_fizika (694836), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рисунок 2.1.1.

Амплитуда колебаний в случае отсутствия затухания процесса будет такой же как и амплитуда точки О. Часы или секундомер №2 включаются тогда, когда колебательный процесс дойдет до точки В (т.е. когда начинает колебаться точка В), и отсчитывают время . Моменты времени t и связаны между собой соотношением или . Расстояние между точками О и В обозначим . Фазовая скорость волны равна , тогда . Учитывая соотношения для и и формулы и , можно записать уравнение колебаний точки В в разных видах:

.

Аналогично уравнению колебаний точки В запишем уравнение колебаний любой точки среды, расположенной на расстоянии y от источника колебаний:

,

где - волновое число (см. определение выше).

Это уравнение и есть уравнение для смещения любой точки пространства в любой момент времени, т.е. уравнение бегущей волны, где А – амплитуда, величина - фаза волны, которая в отличии от фазы колебаний зависит и от времени «t», и от расстояния «y» колеблющейся точки от источника колебаний.

Вернемся к разделению волн по форме фронта волны и к понятию луча, как направления распространения колебательного процесса. Учтем, что в изотропной среде лучи перпендикулярны фронту и имеют вид прямых линий. Тогда уравнение бегущей волны, полученное выше, есть уравнение плоской бегущей волны, т.е. когда фронт волны – плоскость.

Уравнение плоской отраженной волны в одномерном пространстве легко получить, если представить ее как бегущую волну в отрицательном направлении оси ОУ, что приведет к замене в уравнении бегущей волны координаты «y» на «-y»:

.

Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Так, рассмотренные выше бегущая и отраженная волны являются гармоническими волнами.

6. Волновое уравнение.

Когда мы рассматривали колебания, то для любой колебательной системы получали дифференциальное уравнение, для которого соответствующее уравнение колебаний являлось решением. Аналогично уравнение бегущей и отраженной волны являются решениями дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, называемого волновым уравнением и имеющего вид:

,

где - фазовая скорость волны.

Уравнения бегущей и отраженной волн и волновое уравнение представлены для случая одного измерения, т.е. распространения волны вдоль оси ОУ. В волновое уравнение входят вторые частные производные по времени и координате от смещения потому, что есть функция двух переменных t и y.

7. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Относительное смещение точек среды.

Если смещение любой точки среды с координатой y в момент времени t задано уравнением:

,

то скорость этой точки есть величина , а ускорение - :

,

§ 1.3. Энергия упругих волн.

В среде распространяется плоская упругая волна и переносит энергию, величина которой в объеме равна:

,

где - объемная плотность среды.

Если выбранный объем записать как , где S – площадь его поперечного сечения, а - его длина, то среднее количество энергии, переносимое волной за единицу времени через поперечное сечение S, называется потоком через его поверхность:

.

Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии волны.

Эта величина определяется соотношением:

,

где -объемная плотность энергии волны, - фазовая скорость волны. Так как фазовая скорость волны - вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, то можно величине плотности потока энергии I придать смысл векторной величины:

.

Величина , вектор плотности энергии волны, впервые была введена Н.А. Умовым в 1984 году и получила название вектора Умова. Подобная величина для электромагнитных волн называется вектором Умова - Пойнтинга.

Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова .

§ 1.4. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость.

Принцип суперпозиции (наложения) волн установлен на опыте. Он состоит в том, что в линейной среде волны от разных источников распространяются независимо, и накладываясь, не изменяют друг друга. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые частица получит, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

Согласно принципу суперпозиции накладываться друг на друга без взаимного искажения могут волны любой формы. В результате наложения волн результирующее колебание каждой частицы среды может происходить по любому сложному закону. Такое образование волн называется волновым пакетом. Скорость движения волнового пакета не совпадает со скоростью ни с одной из слагаемых волн. В этом случае говорят о скорости волнового пакета. Скорость перемещения максимума группы волн (волнового пакета) называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии волнового пакета.

На практике мы всегда имеем дело с группой волн, так как синусоидальных волн, бесконечных в пространстве и во времени, не существует. Любая ограниченная во времени и пространстве синусоидальная волна есть волновой пакет (его называют цуг волны). Групповая скорость такого пакета совпадает с фазовой скоростью бесконечных синусоидальных волн, результатом сложения которых он является.

В общем виде связь между групповой и фазовой скоростями имеет вид:

.

§ 1.5. Интерференция волн. Стоячие волны.

1. Интерференцией волн называется явление наложение двух и более волн, при котором в зависимости от соотношения между фазами этих волн происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других.

В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых разность фаз складываемых колебаний равна величине , где k – целое число, т.е. волны (от разных источников) приходят в такие точки в фазе. В них будет наблюдаться устойчивое, неизменно продолжающееся все время усиление колебаний частиц. Найдутся в пространстве, где распространяется несколько волн, и такие точки, где разность фаз будет равна , т.е. волны приходят в эти точки в противофазе. В таких точках пространства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц.

Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям и источники, создающие такие волны, называются когерентными. Плоские синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

2. Запишем условия максимумов и минимумов при интерференции. Когерентные точечные источники и испускают волны по всем направлениям. До точки наблюдения М расстояние от первого источника , а от второго - .

Колебания точки М под действием волн от двух источников и описываются уравнениями:

, .

Амплитуда результирующего колебания в точке М определится следующим образом (см. раздел «Сложение колебаний»):

.

Амплитуда колебаний точки М максимальна ( ), если

, где

Величина называется разностью хода двух волн.

Условие максимума при интерференции имеет вид:

.

Если целое число волн укладывается на разности хода двух волн, то при их сложении наблюдается интерференционный максимум.

Амплитуда колебаний точки М минимальна ( ), если

, ( ).

Условие минимума при интерференции имеет вид:

.

Если нечетное число полуволн укладывается на разности хода двух волн, то при их сложении наблюдается интерференционный минимум.

3. Простейший случай интерференции наблюдается при наложении бегущей и отраженной волн, что приводит к образованию стоячей волны. Уравнения бегущей и отраженной волны имеют вид:

,

Суммарное смещение частицы среды, находящейся на расстоянии y от источника колебаний, равно сумме смещений и :

.

Это и есть уравнение стоячей волны. Величина - амплитуда, а ( ) - фаза стоячей волны. Можно сказать, что частицы в стоячей волне имеют одну фазу колебаний. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне зависит от их координат (расстояний до источника колебаний), но не зависит от времени. Знак модуля поставлен в формуле для амплитуды стоячей волны, потому что амплитуда – величина положительная.

В стоячей волне есть точки, которые все время остаются неподвижными. Такие точки называются узлами смещения, их положение определяется из условия:

, отсюда следует . Выполнение этого соотношения будет при условии для Итак, координаты узлов задаются формулой:

.

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

Точки среды, колеблющиеся с наибольшей амплитудой, называются пучностями стоячей волны, их положение (координаты) определяются соотношением:

.

Характеристики

Список файлов реферата