8

Минимальные неприводимые многочлены в поле GF(2^m)

2tu-1					m
	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35	7	13 15	31 37 07 31	45 75 67 57 73	103 127 147 111 015 155	211 217 235 367 277 325 203	435 567 763 551 675 747 453 727 023 545 613 543 433 477 615 435 537 771	1021 1131 1461 1231 1423 1055 1167 1541 1333 1605 1027 1751 1743 1617 1401	2011 2017 2415 3771 2257 2065 2157 2653 3515 2773 3753 2033 2443 3573 2461 3041 75 3023

Такими являются GF(2⁶) и b³, порядок которого n=21.

Характеристики

Список файлов реферата